八年級(jí)上三角形開放探究題

1、 八年級(jí)上三角形開放探究題 例1：已知：RtABC中，AC=BC，C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，EDF=90°，EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它們兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1）易證CF+CE=AC；若當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，CF、CE、AC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并說明理由 練習(xí)：1在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別

2、交于點(diǎn)A、B （1）求證：MA=MB； （2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由 （3）探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出四邊形AOBM的面積 2在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，3），將三角板的直角頂點(diǎn)與P重合，一條直角邊與x軸交于點(diǎn)E，另一條直角邊與y軸交于點(diǎn)F，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn) （1）當(dāng)POE為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)； （2）設(shè)E（t，0），PF、PE與正方形ABCD所夾面積（陰影面積）為S，

3、直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍 3已知AOB=90°，在AOB的角平分線OM上有一點(diǎn)C，且OC=a，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E，OCD的面積記作S1，OCE的面積記作S2（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，如圖1，則S1+S2的值（用a表示）=_；（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，如圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S1、S2之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明 3-1：已知AOB=90°，在AOB的平分線OM上有

4、一點(diǎn)C，OC=，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D，E （1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），求證：OD+OE=2 （2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)： 在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明 在圖3這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并給予證明 例2：在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D

5、，BEMN于E （1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=AD+BE； （2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=ADBE； （3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明 練習(xí)：1，（1）如圖1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足DBE=ABC（0°CBEABC）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將BEC按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABC，得到BEA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E處）連接DE，求證：DE=DE （2）如圖2，在ABC中，BA=BC，ABC=90°，D，E是AC邊上的兩

6、點(diǎn)，且滿足DBE=ABC（0°CBE45°）求證：DE2=AD2+EC2 例3：CD經(jīng)過BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CBE，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BEC=CFA= （1）若直線CD經(jīng)過BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題： 如圖1，若BCA=90°，=90°， 則BE_CF；EF_|BEAF|（填“”，“”或“=”）； 如圖2，若0°BCA180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與BCA關(guān)系的條件_，使中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立 （2）如圖3，若直線CD經(jīng)過BCA的外部，=BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)

7、量關(guān)系的合理猜想（不要求證明） 練習(xí)：1如圖，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN 當(dāng)MNBC時(shí)，求證：MN=BM+CN； 當(dāng)MN與BC不平行時(shí)，則中的結(jié)論還成立嗎？為什么？ 若點(diǎn)M、N分別是射線AB、CA上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖中畫出圖形，并說明理由 2已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作ACD和BCE，且CA=CD，CB=CE，ACD=BCE，直線AE與BD交于點(diǎn)F， （1）如圖1，若ACD=60°

8、，則AFB=_；如圖2，若ACD=90°，則AFB=_；如圖3，若ACD=120°，則AFB=_； （2）如圖4，若ACD=，則AFB=_（用含的式子表示）； （3）將圖4中的ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示的情形，若ACD=，則AFB與的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明 3數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目 小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答： （1）特殊情況，探索結(jié)論 當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE_DB（填“”，“”或“=”） （2）一般情況，證明結(jié)論： 如圖2，過點(diǎn)

9、E作EFBC，交AC于點(diǎn)F（請(qǐng)你繼續(xù)完成對(duì)以上問題（1）中所填寫結(jié)論的證明） （3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題： 在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC 若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，則CD的長(zhǎng)為_（請(qǐng)直接寫出結(jié)果） 例4：如圖1，A是OB的垂直平分線上一點(diǎn)，P為y軸上一點(diǎn)且OPB=OAB （1）若AOB=60°，PB=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB； （3）如圖2，若點(diǎn)A是OB的垂直平分線上一點(diǎn)，已知A（2，5），OPB=OAB，求PO+PB的值 練習(xí)：如圖，已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊

10、在第一象限內(nèi)作長(zhǎng)方形OABC （1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)； （2）將ABC對(duì)折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖）； （3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得APC與ABC全等？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 例5：已知：在等邊ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，有結(jié)論“在直線EF上存在一點(diǎn)H，使得DGH是等邊三角形”成立（如圖），且當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B、E、C重合時(shí)，該結(jié)論也一定成立問題：當(dāng)點(diǎn)G在直線BC的其它位置時(shí)，該結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你在下面的備用圖中，畫出相應(yīng)圖

