極坐標與球面坐標計算三重積分

1、一、利用柱面坐標計算三重積分一、利用柱面坐標計算三重積分二、利用球面坐標計算三重積分二、利用球面坐標計算三重積分95 利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分柱面坐標、柱面坐標系的坐標面直角坐標與柱面坐標的關(guān)系、柱面坐標系中的體積元素柱面坐標系中的三重積分球面坐標、球面坐標系的坐標面直角坐標與球面坐標的關(guān)系、球面坐標系中的體積元素球面坐標系中的三重積分一、利用柱面坐標計算三重積分一、利用柱面坐標計算三重積分 設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點，則點M與數(shù) r、q 、z相對應(yīng)，其中P(r, q )為點M在xOy面上的投影的極坐標 這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為：0

2、r，0 q 2 ， zxyzOrzP(r, q )M(x, y, z)x yq 三個數(shù) r、q 、z 叫做點M 的柱面坐標 rr0一、利用柱面坐標計算三重積分一、利用柱面坐標計算三重積分坐標面rr0，q q 0，zz0的意義：xyzOq q 0zz0r0q 0z0 設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點，則點M與數(shù) r、q 、z相對應(yīng)，其中P(r, q )為點M在xOy面上的投影的極坐標 這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為：0 r，0 q 2 ， z 三個數(shù) r、q 、z 叫做點M 的柱面坐標 直角坐標與柱面坐標的關(guān)系：柱面坐標系中的體積元素： dv rdrdqdz.,sin,coszzryrxqq

3、柱面坐標系中的三重積分： f (x，y，z)dxdydz f (r cos q ，r sin q ，z) rdrdqdzxyzOrzP(r, q )M(x, y, z)x yq x2y242 解 閉區(qū)域可表示為：r 2z4，0r2，0q2于是zdxdydzdzzrdrdqq202042rzdzrdrdq20204)16(21drrrd2062618221rr 364zx2y2或 zr24xyzO 例例 1 利用柱面坐標計算三重積分zdxdydz，其中是由曲面 zx2y2與平面 z4 所圍成的閉區(qū)域 例1 二、利用球面坐標計算三重積分二、利用球面坐標計算三重積分這樣的三個數(shù)r、j 、q 叫做點M

4、的球面坐標 設(shè)M(x，y，z)為空間內(nèi)一點，則點M與數(shù)r 、j 、q 相對應(yīng)，其中r 為原點O 與點M 間的距離，j為有向線段 與z 軸正向所夾的角，OMq 為從正z 軸來看自x 軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段 的角OP這里r 、j 、q 的變化范圍為 0 r，0 j ，0q 2xyzOzPM(x, y, z)x yq rj坐標面rr0，jj 0，q q 0的意義：xyzOrq j 點的直角坐標與球面坐標的關(guān)系：.cos,sinsin,cossinjqjqjrzryrx球面坐標系中的體積元素： dvr2 sin j drdjdq f (x，y，z) dxdydzf(rsinj cosq ，rsin

5、j sinq ，rcosj ) r2 sinj drdjdq 柱面坐標系中的三重積分：xyzOzPM(x, y, z)x yq rj 例2 求半徑為a 的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積 xyzOa2a 例2 求半徑為a 的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積 解 該立體所占區(qū)域可表示為：0r2a cos j ，0ja ，0q2于是所求立體的體積為Vdxdydz r2 sinj drdjdqajjjq200cos202sinadrrddajjj0cos202sin2adrrdajjj033sincos316daxyzOa2arj)cos1 (3443aa 例3 求均勻半球體的重心 解 取半球體的對稱軸為 z 軸，原點取在球心上，又設(shè)球半徑為a axyzOq jr顯然，重心在z 軸上，故x y 0z dvdvzdvzdv dvadrrdd022020sinjqjdvzadrrrdd022020sincosjjqj42214a, 323a, 因此z83a重心為(0，0，83a重心為(0，0，83a) 解 取球心為坐標原點，z軸與軸l重合，又設(shè)球的半徑為a， 例4 求均勻球體對于過球心的一條軸l 的轉(zhuǎn)動慣量則球體所占空間閉區(qū)域可用不等式x2y2z2a 2來表示其中 M334a為球體的質(zhì)量I zdvyx )(