浙江省紹興市上虞區(qū)2020-2021學年高二數(shù)學下學期期末考試試題（含解析）

1、浙江省紹興市上虞區(qū)2020-2021學年高二數(shù)學下學期期末考試試題（含解析）參考公式：臺體的體積公式，其中分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高.柱體的體積公式，其中分別表示柱體的底面積，表示錐體的高.錐體的體積公式，其中分別表示錐體的底面積，表示錐體的高.球的表面積公式， 球的體積公式，其中表示球的半徑. 第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，記集合，則A B C D2若，則“”是復數(shù)“”為純虛數(shù)的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件3.已知直線、與平面

2、下列命題正確的是 A且 B且C且 D且4. 若變量x，y滿足約束條件，則xy的最大值為A0 B1 C2 D3 5要得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象A.向左平移個單位. B.向左平移個單位C.向右平移個單位. D.向右平移個單位6已知為上的函數(shù)，其中函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則A. 函數(shù)為偶函數(shù)B. 函數(shù)為奇函數(shù)C. 函數(shù)為偶函數(shù)D. 函數(shù)為奇函數(shù)7函數(shù)的圖像大致為 8已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限內的交點為，直線與軸交點為，為坐標原點，則雙曲線的離心率為A B C D 9已知， ，則與的大小關系是A.B. C. D. 不確定10已知數(shù)列滿足，則的值所在范圍是AB

3、CD第卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分.11 ；若，則 .12已知橢圓，則此橢圓的焦距長為 ；設為的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則 .13已知直線，若，則 ；若曲線: 與直線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是 .14已知函數(shù)，當 時，函數(shù)為奇函數(shù)；當時，的最大值為6，則= . 15將半徑為的半圓形硬紙片卷成一個圓錐的側 面，若圓錐的體積為，則 .16.如圖，在中，是邊上一點，則 . 17已知正實數(shù)滿足，則的最大值是 . 1,3,5三、解答題：本大題共5小題，共74分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18（本題滿分1

4、4分）已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）當時，求的單調區(qū)間及最小值19（本題滿分15分）在四棱錐中，底面是正方形，.()求證：；（）設，連接，上的點滿足，求與平面所成角的正弦值.20（本題滿分15分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足：，為等差中項.（）求數(shù)列的通項公式； （）記，證明：，21（本題滿分15分）已知兩拋物線.過原點引與這兩條拋物線都相交的直線、（如圖所示），交點分別是、，、，、.（）求證：；（）求的值.22(本小題滿分15分）已知函數(shù)，（）若的圖像在點處的切線方程為，求實數(shù)值；（）討論函數(shù)的單調性；（）若函數(shù)有兩個不同的零點，且不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.答案解析部分一、選擇題

5、：本大題共10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，記集合，則A B C D【答案】 A 【考點】元素與集合關系的判斷，子集與交集、并集運算的轉換 【解析】【解答】解：由題意得P=1,2,3,4,5,Q=2,3， 故答案為：A 【分析】根據(jù)并集與交集的定義求解即可.2. 若，則“”是復數(shù)“”為純虛數(shù)的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】 C 【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，復數(shù)的基本概念 【解析】【解答】解：當a=2時，復數(shù)z=4i為純虛數(shù)，故充分性成立； 當z=a2-4+(a+2

6、)i為純虛數(shù)時，得 ， 解得a=2，故必要性成立， 故 “  ”是復數(shù)“  ”為純虛數(shù)的充要條件. 故答案為：C 【分析】根據(jù)充分必要條件的判定，結合純虛數(shù)的定義求解即可.3. 已知直線、與平面下列命題正確的是 A且 B且C且 D且【答案】 D 【考點】空間中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，直線與平面平行的性質，平面與平面平行的性質，直線與平面垂直的性質，平面與平面垂直的性質 【解析】【解答】解：對于A，當  且  或m,n相交或m,n異面，故A錯誤； 對于B，當  且  或m/n，故B錯

7、誤； 對于C，根據(jù)平面與平面垂直的性質定理得，當 ， 則n或n與相交，故C錯誤； 對于D，當  且 時，根據(jù)直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理得mn，故D正確. 故答案為：D 【分析】根據(jù)直線與平面平行，平面與平面平行的性質定理，結合直線間的關系可判斷A，根據(jù)直線與平面垂直的性質定理，結合直線間的關系可判斷B，根據(jù)平面與平面垂直的性質定理，結合直線與平面的關系可判斷C，根據(jù)直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理可判斷D.4. 若變量x，y滿足約束條件，則xy的最大值為A0 B1 C2 D3 【答案】 D 【考點】簡單線性規(guī)劃 【解析】【解答】解：如圖，根據(jù)約束條件