11、形并證明相關(guān)結(jié)論 例6：如圖甲，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長(zhǎng)線于M，A=40° （1）求NMB的大小 （2）如圖乙，如果將（1）中A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求NMB的大小 （3）根據(jù)（1）（2）的計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)其中的蘊(yùn)涵的規(guī)律嗎？請(qǐng)寫出你的猜想并證明 （4）如圖丙，將（1）中的A改為鈍角，其余條件不變，對(duì)這個(gè)問題規(guī)律的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改？請(qǐng)你把A代入一個(gè)鈍角度數(shù)驗(yàn)證你的結(jié)論 練習(xí)：（1）學(xué)完全等三角形以后，老師布置了這樣一道題：如圖1，點(diǎn)M、N分別在等邊ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點(diǎn)Q試說明：BQM=6

12、0° （2）小麗做完后，進(jìn)行了反思，提出了許多問題，如圖2： 若將題中“BM=CN”與“BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？ 如圖3若將題中的點(diǎn)M、N分別移動(dòng)到BC、CA的延長(zhǎng)線上，是否仍能得到BQM=60°？ 若將題中的條件“點(diǎn)M、N分別在正三角形ABC的BC、CA邊上”改為“點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的BC、CD邊上”，是否仍能得到BQM=60°？ 請(qǐng)你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：_；_；_并對(duì)上述、選擇一個(gè)給出證明（注意：等邊三角形每條邊都相等，每個(gè)內(nèi)角都是60°希望每個(gè)同學(xué)都像小麗一樣愛動(dòng)腦，你一定會(huì)越來(lái)越

13、聰明哦?。┌四昙?jí)上三角形開放探究題參考答案與試題解析一解答題（共17小題）1（2008臺(tái)州）CD經(jīng)過BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CBE，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BEC=CFA=（1）若直線CD經(jīng)過BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：如圖1，若BCA=90°，=90°，則BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如圖2，若0°BCA180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與BCA關(guān)系的條件+BCA=180°，使中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過BCA的外部，=BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三

14、條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）考點(diǎn)：直角三角形全等的判定；三角形內(nèi)角和定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：由題意推出CBE=ACF，再由AAS定理證BCECAF，繼而得答案解答：解：（1）BCA=90°，=90°，BCE+CBE=90°，BCE+ACF=90°，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|CFCE|=|BEAF|所填的條件是：+BCA=180°證明：在BCE中，CBE+BCE=180°BEC=180°BCA=180°，CBE+BCE=BCA又AC

15、F+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）猜想：EF=BE+AF證明過程：BEC=CFA=，=BCA，BCA+BCE+ACF=180°，CFA+CAF+ACF=180°，BCE=CAF，又BC=CA，BCECAF（AAS）點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關(guān)知識(shí)注意對(duì)三角形全等，相似的綜合應(yīng)用2在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCE

16、B；DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=ADBE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型分析：（1）由ACB=90°，得ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，則ADC=CEB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到ACD=CBE，易得RtADCRtCEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD（2）根據(jù)等角的余角相等得到ACD=CBE，易得ADCCEB，得到

17、AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE（3）DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE=BEAD證明的方法與（2）相同解答：（1）證明：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE在ADC和CEB中，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）證明：在ADC和CEB中，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CECD=ADBE；（3）DE=BEAD易證得ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CDCE=BEAD點(diǎn)評(píng)：本題

18、考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)3如圖，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN當(dāng)MNBC時(shí)，求證：MN=BM+CN；當(dāng)MN與BC不平行時(shí)，則中的結(jié)論還成立嗎？為什么？若點(diǎn)M、N分別是射線AB、CA上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖中畫出圖形，并說明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：首先證明BDM

19、CDN，進(jìn)而得出DMN是等邊三角形，BDM=CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可得出答案；延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM并連接DE，構(gòu)造全等三角形，找到相等的線段MD=DE，再進(jìn)一步證明DMNDEN，進(jìn)而等量代換得到MN=BM+NC；按要求作出圖形，BM、MN、NC之間的關(guān)系是MN=NCBM，理由為：先證BMDCED，再證MDNEDN（SAS），即可得證解答：證明：ABC是正三角形，MNBC，AMN是等邊三角形，AM=AN，則BM=NC，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，DBC=DCB=30°，DBM=DCN=90°，在BDM和CDN中，B

