可降階高階微分方程58049

1、第三節(jié)第三節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程第四節(jié)第四節(jié) 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第三節(jié)第三節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 本節(jié)介紹通過變量代換將特殊的高階微分方程化成一階微分方程的降階法.兩邊積分:連續(xù)積分n次得出含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.一一. 型方程型方程)()(xfyn)()(xfyn1)1()(cdxxfyn再積分:21)2()(cdxcdxxfyn例:xxy sin)3(逐次積分得:122coscxxy ,6sin213cxcxxy32214224coscxcxcxxy如果二階方程不顯含 y,),(pxfp 二二. 型方程型方程),(y

2、xfy 令 ,則py pdxdpy 方程變?yōu)?解出這個(gè)一階方程的通解:),(1cxp則原方程的通解為:21),(cdxcxy例:yyyx ln令 ,則py dxdpy ppdxdpxln方程變?yōu)?dxxppdp1ln解得:xcep1xcey12111cecyxc例:3|, 1|,2)1 (002 xxyyyxyx令 ,則py dxdpy xpdxdpx2)1 (2dxxxpdp212)1 (21xcpy, 3|0 xy因?yàn)?1c)1 (32xy則233cxxy, 1|0 xy因?yàn)?2c所求特解為:133xxy如果方程不顯含 x,),(pyfdydpp三三. 型方程型方程),(yyfy 令 ,p

3、y 方程變?yōu)?解出這個(gè)以 y 為自變量的一階方程的通解:),(1cyyp則原方程的通解為:21),(cxcydy例:02 yyy,dydppdxdydydpdxdpy 則令 ,py ,dydppy 則02 pdydpyp方程變?yōu)?即:0 pdydpy或者0p0 pdydpy的通解為:ycp1ycy1其通解為:xcecy120p即0 y其通解為:cy xcecy12例:12 yy令 ,py ,dxdpy 則12 pdxdp方程變?yōu)?即:dxpdp12此題看作類型二和類型三皆可,經(jīng)過嘗試用前者簡單)tan(1cxp)tan(1cxy21| )cos(|lnccxy練習(xí)的特解滿足求2)0(, 1)0

4、()(2. 12 yyyyyy.4tan,4)tan(arctan,d1d1dd. 121, 11,d2d11).0() 1(2dd),(2dddd 21)0(2222121212xyccxycxyxyyyxycyyycyycpyyppppypyppypypyppypyy故微分方程的特解為：積分得：分離變量得：，則方程化為：代入上式得：時(shí)，把初始條件，即：兩端積分并化簡得：分離變量得：，否則與已知條件矛盾即：，原方程可化為：，則令的通解求1)(2. 22 yyyx.132, 11,d1d12, 1dd2dd 223111122cxccyxcyxcpxxppppxpxpxpypy：積分得微分方程

5、通解為，即：簡得：等式兩端同時(shí)積分并化分離變量得：原方程可化為：，則令第四節(jié)第四節(jié) 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:) 1 (),()()()()2(2)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 當(dāng) 時(shí),0)(xf當(dāng) 時(shí),0)(xfn階線性非奇次方程0)()()()2(2)1(1)( yxpyxpyxpynnnnn階線性奇次方程下面以二階方程為例,討論高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).一一. 二階線性奇次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:)2(, 0)()( yxqyxpy顯然, y = 0 是(2)的解.平凡解討論非平凡解:定理1. 如果 是(2)的兩個(gè)解,則

6、 也是(2)的解,其中 為任意常數(shù).)(),(21xyxy)()(2211xycxycy21,cc證明:)(),(21xyxy由于 是(2)的兩個(gè)解,所以0)()(111 yxqyxpy0)()(222 yxqyxpy)()(2211xycxycy將 代入(2)的左端:)()(221122112211ycycxqycycxpycyc 21111)()(cyxqyxpyc )()(222yxqyxpy 000則 也是(2)的解.)()(2211xycxycy11212211)2(cyyccycycy注意: 不一定是通解.2211ycycy例如:1y是(2)的解, 則 也是(2)的解.12y此時(shí)不

7、是通解函數(shù)的線性相關(guān)和線性無關(guān)設(shè) 為定義在 i 上的 n 個(gè)函數(shù),nyyy,21 02211 nnykykyknkkk,21 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù) ,使得線性相關(guān)否則,線性無關(guān)例如:線性相關(guān)在任意區(qū)間i上:xx22sin,cos, 1取, 1, 1321kkk0sincos122xx2, 1xx線性無關(guān)要使 ,必須02321xkxkk. 0321kkk對于兩個(gè)函數(shù):如果它們之比為常數(shù),則線性相關(guān);否則,線性無關(guān)定理2. 如果 是(2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則 )(),(21xyxy2211ycycy21,cc是(2)的通解, 為任意常數(shù).例如:0 yyxyxysin,cos21是它的特解

8、,xcxcysincos21線性無關(guān)通解二二. 二階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:)3(),()()(xfyxqyxpy 定理3. 如果 是(3)的一個(gè)特解, 是(3)對應(yīng)的奇 次方程(2)的通解,則 y2211ycycyyyy是(3)的通解.yyy則 是(2)的通解.而 是(3)的一個(gè)特解y證明: 由于y是(2)的的通解,所以0)()( yxqyxpy)()()(xfyxqyxpy)()( yyxqyyxpyy)()(0 xfxf將 代入(3)的左端:yyy )()(yxqyxpy)()(yxqyxpy注意: y 中含有兩個(gè)任意 常數(shù),因此 y 是通解.注:當(dāng)(3)式的自由項(xiàng)為幾項(xiàng)之和時(shí),特解如何求出?證明:定理4. 如果 分別是 )(),(21xyxy的特解,則 是方程)()()(2xfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy )4()()()()(21xfxfyxqyxpy 的特解.)()(21xyxy將 代入(4)的左端:)()(21xyxy)()(212121yyxqyyxpyy )()(111yxqyxpy)()(222yxqyxpy )()(21xfxf)()(21xyxy則 是(4)的解.3212211321221