2022屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第1講集合與常用邏輯用語考點講義（含解析）

1、2022屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第1講集合與常用邏輯用語考點講義（含解析）集合與常用邏輯用語一、集合1、集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)，通常用英語大寫字母、來表示。2、元素：構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員)，通常用英語小寫字母、來表示。注意：在集合中，通常用小寫字母表示點(元素)，用大寫字母表示點(元素)的集合，而在幾何中，通常用大寫字母表示點(元素)，用小寫字母表示點的集合，應(yīng)注意區(qū)別。3、空集的含義：不含任何元素的集合叫做空集，記為。4、元素與集合的關(guān)系：之間只能用“”或“”符號連接。(1)屬于：如果是集合的元

2、素，就說屬于集合，記作；(2)不屬于：如果不是集合的元素，就說不屬于集合，記作。5、集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性。(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素，這叫集合元素的確定性。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素，這叫集合元素的互異性。集合中的元素互不相同。例：集合，則不能等于。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣，這叫集合元素的無序性。例：有、等六種表示方法。6、集合的分類：(1)

3、有限集：含有有限個元素的集合。(2)無限集：含有無限個元素的集合。(3)空集：不含任何元素的集合。7、常見的特殊集合：(1)正整數(shù)集或；(2)非負整數(shù)集(即自然數(shù)集，包括零)；(3)整數(shù)集(包括負整數(shù)、零和正整數(shù))；(4)有理數(shù)集(包括整數(shù)集和分數(shù)集正負有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù))；(5)實數(shù)集(包括所有的有理數(shù)和無理數(shù))；注意：()；(×)； 表示坐標軸上的點集； 表示第一、三象限的點集；表示第二、四象限的點集；對方程組解的集合應(yīng)是點集，例：解的集合；例1-1判斷下列說法是否正確，并說明理由。(1)某個單位里的年輕人組成一個集合；(2)，這些數(shù)組成的集合有個元素；(3)由、組成的集合與

4、由、組成的集合是同一個集合。【解析】(1)不正確，因為“年輕人”沒有明確的標準，不具有確定性，不能作為元素來組成集合；(2)不正確，對于一個給定的集合，它的元素必須是互異的，即集合中的任何兩個元素都是不同的，故這個集合是由個元素組成的；(3)正確，集合中的元素相同，只是次序不同，它們都表示同一個集合。例1-2下列說法正確的是( )。A、年上半年發(fā)生的大事能構(gòu)成一個集合 B、小于的整數(shù)構(gòu)成的集合是無限集C、空集中含有元素 D、自然數(shù)集中不含有元素【答案】B【解析】“大事”是不確定的對象，A錯，小于的整數(shù)包括無窮個負數(shù)，B對，空集中不含有任何一個元素，C錯，自然數(shù)集中含有元素，D錯，故選B。例1-

5、3若元素，但，則的值可以是( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】由題意可知，元素是有理數(shù)但不是整數(shù)，是分數(shù)，故選C。例1-4已知集合中三個元素、是的三邊長，那么一定不是( )。A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、等腰三角形【答案】D【解析】根據(jù)集合中元素的互異性，知、都不相等，故選D。例1-5下列描述的對象組成的集合是無限集的是( )。A、方程的根 B、大于且小于的實數(shù)C、小于的質(zhì)數(shù) D、倒數(shù)等于它本身的實數(shù)【答案】B【解析】A中描述的集合中只有、兩個元素，B中大于且小于的實數(shù)有無限多個，C中小于的質(zhì)數(shù)有個，D中描述的對象只有，故B中所描述的集合是無限集，故選B。例1

6、-6已知集合為空集，則實數(shù)的集合是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，則，故選A。拓展：若有一個元素，則，即；若有兩個元素，則或，即。二、集合的表示方式1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個花括號全部括上。(1)用列舉法書寫集合時，先應(yīng)明確集合中的元素是點集、數(shù)集還是其它集合。集合的所有元素用“”括起來，元素間用分隔號“”。(2)元素不重復(fù)，元素無順序。(3)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號。(4)適用條件：有限集或元素間存在明顯規(guī)律的無限集。需要說明的是，對于有限集，由于元素的無序性，如集合

7、與表示同一集合，但對于具有一定規(guī)律的無限集，就不能寫成。2、自然語言描述法：用自然的文字語言描述。如：昌圖一高的所有團員組成的一個集合。3、特征性質(zhì)描述法(簡稱描述法)：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在花括號內(nèi)表示集合的方法。它的一般格式為，“”前是集合元素的一般形式，“”后是集合元素的公共屬性。例：、。以一個方程(組)或不等式(組)的所有解為元素的集合叫做該方程(組)或不等式(組)的解集。例：的解集就是，的解集就是，的解集是。(1)寫清楚該集合代表元素的符號。例如，集合不能寫成。(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)。例如，這種表達方式就不符合要求，需將也寫進花括號內(nèi)，即。(3)不能出現(xiàn)