20、DMCDN（SAS），DM=DN，BDM=CDN，MDN=60°，DMN是等邊三角形，BDM=CDN=30°，NC=BM=DM=MN，MN=MB+NC；成立理由如下：證明：延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，ABC是等邊三角形，BCD=30°，ABD=ACD=90°，即ABD=DCE=90°，在RtDCE和RtDBM中，RtDCERtDBM（HL），BDM=CDE，又BDC=120°，MDN=60°，BDM+NDC=BDCMDN=60°，CDE+NDC=60&#

21、176;，即NDE=60°，MDN=NDE=60°DM=DE（上面已經(jīng)全等）在DMN和DEN中DMNDEN（SAS），BM+CN=NMMN=CNBM證明：在CA上截取CE=BM，ABC是正三角形，ACB=ABC=60°，又BD=CD，BDC=120°，BCD=CBD=30°，MBD=ECD=90°，又CE=BM，BD=CD，在BMD和CED中，BMDCED（SAS），DE=DM，在MDN和EDN中，MDNEDN（SAS），MN=NE=NCCE=NCBM點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；此題從不

22、同角度考查了作相等線段構(gòu)造全等三角形的能力，要充分利用等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換各相等線段解答4已知：RtABC中，AC=BC，C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，EDF=90°，EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它們兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1）易證CF+CE=AC；若當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，CF、CE、AC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并說明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）連接CD，如圖2，易證B=ACD

23、=45°，AD=BD=CD，CDE=BDF即可證明CDEBDF，可得CE=BF，即可解題；（2）連接CD，如圖3，易證B=ACD=45°，可得ECD=DBF=135°，可以求證AD=BD=CD，CDE=BDF，即可證明CDEBDF，可得CE=BF，即可解題解答：證明：圖2中該結(jié)論成立，圖3中該結(jié)論不成立，新結(jié)論為：CF=AC+CE；理由：連接CD，（1）如圖2，等腰直角ABC中，D是AB中點(diǎn)，AD=BD=CD，B=ACD=45°，BDF+CDF=90°，CDE+CDF=90°，CDE=BDF，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA）

24、，CE=BF，BC=CF+BF，AC=BC，AC=CF+CE；（2）連接CD，如圖3，等腰直角ABC中，D是AB中點(diǎn)，AD=BD=CD，B=ACD=45°，ECD=DBF=135°，BDF+BDE=90°，CDE+BDE=90°，CDE=BDF，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA），CE=BF，CF=BC+BF，AC=BC，CF=AC+CE點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證CDEBDF是解題的關(guān)鍵5已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作ACD和BCE，且CA=CD，CB=CE，AC

25、D=BCE，直線AE與BD交于點(diǎn)F，（1）如圖1，若ACD=60°，則AFB=120°；如圖2，若ACD=90°，則AFB=90°；如圖3，若ACD=120°，則AFB=60°；（2）如圖4，若ACD=，則AFB=180°（用含的式子表示）；（3）將圖4中的ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示的情形，若ACD=，則AFB與的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；探究型分析：（1）如圖1，首先證明BCDECA，得出EAC=BDC，再根據(jù)

26、AFB是ADF的外角求出其度數(shù)如圖2，首先證明ACEDCB，得出AEC=DBC，又有FDE=CDB，進(jìn)而得出AFB=90°如圖3，首先證明ACEDCB，得出EAC=BDC，又有BDC+FBA=180°DCB得到FAB+FBA=120°，進(jìn)而求出AFB=60°（2）由ACD=BCE得到ACE=DCB，再由三角形的內(nèi)角和定理得CAE=CDB，從而得出DFA=ACD，得到結(jié)論AFB=180°（3）由ACD=BCE得到ACE=DCB，通過證明ACEDCB得CBD=CEA，由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論AFB=180°解答：解：（1）如圖1，CA=

27、CD，ACD=60°，所以ACD是等邊三角形CB=CE，ACD=BCE=60°，所以ECB是等邊三角形AC=DC，ACE=ACD+DCE，BCD=BCE+DCE，又ACD=BCE，ACE=BCDAC=DC，CE=BC，ACEDCBEAC=BDCAFB是ADF的外角AFB=ADF+FAD=ADC+CDB+FAD=ADC+EAC+FAD=ADC+DAC=120°如圖2，AC=CD，ACE=DCB=90°，EC=CB，ACEDCBAEC=DBC，又FDE=CDB，DCB=90°，EFD=90°AFB=90°如圖3，ACD=BCE，

