平面向量的基本定理及表示

1、思考思考: 給定平面內(nèi)兩個(gè)向量給定平面內(nèi)兩個(gè)向量 向量向量(2) 同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如形如 的向量表示？的向量表示？,21ee.2,232121eeee 2211ee 請你作出請你作出將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2e將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2eO將三個(gè)

2、向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2eaOC將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2ea1eOAC將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2ea1e2eOABC將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將

3、三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2ea1e2eOABCM將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2ea1e2eOABCMN將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：ONOMa 顯然：顯然：系呢？系呢？們之間會有怎樣的關(guān)們之間會有怎樣的關(guān)它它、共線向量共線向量觀察如圖三個(gè)不觀察如圖三個(gè)不 , 21eaea1e2ea1e2eOABCMN.

4、 , ,2211221121eeaeONeOM 故故，使得：，使得：，實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)存在唯一的一對存在唯一的一對根據(jù)向量共線的條件根據(jù)向量共線的條件歸納：歸納：a1e2eOABCMN想一想：想一想：？來表示呢來表示呢量都可以用量都可以用是否平面內(nèi)任意一個(gè)向是否平面內(nèi)任意一個(gè)向后，后，確定一對不共線向量確定一對不共線向量 221121eeee . 02121即即可可使使結(jié)結(jié)論論成成立立為為或或共共線線時(shí)時(shí)，可可令令或或與與當(dāng)當(dāng) eea討論：討論：a1e2ea1e2e？怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造平平行行四四邊邊形形況況時(shí)時(shí)，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 a討論：討論：a1e2eOABCa1e2eA

5、OCB？怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造平平行行四四邊邊形形況況時(shí)時(shí)，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 a討論：討論：a1e2eOABCa1e2e2eAOCBB？怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造平平行行四四邊邊形形況況時(shí)時(shí)，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 a討論：討論：a1e2eOABCa1e2e2eAOCBBNM？怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造平平行行四四邊邊形形況況時(shí)時(shí)，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 a討論：討論：a1e2eOABA1eCa1e2e2eAOCBBNM？怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造平平行行四四邊邊形形況況時(shí)時(shí)，的的位位置置如如下下圖圖兩兩種種情情改改變變 aa1e2ea1e2eO2eAOCB

6、BNMCABA1eN討論：討論：M？形形又又該該如如何何構(gòu)構(gòu)成成平平行行四四邊邊的的位位置置，如如下下圖圖，繼繼續(xù)續(xù)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) a1e2eaAOBC討論：討論：？形形又又該該如如何何構(gòu)構(gòu)成成平平行行四四邊邊的的位位置置，如如下下圖圖，繼繼續(xù)續(xù)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) a1e2eaAOBAC1e討論：討論：？形形又又該該如如何何構(gòu)構(gòu)成成平平行行四四邊邊的的位位置置，如如下下圖圖，繼繼續(xù)續(xù)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) a1e2eaAOBBAC1e2e討論：討論：？形形又又該該如如何何構(gòu)構(gòu)成成平平行行四四邊邊的的位位置置，如如下下圖圖，繼繼續(xù)續(xù)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) a1e2eaAOBBACNM1e2e討論：討論：？形形又又該該如如何何構(gòu)構(gòu)成成平平行

7、行四四邊邊的的位位置置，如如下下圖圖，繼繼續(xù)續(xù)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) a1e2eaAOBBACNM1e2eaAOBC2e討論：討論：1e？形形又又該該如如何何構(gòu)構(gòu)成成平平行行四四邊邊的的位位置置，如如下下圖圖，繼繼續(xù)續(xù)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) a1e2eaAOBBACNM1e2eaAOBCCa2e討論：討論：1e？形形又又該該如如何何構(gòu)構(gòu)成成平平行行四四邊邊的的位位置置，如如下下圖圖，繼繼續(xù)續(xù)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) a1e2eaAOBBACNM1e2eaAOBCNMCa2e討論：討論：1e平面向量基本定理：平面向量基本定理：. 21所所有有向向量量的的一一組組叫叫做做表表示示這這一一平平面面內(nèi)內(nèi)，其其中中ee基基底底. , , 2211

