大學數(shù)學：第7章 微分方程組與微分方程習題課

1、一、微分方程組與高階微分方程一、微分方程組與高階微分方程1.微分方程組與高階微分方程的相互轉化微分方程組與高階微分方程的相互轉化一階微分方程組一階微分方程組的一般形式的一般形式：向量形式向量形式 1112221212,nnnnndxft x xxdtdxft x xxdtdxft x xxdt , ( )dxf t x tdt 通過引入通過引入n-1個新的未知變量，可以把個新的未知變量，可以把n階微分方程階微分方程化為化為n個由一階微分方程組成的微分方程組：個由一階微分方程組成的微分方程組：,2322dd ydxxyyd12,yyddx 111nnnnyyddydxdx 1,yy 11, ,n

2、nnnd ydydyfx ydxdxdx 1223112 ,nnnnyyyyyyddxddxddxdfyyxyxyd (2) 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理在閉域在閉域上連續(xù)，且滿足上連續(xù)，且滿足Lipschitz條件：條件：則初值問題則初值問題(1)(2)在下屬區(qū)間上存在唯一的解：在下屬區(qū)間上存在唯一的解： 00, ( )(1)( ) (2)dxf t x tdtx tx ,f t x 00( , )|,nGt xtta xxbRR 1212()()f t,xf t,xL xx*1 max( , ) , min, 0min,令令GbMf t xhahhML *0tthP281定理定理1

3、.1二、線性微分方程組的理論二、線性微分方程組的理論1. 線性微分方程組的向量形式線性微分方程組的向量形式 （齊次的和非齊次的）（齊次的和非齊次的）( )( ) (1)dxA t xf tdt ( ) , (2)dxA t xdt( )( ),ijn nA ta t其中12( ,) ,Tnxx xx12( )( ),( ),( )Tnf tf tf tf t( )( )A tf tatb 這里和在上連續(xù)。這里和在上連續(xù)。特別地，特別地，齊次齊次線性微分方程組的線性微分方程組的n個特解的線性無關個特解的線性無關的充要條件是這的充要條件是這n個解的個解的Wronski行列式在行列式在t0處處的值不

4、等于的值不等于0，即，即W(t0) 02. n維向量值函數(shù)的線性相關與線性無關維向量值函數(shù)的線性相關與線性無關3. 齊次齊次線性微分方程組的基本解組、基解矩陣和通解線性微分方程組的基本解組、基解矩陣和通解( )X t C 基解矩陣基解矩陣-以基本解組為列構成的矩陣以基本解組為列構成的矩陣.12( )( )( )( )nX tx t x txt 111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt 基本解組基本解組:12( ),( ),( )nx tx txt齊次線性微分方程的n個線性無關解齊次線性微分方程的n個線性無關解

5、齊次線性微分方程的通解齊次線性微分方程的通解1122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xt注意注意:基解矩陣的性質基解矩陣的性質這里這里C是任意常數(shù)列向量是任意常數(shù)列向量.4. 非齊次非齊次線性微分方程組解的結構及求解線性微分方程組解的結構及求解（1 ）非齊線非齊線性微分方程組解的性質性微分方程組解的性質（2 ）非齊次非齊次線性微分方程組的線性微分方程組的通解結構通解結構*( )( )( )x tX t Cx t 0*-10( )( )( ) ( ),ttx tX tXfdt tI其中其中0*( )() ( )ttx tX tfd 常系數(shù)常系數(shù)非齊線非齊線性微分方程組的

6、一個特解性微分方程組的一個特解(0)XE 當時當時5. 常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程組的求解線性微分方程組的求解的求解步驟：的求解步驟：( )( )3dx tAx tdt （ ）（ ）det()0,AE (1) 寫出矩陣寫出矩陣A的特征方程的特征方程det()0,EA 或或求出特征值求出特征值.(2) 代入特征值代入特征值 i,作矩陣作矩陣A- iE的初等行變換，的初等行變換，求出求出A的屬于特征值的屬于特征值 i的特征向量的特征向量(3) 代入特征值代入特征值 i,作矩陣作矩陣A- iE的初等行變換，的初等行變換，求出求出A的屬于特征值的屬于特征值 i的特征向量的特征向量12,n 互不相

7、同互不相同12,nr rr 線性無關線性無關1212( ),ntttnX ter erert (i)(ii)121112121,knnkknrrrrrr1122121112121( ), kkkttttttnnkknX terererererert 12,k 相應重數(shù)滿足相應重數(shù)滿足12knnnn(iii)應用公式計算應用公式計算120121( )()1!2!(1)!iiintnitttx trrrren 1()1,2,.,1jijirAE rjn 其中其中 若屬于若屬于 i的線性無關特征向量個數(shù)的線性無關特征向量個數(shù)ni0()0inirAEr 為代數(shù)方程的一個特解為代數(shù)方程的一個特解()in