28、ACDDCE=BCEDCEACE=DCB又CA=CD，CE=CB，ACEDCBEAC=BDCBDC+FBA=180°DCB=180°（180ACD）=120°，F(xiàn)AB+FBA=120°AFB=60°故填120°，90°，60°（2）ACD=BCE，ACD+DCE=BCE+DCEACE=DCBCAE=CDBDFA=ACDAFB=180°DFA=180°ACD=180°（3）AFB=180°；證明：ACD=BCE=，則ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=DCB在ACE和DC

29、B中，則ACEDCB（SAS）則CBD=CEA，由三角形內(nèi)角和知EFB=ECB=AFB=180°EFB=180°點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)6如圖1，A是OB的垂直平分線上一點(diǎn)，P為y軸上一點(diǎn)且OPB=OAB（1）若AOB=60°，PB=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB；（3）如圖2，若點(diǎn)A是OB的垂直平分線上一點(diǎn)，已知A（2，5），OPB=OAB，求PO+PB的值考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得OA=AB，根據(jù)AO

30、B的大小可以求得OPB=60°，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊一半即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在PB上取一點(diǎn)E，使OP=OE，可證POA=EOB，可證POAEOB，可得PA=EB，即可解題；（3）延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，過A作AHx軸，AEy軸，可證BP=PD，即可求得PO+PB=OP+PD=OD即可解題解答：解：（1）OPB=OAB，AOB=60°，OPB=60°，OBP=30°，PB=4，OP=2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；（2）在PB上取一點(diǎn)E，使OP=OE，OPE=60°，POE是等邊三角形，POE=60°，PE=PO=OE，A

31、OB=60°，POA=EOB 在POA和EOB中，POAEOB（SAS），PA=EB，PB=PE+EB=PO+PA； （3）延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，過A作AHx軸，AEy軸；OA=AB，AOB=ABO，ABO+ODB=AOB+AOD=90°，AOD=ODB，ODB=ABP，AD=OA，BP=PD，E為OD中點(diǎn)，OE=AH=5，PO+PB=OP+PH+HB=OP+PE+OE=2OE=10點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中每一問作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵7已知AOB=90°，在AOB的角平分線OM上有一點(diǎn)C，且OC=a，將

32、一塊三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E，OCD的面積記作S1，OCE的面積記作S2（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，如圖1，則S1+S2的值（用a表示）=a2；（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，如圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S1、S2之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD=CE，然后判斷出四邊形OECD是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）過點(diǎn)C作CFOA于

33、F，作OGOB于G，同（1）可得CF=CG，根據(jù)同角的余角相等求出DCF=ECG，再利用“角邊角”證明CDF和CEG全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得SCDF=SCEG，再根據(jù)圖形表示出這兩個(gè)三角形的面積列出方程整理即可得解解答：解：（1）CDOA，DCE=90°，AOB=90°，四邊形OECD是矩形，CEOB，又點(diǎn)C是AOB的角平分線的一點(diǎn)，CD=CE，四邊形OECD是正方形，S1+S2=a2；故答案為：a2；（2）如圖，過點(diǎn)C作CFOA于F，作OGOB于G，同（1）可得CF=CG，DCF+DCG=ECG+DCG=90°，DCF=ECG，在CDF和CEG中，CD

34、FCEG（ASA），SCDF=SCEG，如圖2，SCDF=a2S1，SCEG=S2a2，所以，a2S1=S2a2，所以，S1+S2=a2；如圖3，SCDF=a2+S1，SCEG=S2a2，所以，a2+S1=S2a2，所以，S2S1=a2點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的正方形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）根據(jù)圖象利用全等三角形的面積相等列出方程8已知AOB=90°，在AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，OC=，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D，E（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)

35、到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），求證：OD+OE=2（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)：在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明在圖3這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并給予證明考點(diǎn)：幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）求出DOC=EOC=45°，求出DCO=DOC，推出OD=DC，根據(jù)OC=求出CD=OD=1，同理OE=CE=1，即可得出答案；（2）過C作CMOB于M，CNOA于N，由（1）知：