8、2121eeaaee 使使有有且且只只有有一一對對實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)意意一一個(gè)個(gè)向向量量一一平平面面內(nèi)內(nèi)任任共共線線的的向向量量，那那么么對對這這是是同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)兩兩個(gè)個(gè)不不如如果果問題一：問題一：是是不不是是唯唯一一的的呢呢？，基基底底中中，在在剛剛才才我我們們總總結(jié)結(jié)的的定定理理 21ee 基底不共線也不唯一，任意基底不共線也不唯一，任意兩個(gè)不共線的向量均可作基底兩個(gè)不共線的向量均可作基底 給定基底后，任意一個(gè)向量的給定基底后，任意一個(gè)向量的表示是唯一的表示是唯一的問題二：問題二：？的的表表示示是是不不是是唯唯一一的的呢呢向向量量之之后后，任任意意一一個(gè)個(gè)，給給定定基基底底 21aee. 3

9、2 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e. 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：. 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：. 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：12e . 1例例定理的應(yīng)用：定理的應(yīng)用：. 32 , 2121e

10、eaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：23e12e . 1例例. 32 , 2121eeaaee使使，求求作作向向量量、已已知知向向量量如如圖圖，1e2e解：解：23e12e a. 1例例. , ),R( , ,OPOBOAtABtAPOBOA表表示示用用且且不不共共線線、如如圖圖 2.例OABP. , ),R( , ,OP

11、OBOAtABtAPOBOA表表示示用用且且不不共共線線、如如圖圖 .例2OABP本本題題的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)是是：. 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且且則則上上，在在直直線線若若點(diǎn)點(diǎn)三三點(diǎn)點(diǎn)不不共共線線，、已已知知本本題題的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)是是：OABP. , ),R( , ,OPOBOAtABtAPOBOA表表示示用用且且不不共共線線、如如圖圖 .例2向量的夾角向量的夾角:, ba、已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量, aOA 作作, bOB 00 0180 ,AOB則（）的的、叫向量叫向量ba.夾角夾角;,0 o同向同向、當(dāng)當(dāng)ba ;,801 o反反向向、當(dāng)當(dāng)ba .,09 obaba 記記作

12、作垂垂直直與與當(dāng)當(dāng) 湖南省長沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校精品ppt42 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫作把向量叫作把向量正交分解正交分解( ,),().,( ,) .(1,0),(0,1),00,0 x yaaxyxaxx yayaxyaij 我們把叫做向量 的坐標(biāo) 記作，其中 叫做 在 軸上的坐標(biāo)叫做 在 軸上的坐標(biāo)叫做向量的坐標(biāo)表示那么（）向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示 .xyijaxyaxiy j 在平面坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與 軸、 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 、 作為基底，由平面向量基本定理可知，對任一向量 ，有且只有一對實(shí)數(shù) 、 使得平面向量的坐標(biāo)表示

13、平面向量的坐標(biāo)表示jia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 xO1231234Aija4y平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 xO1231234Aija4y平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示.OOAA 以原點(diǎn) 為起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)與點(diǎn) 的坐標(biāo)相同）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 xO1231234Aija4y平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表

14、示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 (2) BCBC 如圖，平面內(nèi)有 、 兩點(diǎn)， 能否用坐標(biāo)來表示向量呢？xO1231234CijaA4yB平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 xO1231234CijaAB4y(2) BCBC 如圖，平面內(nèi)有 、 兩點(diǎn)， 能否用坐標(biāo)來表示向量呢？平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為

15、基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 xO1231234CijaAB4y(2) BCBC 如圖，平面內(nèi)有 、 兩點(diǎn)， 能否用坐標(biāo)來表示向量呢？平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示 44(21 )(42)(41)23BCOCOBijijijij （）（即即：3 , 2ajia32 . 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 xO1231234CijaAB4y(2) BCBC 如圖，平面內(nèi)有 、 兩點(diǎn)， 能否用坐標(biāo)來表示向量呢？. 1|)1(ajiji底底表表示示向向量量為為基基、，以以向向量量如如圖圖，若若 平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示xO1231234CijaAB4y2,3BC 即：（）呢呢？量量能能否否用用坐坐標(biāo)標(biāo)來來表表示示向向點(diǎn)點(diǎn)，兩兩、如如圖圖，平平面面內(nèi)內(nèi)有有 )2(ABBA）（即即：3 , 2ajia32 44(