8、  ， 繪出可行域， 設z=x+y，結合圖象易知，當目標函數(shù)z=x+y過點（3,0）時取得最大值， 此時zmax=3+0=3 故答案為：D 【分析】根據(jù)線性規(guī)劃的意義，結合圖象求解即可.5. 要得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象A.向左平移個單位. B.向左平移個單位C.向右平移個單位. D.向右平移個單位【答案】 A 【考點】函數(shù)的圖象與圖象變化，二倍角的正弦公式 【解析】【解答】解：由題意得 要得到函數(shù) y=2sin（x+）cos（x+） 圖象，只需把函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移個單位 故答案為：A 【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式，結合圖象的平移變換求解即可.6. 已知為上的函數(shù)

9、，其中函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則A. 函數(shù)為偶函數(shù)B. 函數(shù)為奇函數(shù)C. 函數(shù)為偶函數(shù)D. 函數(shù)為奇函數(shù)【答案】 A 【考點】奇函數(shù)，偶函數(shù)，函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質 【解析】【解答】解：由題意得，f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x) 對于A，h(g(-x)=h(g(x)，則h(g(x)為偶函數(shù)，故A正確； 因為無法判斷h(x)的奇偶性，故無法判斷BCD 故答案為：A 【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解即可.7函數(shù)的圖像大致為【答案】 C 【考點】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質，奇偶函數(shù)圖象的對稱性 【解析】【解答】解：函數(shù)y=f(x)=xcosx-sinx滿足f(-x)=

10、-f(x)，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱故排除B ; 當x=時，y= f() = cos- sin= -< 0，故排除A , D 故答案為：C 【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結合特殊值求解即可.8. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限內的交點為，直線與軸交點為，為坐標原點，則雙曲線的離心率為A B C D 【答案】 B 【考點】雙曲線的定義，雙曲線的簡單性質，雙曲線的應用 【解析】【解答】解：由題意得 ， 又由題意知PF1F2為Rt，設|PF2|=t，則|PF1|=t+2a， 則 則 即 則t=c 則在PF1F2中，PF1F2=30° 則 則 則 故答

11、案為：B 【分析】根據(jù)雙曲線的定義與幾何性質，結合離心率的解法求解即可.9.已知 ，  ，則 與 的大小關系是（   ） A. B. C. D.不確定【答案】 C 【考點】對數(shù)的運算性質，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【解析】【解答】解：構造函數(shù)f(x)=2x+x，則f'(x)=2xln2+1>0恒成立，則f(x)=2x+x在(0，+)上單調遞增， 又2a+a=3b+b 2a+a>2b+b 即f(a)>f(b) a>b>0 algb-blga>blgb-blga= algb<blga blga>algb 故答案為

12、：C 【分析】根據(jù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再結合對數(shù)的運算法則求解即可.10.已知數(shù)列 滿足 ， ，則 的值所在范圍是（   ） A. B. C. D.【答案】 B 【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法，數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【解答】解：   a1=1>0 an>0,a2=4 當n2時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 a5000>10000 又 綜上， 故答案為：B 【分析】根據(jù)累加法求得通項公式，再運用裂項求和法求解即可.二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分.11

13、. _；若 ，則 _. 【答案】；4 【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質，有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值，指數(shù)式與對數(shù)式的互化，二倍角的正弦公式，運用誘導公式化簡求值 【解析】【解答】解：1、 2、lg2=a 10a=2 100a=(10a)2=22=4 故答案為：；4 【分析】1、根據(jù)誘導公式，結合二倍角的正弦公式求解即可； 2、根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，結合有理數(shù)指數(shù)冪運算法則求解可.12.已知橢圓 ，則此橢圓的焦距長為_；設 為的兩個焦點，過 的直線交橢圓于 兩點，若 ，則 _. 【答案】 8；8 【考點】橢圓的定義，橢圓的簡單性質 【解析】【解答】解：1、由題意得a2=25,b2=9，則c2=a2

14、-b2=16，則c=4，則焦距2c=8; 2、由題意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)= |AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a， 又因為a=5,則 |AB|+|AF2|+|BF2|=20, 即|AB|=20-(|AF2|+|BF2|)=20-12=8. 故答案為：8；8 【分析】根據(jù)橢圓的定義與幾何性質求解即可.13.已知直線 ， ，若 ，則 _；若曲線: 與直線 有兩個公共點，則實數(shù) 的取值范圍是_. 【答案】 1；【考點】兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系 【解析】【解答】解：1、當l1/l2時，得k2=1，則k=±1, 當k=-1時，l1:x-y+1

15、=0，l2:x-y+1=0，兩直線重合，不符合題意； 當k=1時，l1:x+y-1=0，l2:x+y+1=0，兩直線平行， 故k=1； 2、曲線 ， 又直線l1:kx+y-1=0必過定點(0,1)，若曲線:  與直線  有兩個公共點，如圖所示，則-1-k1 解得-1k1 則實數(shù)  的取值范圍是(-1,1)故答案為：1；(-1,1) 【分析】1、根據(jù)直線平行的充要條件求解即可； 2、根據(jù)直線平行的充要條件，運用數(shù)形結合思想求解即可.14.已知函數(shù) ，當 _時，函數(shù) 為奇函數(shù)；當 時， 的最大值為6，則a=_. 【答案】 0；【考點】奇函