36、ON=CN=OM=CM=1，求出NCD=ECM，證CNDCME，推出ND=ME，即可得出答案；（3）過C作CMOB于M，CNOA于N，由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，求出NCD=ECM，證CNDCME，推出ND=ME，即可得出答案解答：（1）證明：如圖1，AOB=90°，AOB的平分線OM，DOC=EOC=45°，CDOA，CDO=90°，DCO=45°，DCO=DOC，OD=DC，OC=，CD=OD=1，同理OE=CE=1，OD+OE=2；（2）結(jié)論還成立，證明：過C作CMOB于M，CNOA于N，則CND=CME=90°，由（1）知：

37、ON=CN=OM=CM=1，CNO=CMO=AOB=90°，MCN=90°，DCE=90°，NCD=ECM=90°DCM，在CND和CME中CNDCME（ASA），ND=ME，OD+OE=1MD+1+ME=2，即結(jié)論還成立；（3）結(jié)論不成立，是OEOD=2，證明：證明：過C作CMOB于M，CNOA于N，則CND=CME=90°，由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，CNO=CMO=AOB=90°，MCN=90°，DCE=90°，NCD=ECM=90°DCM，在CND和CME中CNDCME（ASA），ND

38、=ME，OEOD=（1+ME）（ND1）=2，即結(jié)論不成立，是OEOD=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力、猜想能力和推理能力，題目具有一定的代表性，證明過程類似9（2012宿遷）（1）如圖1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足DBE=ABC（0°CBEABC）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將BEC按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABC，得到BEA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E處）連接DE，求證：DE=DE（2）如圖2，在ABC中，BA=BC，ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足DBE=ABC（0°CBE45

39、°）求證：DE2=AD2+EC2考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型分析：（1）先根據(jù)DBE=ABC可知ABD+CBE=DBE=ABC，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BE=BE，ABE=CBE，故可得出DBE=DBE，由全等三角形的性質(zhì)即可得出DBEDBE，故可得出結(jié)論；（2）把CBE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，由于ABC是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，EAB=BCE=45°，所以DAE=90°，由（1）證DE=DE，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論解答：（1）證明：DBE=ABC，ABD+CBE=DBE=ABC

40、，ABE由CBE旋轉(zhuǎn)而成，BE=BE，ABE=CBE，DBE=DBE，在DBE與DBE中，DBEDBE，DE=DE；（2）證明：如圖所示：把CBE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接DE，BA=BC，ABC=90°，BAC=BCE=45°，圖形旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，CE與AE重合，AE=EC，EAB=BCE=45°，DAE=90°，在RtADE中，DE2=AE2+AD2，AE=EC，DE2=EC2+AD2，同（1）可得DE=DE，DE2=AD2+EC2，DE2=AD2+EC2點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn)及勾股定理，熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解答此題的關(guān)鍵10

41、（2012南充）在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B（1）求證：MA=MB；（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）過點(diǎn)M作MEOP于點(diǎn)E，作MFOQ于點(diǎn)F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等可得AME=BMF，再利用“角邊角”證明AME和BMF全

42、等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF，設(shè)OA=x，表示出AE為2x，即BF的長(zhǎng)度，然后表示出OB=2+（2x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式判斷出AOB的周長(zhǎng)隨AB的變化而變化，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出周長(zhǎng)最小時(shí)的x的值，然后解答即可解答：（1）證明：如圖，過點(diǎn)M作MEOP于點(diǎn)E，作MFOQ于點(diǎn)F，O=90°，MEO=90°，OFM=90°四邊形OEMF是矩形，M是PQ的中點(diǎn)，OP=OQ=4，O=90°，ME=OQ=2

43、，MF=OP=2，ME=MF，四邊形OEMF是正方形，AME+AMF=90°，BMF+AMF=90°，AME=BMF，在AME和BMF中，AMEBMF（ASA），MA=MB；（2）解：有最小值，最小值為4+2理由如下：根據(jù)（1）AMEBMF，AE=BF，設(shè)OA=x，則AE=2x，OB=OF+BF=2+（2x）=4x，在RtAME中，AM=，AMB=90°，MA=MB，AB=AM=，AOB的周長(zhǎng)=OA+OB+AB=x+（4x）+=4+，所以，當(dāng)x=2，即點(diǎn)A為OP的中點(diǎn)時(shí)，AOB的周長(zhǎng)有最小值，最小值為4+，即4+2點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三

44、角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線，把動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為固定的三角形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)11如圖，在RtPOQ中，OP=OQ=5，M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B（1）求證：MA=MB；（2）探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出四邊形AOBM的面積考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）過點(diǎn)M作MEOP于點(diǎn)E，作MFOQ于點(diǎn)