8、未被說明的字母。(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實數(shù)集時可以省略不寫。例：方程的實數(shù)解集可表示為，也可寫成。(5)在不引起混淆的情況下，可省去豎線及代表元素，如，等。4、韋恩()圖法：如：例2-1用適當?shù)姆椒枋鱿铝屑?，并且說明它們是有限集還是無限集。(1)方程的解集；(2)大于且小于的奇數(shù)構(gòu)成的集合；(3)不等式的解集；(4)拋物線上的點構(gòu)成的集合；(5)方程的解集?！窘馕觥?1)用列舉法表示為，用描述法表示為，集合中有個元素，是有限集；(2)用列舉法表示為，用描述法表示為，集合中有個元素，是有限集；(3)用描述法表示為，集合中有無數(shù)個元素，是無限集；(4)用描述法表示為

9、，拋物線上的點有無數(shù)個，因此該集合是無限集；(5)方程無實數(shù)解，故該方程的解集為，是有限集。例2-2由大于且小于的偶數(shù)所組成的集合是()。A、 B、C、 D、【答案】D【解析】偶數(shù)是整數(shù)，可以是正數(shù)、零或負數(shù)，故選D。例2-3若，用列舉法表示集合為 。【答案】【解析】，當依次取、時，的值依次為、，故。例2-4下列正確表示集合和關(guān)系的圖是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由知在的內(nèi)部，故選B。例2-5下列集合中，不同于另外三個集合的是()。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】選項A，B，D中都只有一個元素“”，故它們都是相同的集合，而選項C中雖然只有一個元素，但元素是等式，而不

10、是實數(shù)，故此集合與其他三個集合不同，故選C。例2-6設(shè)集合，試用列舉法分別寫出集合、?！窘馕觥考现械脑貫榻^對值小于等于的正整數(shù)，集合中的元素為、時函數(shù)的取值，集合中的元素是以集合中的元素為橫坐標，且在曲線上的點，。例2-7已知全集，則圖中陰影部分所表示的集合等于( )。A、 B、C、 D、【答案】B【解析】的解為，集合，是指不在集合中，但在集合中的全集中的元素，即，圖中的陰影部分表示的集合等于，故選B。三、集合之間的關(guān)系1、子集、真子集和集合相等：定義符號語言圖形語言(圖)子集如果集合中的任意一個元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集(或)真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一個元

11、素不屬于，那么集合叫做集合的真子集(或)集合相等如果集合的每一個元素都是集合的元素，反過來，集合的每一個元素也都是集合的元素，那么就說集合等于集合2、集合之間的性質(zhì)(1)任何一個集合是它本身的子集，記作。(2)空集是任何集合的子集，記作。(3)空集是任何非空集合的真子集。(4)若非空集合有個元素，則其子集個數(shù)為，真子集個數(shù)為，非空子集個數(shù)為，非空真子集個數(shù)為。(5)對于集合、，如果且，那么。對于真子集也同時成立。(6)且，則；反之，則且。3、集合之間只能用“、”，“ 、”，“ 、”等連接，不能用“”或“”符號連接。4、集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系(1)推出符號(又稱雙推符號)的應(yīng)用：是正確的

12、推理“因為所以”的簡寫形式。例如：“因為，所以”意指“由成立可得到必成立”，這時用推出符號表示為：，其中命題稱為條件、命題稱為結(jié)論，簡稱“由推出”或“是的充分條件”。這時命題、的關(guān)系稱為因果關(guān)系。因果關(guān)系具備自反性(即)和傳遞性(即“若，則”)，但不具備對稱性(即若則未必有)。(2)互推符號的應(yīng)用：意指“不但由可推出，而且由也可推出”，簡稱“等價于”或“是的充要條件”。這時命題、的關(guān)系稱為等價關(guān)系。等價關(guān)系具備自反性(即)、對稱性(即“若則”)和傳遞性(即“若，則”)。例3-1設(shè)集合，集合，則下列關(guān)系正確最準確的是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，即：，故選A。例3-2設(shè)集合，集