8、iiAErn 注意有 個線性無關的特解。注意有 個線性無關的特解。6.常系數(shù)常系數(shù)非齊次非齊次線性微分方程組的求解線性微分方程組的求解常系數(shù)非齊線性微分方程組常系數(shù)非齊線性微分方程組( )( )( )4dx tAx tf tdt （ ）（ ）x 滿足初始條件 (0)= 的解滿足初始條件 (0)= 的解0( )( )() ( )ttx tX t CX tfd 的通解的通解00( )()() ( ).ttx tX ttXtfd ( )( ) (0)dxX tA t xXEdt 其中是滿足條件的基解矩陣。其中是滿足條件的基解矩陣。123213312dxxxdtdxxxdtdxxxdt 1.1.求下列

9、常系數(shù)齊次線性微分方程組的通解：求下列常系數(shù)齊次線性微分方程組的通解：解解011101 ,110A 方程組系數(shù)矩陣其特征方程為方程組系數(shù)矩陣其特征方程為 2det12,AE 1212 二重 ，二重 ，123xxxx 011101110A dxAxdt 故特征值故特征值111101011 其對應的特征向量為及，其對應的特征向量為及， 22200ttttttteeeX teeee 故所求方程組的通解為故所求方程組的通解為 2122230,0ttttttteeeCx tX t CeeCeeC 123.CCCC 其中為任意常數(shù)其中為任意常數(shù)故基解矩陣為故基解矩陣為1122122434ttdxxxedt

10、dxxxedt 2.2.求出下列常系數(shù)齊次線性微分方程組通解：求出下列常系數(shù)齊次線性微分方程組通解： 12,43det1380,AAE 方程組的系數(shù)矩陣其對應的特征方程方程組的系數(shù)矩陣其對應的特征方程解解12111512 解得對應的特征值，及特征向量，解得對應的特征值，及特征向量，故齊次方程組的基解矩陣為故齊次方程組的基解矩陣為1243A 12xxx dxAxfdt 4ttefe 5152tttteextee 11111330,02133xEx 而故將代入，得而故將代入，得 111111000tx txt xCxtxfd 51521123312122233ttttttCeeeCtee 三三.

11、高階線性微分方程高階線性微分方程(1) 化為線性方程組化為線性方程組(1)123,:,:,:.:nnxx xxxxxx ( )( ) (1)dxA t xf tdt 12101000010( )0001( )( )( )( )nnnA ta tatata t ( ) (2)dxA t xdt 111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)000( )ff t 12( )( )( )( )nxtxtx txt 所有關于所有關于微分方程微分方程組的相關組的相關結論都可結論都可平行推論平行推論到到

12、n階線階線性微分方性微分方程上程上111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)( )( ) (1)dxA t xf tdt 21( )(,( ),)( )Tnx txtxxtt 若求得若求得 的解的解 (1)1()(xx tt 就是方程（就是方程（1）的解）的解( )x t若求得了（若求得了（1）的解）的解(1)( )(, ( ),()nTx tx txtx t 就是方程就是方程 的解的解 (1)對（對（2）和）和 也有類似的關系也有類似的關系(2)( ) (2)dxA t xdt 111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)121

13、2(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( )( )det( )( )( )nnnnnnx tx txtxtxtxtW txtxtxt 12( ),( ),( )nx tx txt線性微分方程(2)的n個解線性微分方程(2)的n個解線線齊齊性相關性相關次次00 , ( )0ta bW tWronskyWronsky行列式行列式(2) 解的結構解的結構12( ),( ),( )nx tx txtn如果是 階微分方程如果是 階微分方程111( )( )0(2)nnnnnd xdxa tat xdtdt ;( )(1,2, ),ina tinatb個線性無關解 其中是上個線性無關解 其

14、中是上連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)n n階階齊次齊次線性微分方程解的結構線性微分方程解的結構( )x t則它的任一解可表為則它的任一解可表為1122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xt12,.nc cc這里是相應確定的常數(shù)這里是相應確定的常數(shù)基本解組基本解組:12( ),( ),( )nx tx txt(2)(2)的n個線性無關解的n個線性無關解為為(2)的一個基本解組的一個基本解組.*( )(1),(1)( )x tx t設是的任意的特解 則的通解可表為設是的任意的特解 則的通解可表為*1122( )( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xtx t12( )

15、,( ),( )nx tx txt其中：其中：為為(2)的一個基本解組的一個基本解組.12n12nc ,c , cc ,c , c 是任意常數(shù).是任意常數(shù).n n階階非齊次非齊次線性微分方程通解的結構線性微分方程通解的結構（3）常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解1110nnnnnd xdxaa xdtdt 1110:nnnnnd xdxaa xdtdt 求的通解的步驟求的通解的步驟1212112121.(3):0(4)2.(2),)3.,nnnnnnnaaaa 寫出的特征方程寫出的特征方程求出的特征根（，求出的特征根（，根據特征根的情況 寫出對應特征根的根據特征根的情況