16、數(shù)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，分段函數(shù)的應用 【解析】【解答】解：1、函數(shù)f(x)為奇函數(shù)， f(0)=0 則|-a|=0 則a=0 2、 當 ， 即a>2時，f(x)在上是增函數(shù)， f(x)在0,2上是增函數(shù)， 當 ， 即a<-2時，f(x)在上是增函數(shù)， f(x)在0,2上是增函數(shù)， 綜上可知，f(x)在0,2上是增函數(shù)， 則當x0,2時，f(x)的最大值是f(2)=2|2-a|+4=6， 解得a=1或a=3 故答案為：0；a=1或a=3 【分析】1、根據(jù)奇函數(shù)的性質求解即可； 2、根據(jù)分段函數(shù)的定義，結合二次函數(shù)的單調性與最值求解即可.15.將半徑為 的半圓形硬紙片卷成一個圓

17、錐的側面，若圓錐的體積為 ，則 _. 【答案】 6 【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺） 【解析】【解答】解：設圓錐的底面半徑為R, 由于半圓弧長等于圓錐底面圓的周長,則2R=r , R= 則圓錐的高為 則圓錐的體積為 ， 解得r=6. 故答案為：6 【分析】根據(jù)圓錐的側面積，體積公式，結合圓錐的結構特征求解即可.16.如圖，在 中， ， ， ， 是邊 上一點， ，則 _. 【答案】【考點】平面向量數(shù)量積的運算，余弦定理的應用 【解析】【解答】解：由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cosBAC=22+12-2×2×1×

18、cos120°=7 又由 得 則 則 故答案為： 【分析】根據(jù)余弦定理，結合向量的數(shù)量積運算求解即可.17.已知正實數(shù) 滿足 ，則 的最大值是_. 【答案】【考點】基本不等式在最值問題中的應用，一元二次方程 【解析】【解答】解：   a2+(b+c)a-bc=0 a是方程x2+(b+c)x-bc=0的正根 當且僅當b=c時，等號成立 故答案為： 【分析】根據(jù)一元二次方程的解法，結合基本不等式求最值即可.三、解答題：本大題共5小題，共74分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù) . （1）求 的最小正周期； （2）當 時，求 的單調區(qū)間及最小值 【答案】

19、（1） ， 函數(shù) 的周期 ；（2）令 得， .同理令 得， .又因為 ，所以，單調遞減區(qū)間為 ，遞增區(qū)間為 .于是 .【考點】二倍角的正弦公式，余弦函數(shù)的單調性，同角三角函數(shù)間的基本關系，余弦函數(shù)的周期性，余弦函數(shù)的零點與最值 【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，結合余弦函數(shù)的性質求解即可； （2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質求解即可.19.在四棱錐 中，底面 是正方形， ， . （1）求證： ； （2）設 ，連接 ， 上的點 滿足 ，求 與平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）證明： 且 ， ，于是 ； 同理 ， 所以 .（2）由()得，面 面 ，過點 作 ，垂足為

20、，顯然 由 ，得 .又因為 ，過點 到面 的距離為 又 ，于是 與平面 所成角的正弦值為 另解1：由（）建立如圖坐標系， ， , , , .則 ， ， 設面 的法向量為 ，則 ，即 ，解得： .于是 另解2：設點 到面 的距離為 ，由 得： ， ；又 ，于是 與平面 所成角的正弦值為 .【考點】直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，平面與平面垂直的性質，直線與平面所成的角，用空間向量求直線與平面的夾角 【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理與性質定理求證即可； （2）原解：根據(jù)平面與平面垂直的性質定理，結合直線與平面所成角的定義，利用幾何法求解即可； 另解1：根據(jù)直線與平面所

21、成角的定義，利用向量法直接求解即可； 另解2：根據(jù)直線與平面所成角的定義，利用等體積法直接求解即可； 20.已知數(shù)列 的前 項和為 ，且滿足： ， 為 等 差中項.（1）求數(shù)列 的通項公式； （2）記 ， ，證明： ， 【答案】 （1）解：當 時，由 ， ， 兩式相減得 ， 且 ， 數(shù)列 是公比為2的等比數(shù)列，于是 .（2）由（）知： ，   .當 時，      于是 當 時， ，取到“=”號，綜上所述， ， 【考點】等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列的求和，數(shù)列與不等式的綜合，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 【解析】【分析】（1）利用等差中項的性質，結合an與sn的關系求解即可； （2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項和，運用裂項相消法即可求證.21.已知兩拋物線 .過原點O引與這兩條拋物線都相交的直線 、 、 （如圖所示），交點分別是 、 ， 、 ， 、 . （1）求證： ； （2）求 的值. 【答案】 （1）設直線 ，聯(lián)立分別 得： ，解得 .同理設 ，得到 .于是 ， ，即 ，也即 .（2）由（）知 ，同理可知 和 .     . ； .【考點】