13、合，則下列關(guān)系正確最準確的是()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】， 即：，故選D。例3-3已知集合，那么的真子集的個數(shù)是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】根據(jù)子集的計算應(yīng)有(個)，故選A。例3-4集合，集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，、，集合的個數(shù)為，選D。例3-5設(shè)集合，若，則的取值范圍為()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由于，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知，故選A。例3-6已知集合，集合，若，則實數(shù) 。【答案】【解析】，即，。四、集合的運算1、交集的定義：一般地，由所有屬于集合且屬于集合的元素所組成的集合叫做集合與集合的交集

14、。記作，讀作“交”，即。注意：點集與數(shù)集的交集是，例：，則。2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑厮M成的集合，叫做集合與集合的并集。記作(讀作“并”)，即。3、全集與補集(1)全集：如果所有要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，通常用來表示。(2)補集：如果給定集合是全集的一個子集，由中不屬于的所有元素構(gòu)成的集合，叫做在中的補集。記作：。主要性質(zhì)和運算律：重要結(jié)論：，；，；，。包含關(guān)系：，；，； ，。等價關(guān)系：；集合的運算律：交換律：，；結(jié)合律：，；分配律：；求補律：，；反演律：，。注意：已知集合中的補集是一個有限集，則集合也是有限集。(×

15、) 空集的補集是全集；4、有限集的元素個數(shù)(1)定義：有限集的元素的個數(shù)叫做集合的基數(shù)，記為。規(guī)定。(2)基本公式：；。5、集合的運算(1)集合有三種運算關(guān)系：交集、并集和補集。在進行集合的運算時，先看清集合的元素和所滿足的條件，再把所給集合化為最簡形式，并合理轉(zhuǎn)化求解，必要時充分利用數(shù)軸、韋恩圖、圖象等工具使問題直觀化，并會運用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，使運算更加直觀，簡潔。(2)一般來講，集合中的元素是離散的，則用列舉法或韋恩圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點是實心還是空心，在含有參數(shù)時，要注意驗證區(qū)間端點是否符合題意。遺忘空集的存在性也是常見的致誤原因。例

16、4-1設(shè)集合，則()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，故選D。例4-2已知集合，集合，則下列關(guān)系中正確的是()。A、 B、C、 D、【答案】A【解析】，故選A。例4-3已知集合，集合，則下列關(guān)系正確的是()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，上數(shù)軸，故選D。例4-4已知集合，則( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，故選B。例4-5已知集合，則如圖所示的圖中，陰影部分表示的集合中元素的個數(shù)為( )。A、 B、C、 D、【答案】B【解析】由得，由，得，根據(jù)題圖可知陰影部分表示的集合為，且，陰影部分表示的集合中共有個元素，故選B。例4-6已知集合，則集合的真子集的個數(shù)為

17、( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】聯(lián)立解得或或，故，有個元素，則真子集的個數(shù)為，故選C。例4-7設(shè)集合，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥?，。五、命題與量詞1、命題：一般地，在數(shù)學中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題。2、命題的分類：真命題：判斷為真的語句叫做真命題；假命題：判斷為假的語句叫做假命題。一個命題要么是真，要么是假。數(shù)學中的定義、公理、定理等都是真命題。3、全稱量詞：短語“所有”、 “任意”、 “每一個”、 “一切”等在陳述中表示所述事物的全體，在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示，讀作“對任意”。含有全稱量詞的命題稱為全稱命題。4、存在量詞與存在

18、性命題：短語“有一個”、 “存在一個”、 “至少有一個”、 “有的”、 “有些”、 “某個”等在陳述中表示所述事物的個體或部分，在邏輯中叫做存在量詞，并用符號“”表示，讀作“存在”。存在量詞的命題稱為存在性命題。5、命題的否定：若一個命題為“若則”，則它的否定為若則非”，即命題的否定不否定條件，只否定結(jié)論，注意當條件有量詞時必須更改量詞，即“”改作“”，“” 改作“”。 命題的否定記住“”，讀作“非”。例5-1“關(guān)于的不等式有解”等價于( )。A、，使得成立 B、，使得成立C、，使得成立 D、，成立【答案】A【解析】“關(guān)于的不等式有解”等價于“存在實數(shù)，使得成立”，故選A。例5-2命題“，”的否定是( )。A、， B、， C、， D、，【答案】D【解析】全稱命題的否定，需要把全稱量詞改為特稱量詞，并否定結(jié)論，故選D。例5-3若命題：，則該命題的否定是( )。A、， B、，C、， D、，【答案】B【解析】命題p的否命題為：，故選B。六、充分條件與必要條件1、定義：對于“若則”形式的命題：從邏輯觀點上，關(guān)于充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件的判定在于區(qū)分命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系。(1)若，則是的充分條件，是的必要條