初三數(shù)學(xué)壓軸題教師版

1、.2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo),圖1滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，

2、那么解得此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時，x4，解方程，得此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得此時點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時，DCA的面積最大，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1） 考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（m

3、，n），那么由于，所以例1 2012年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1 滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點(diǎn)C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當(dāng)

4、點(diǎn)P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H由，BOCO，得PHBH2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1, 6)時，M、A、

5、C三點(diǎn)共線，所以此時符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)例2 2012年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點(diǎn)B，解得所以拋物線的解析式為

6、（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時，BP216所以解得當(dāng)PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點(diǎn)為因此所以DOA30°，ODA120°例3 2011年湖州市中考第24題如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)P(0,m)是線段OC上一動點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D（

7、1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當(dāng)點(diǎn)P從O向C運(yùn)動時，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）滿分解答（1）因?yàn)镻C/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4m)（2）在APD中，當(dāng)APAD時，解得（如圖3）當(dāng)PAPD時，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當(dāng)DADP時，解得（如圖5）或（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為考點(diǎn)伸展第

8、（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計(jì)算更簡單：如圖3，當(dāng)APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當(dāng)PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的G經(jīng)過點(diǎn)H，也就是說點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動運(yùn)動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，是點(diǎn)H運(yùn)動的起點(diǎn)，COH45°，CGH90°圖6 圖7例6 2009年嘉興市中考第24題如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成ABC，

9、設(shè)（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？思路點(diǎn)撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實(shí)根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當(dāng)或時，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，設(shè)，ABC的面積為S，則

10、如圖2，若點(diǎn)D在線段AB上，則移項(xiàng)，得兩邊平方，得整理，得兩邊平方，得整理，得所以（）當(dāng)時（滿足），取最大值，從而S取最大值 圖2 圖3如圖3，若點(diǎn)D在線段MA上，則同理可得，（）易知此時綜合得，ABC的最大面積為考點(diǎn)伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運(yùn)算：設(shè)，例如在圖2中，由列方程整理，得所以因此例 3 2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述

11、二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)思路點(diǎn)撥1本題最大的障礙是沒有圖形，準(zhǔn)確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)2根據(jù)MOMA確定點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，并且求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，是整個題目成敗的一個決定性步驟3第（3）題求點(diǎn)C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m滿分解答（1）當(dāng)x0時，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA3如圖2，因?yàn)镸OMA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為將代入，得x1所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為因此（2）因?yàn)閽佄锞€yx2bxc經(jīng)過A(0，

12、3)、M，所以解得，所以二次函數(shù)的解析式為（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)A作AECD，垂足為E在RtADE中，設(shè)AE4m，DE3m，那么AD5m因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，32m)將點(diǎn)C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2） 圖2 圖3考點(diǎn)伸展如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：如圖4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為2012年上海市松江區(qū)中考模擬第24題已知直線y3x3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線yax22xc經(jīng)過點(diǎn)A，B（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

13、（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C，若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形求點(diǎn)D的坐標(biāo)；將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為P，其對稱軸與直線y3x3交于點(diǎn)E，若，求四邊形BDEP的面積思路點(diǎn)撥1這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個點(diǎn)必須畫準(zhǔn)確，其實(shí)拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了2拋物線向右平移，不變的是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不變的是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于73已知DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7，那么點(diǎn)P向右平移到直線x3時，就停止平移滿分解答（1）直線y3x3與x軸的交點(diǎn)為A(1，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,3)將A(1，0)、B(0,3)分別代入yax22xc，得 解得 所以拋物線的表達(dá)式為yx22x3