45、F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等可得AME=BMF，再利用“角邊角”證明AME和BMF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明；（2）利用四邊形AOBM的面積為：SPOQSMPASMQB進(jìn)而得出即可解答：（1）證明：如圖，過點(diǎn)M作MEOP于點(diǎn)E，作MFOQ于點(diǎn)F，O=90°，四邊形OEMF是矩形，M是PQ的中點(diǎn)，OP=OQ=4，O=90°，ME=OQ=2，MF=OP=2，ME=MF，四邊形OEMF是正方形，AME+AMF=90°，BMF+AMF=90°，AME=BMF，在AME和BMF中，AMEBMF

46、（ASA），MA=MB；（2）解：四邊形AOBM的面積不發(fā)生變化；理由：由（1）得出：AE=FB，OF=FQ=OE，BQ=FQBF=EOAE=AO，PA+BQ=PO=5，四邊形AOBM的面積為：SPOQSMPASMQB=×PO×QO（PA+BQ）×ME=×5×5×5×=點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線，把動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為固定的圖形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵12在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，3），將三

47、角板的直角頂點(diǎn)與P重合，一條直角邊與x軸交于點(diǎn)E，另一條直角邊與y軸交于點(diǎn)F，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)（1）當(dāng)POE為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（2）設(shè)E（t，0），PF、PE與正方形ABCD所夾面積（陰影面積）為S，直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀”以及等腰三角形的性質(zhì)解答（2）四邊形PECD的面積為S=2SBPCSPCE=2（SBPCSPEM）=2SPOM解答：解：（1）POE是等腰三角形的條件是：OP、PE、EO其中

48、兩段相等，P（3，3），那么有：PEOC和F點(diǎn)過（0，0）點(diǎn)，PE=OE，則F點(diǎn)是（0，3）和（0，0）；P坐標(biāo)為（3，3），OP=3，PEOP和F點(diǎn)過（0，63），則PE=OP，則F點(diǎn)是（0，6+3）和（0，63）綜上所述，符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是：（0，3）或（0，0）或（0，63）或（0，6+3）；（2）過點(diǎn)P作PMBC，垂足為M，連接PC則PE=PCE（t，0），OE=t點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，3），PM=3，OM=3，四邊形PECD的面積為S=2SBPCSPCE=2（SBPCSPEM）=2SPOM=2××（3t）×3=93t（0t3）或四邊形

49、PECD的面積為S=2SBPCSPCE=2（SBPCSPEM）=2SPOM=2××（t3）×3=3t9（t3）綜上所述，S=點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了勾股定理和等邊直角三角形的性質(zhì)13如圖，已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長(zhǎng)方形OABC（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）將ABC對(duì)折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖）；（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得APC與ABC全等？若存在，

50、請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：代數(shù)幾何綜合題分析：（1）已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，即可求得A和C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可知ACD是等腰三角形，算出AD長(zhǎng)即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，最后即可求出CD的解析式；（3）將點(diǎn)P在不同象限進(jìn)行分類，根據(jù)全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）（2）由折疊知：CD=AD設(shè)AD=x，則CD=x，BD=4x，根據(jù)題意得：（4x）2+22=x2解得：此時(shí)，AD=，（2分）設(shè)直線CD為y=kx+4，把代入得（1分）解

51、得：設(shè)直線CD解析式為（1分）（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，APCCBA，此時(shí)P（0，0）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖，由APCCBA得ACP=CAB，則點(diǎn)P在直線CD上過P作PQAD于點(diǎn)Q，在RtADP中，AD=，PD=BD=，AP=BC=2由AD×PQ=DP×AP得：，把代入得此時(shí)（也可通過RtAPQ勾股定理求AQ長(zhǎng)得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)）當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，如圖同理可求得：此時(shí)綜合得，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，分別為：P1（0，0）；（寫對(duì)第一個(gè)（2分），二個(gè)（3分），3個(gè)且不多寫（4分），寫對(duì)4個(gè)且多寫得（3分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)于一次函數(shù)圖象的應(yīng)用以及等腰三角形和全等三角形的判定的掌握14數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“”，“”或“=”）（2）一般情況，證明結(jié)論：如圖2，過點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F（請(qǐng)你繼續(xù)完成對(duì)以上問題（1）中所填寫結(jié)論的證明）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC 若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=