16、寫出對應特征根的線性無關的特解(見表格），線性無關的特解(見表格）， 再作這些特解的線性組合即得通解。再作這些特解的線性組合即得通解。常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程線性微分方程特征方程的根特征方程的根微分方程通解的對應項微分方程通解的對應項一個單實根一個單實根對應一項對應一項一個一個k階重根階重根對應對應k項項一對單復根一對單復根對應兩項對應兩項一對一對k階復根階復根對應對應2k項項iitce112tkkecc tc t12cossintectct111121121222cos sintkkkkecc tc ttcc tc tt各種類型特征根在通解中所對應項列表各種類型特征根在通解中所對應項

17、列表121121212121,212)()(cossin)ttttixc ec eiixcc t eiiiiyectct :求其通解的步驟如下求其通解的步驟如下212121.(5):0(6)2.(6),3.,aa 寫出的特征方程寫出的特征方程求出的特征根求出的特征根根據特征根的情況 通解分為三種情況根據特征根的情況 通解分為三種情況120(5)xa xa x 特別，對特別，對 f t 的類型的類型 mt 次次多多項項式式 tt e cossinttt evtt evt 或或 *xt使用待定系數(shù)法應設置的待解的形式使用待定系數(shù)法應設置的待解的形式 *xZ t 0 0不是特征根與 同次數(shù)的多項式不

18、是特征根與 同次數(shù)的多項式k0 0是 重特征根是 重特征根 *kxt Z t 不是特征根不是特征根 *txZ t e iv 不是特征根不是特征根 *12cossintxeZtvtZtvt k 是 重特征根是 重特征根 *ktxt Z t e 2ivknk 是 重特征根是 重特征根1 1 *1212cossinktxt eZtvtZtvtZZ 與均為與 同次數(shù)的多項式與均為與 同次數(shù)的多項式 *( )f txt針對自由項的常見類型設置特解形式列表針對自由項的常見類型設置特解形式列表（4）常系數(shù)常系數(shù)非非齊次線性微分方程的求解齊次線性微分方程的求解:1.2.3.4.基基本本方方法法降降階階法法代代

19、數(shù)數(shù)的的方方法法變變量量代代換換法法（通通過過代代換換把把方方程程化化為為常常系系數(shù)數(shù)線線性性方方程程）常常數(shù)數(shù)變變易易法法振振動動方方程程速速度度有有關關與與加加速速度度幾幾何何問問題題應應用用：)3(,)2()1(?)()()( )1(的的通通解解結結構構什什么么方方程程xfyxqyxpy *1122*( ),( )( )( )yxy xc yxc yxyyy 答答：設設是是該該方方程程的的一一個個特特解解是是對對應應于于該該方方程程的的齊齊次次方方程程的的通通解解是是該該方方程程的的通通解解22sin?)2(xyyxyyeyyxyyx 式式是是什什么么指指出出下下列列方方程程的的特特解解

20、形形)(*bxaxy xbey2* )sincos(*xbay )(2210*xbxbbxy ？的的一一個個特特解解如如何何求求方方程程 yxexyyxsin)3(2的的特特解解。是是，則則和和、的的特特解解；答答：分分別別求求出出xexyyyyyyyyyxyyeyyxyyxxsinsin23213212 123(4),( ) ( )( )( ) ( )0yyyyp x yq x yf xyp x yq x y 設設的的函函數(shù)數(shù)均均是是非非齊齊次次方方程程的的解解，則則與與該該方方程程對對應應的的齊齊次次方方程程的的通通解解線線性性無無關關是是什什么么？)()(322311yycyycy 齊齊

21、次次方方程程的的通通解解是是：)()()()()()1(3323133223113212211是是方方程程的的通通解解。是是非非齊齊次次方方程程的的特特解解，線線性性無無關關的的解解，又又是是對對應應齊齊次次方方程程的的兩兩個個、dyyyyyyyycyycyccycyc :,)()()( ,)5(21321的的通通解解是是是是任任意意常常數(shù)數(shù)，則則該該方方程程的的解解，均均是是設設線線性性無無關關的的函函數(shù)數(shù)ccxfyxqyxpyyyy 32122113212211321221132211)1 ()()1 ()()()()(yccycycdyccycyccyccycycbyycyca ( )(

22、 )0(1)yP x yQ x y的一個非零特解，的一個非零特解，是方程是方程設設)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即證明證明:解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy的一階方程的一階方程 v000(7)( ) 2 40()

23、0()0,( )yf xyyyf xfxf xxabcd 設設是是方方程程的的一一個個解解，若若，且且則則函函數(shù)數(shù)在在點點（ ）取取得得極極大大值值（取取得得極極小小值值（某某個個領領域域內內單單調調增增加加（某某個個領領域域內內單單調調減減少少。的的極極大大點點。是是故故又又為為駐駐點點答答：)(, 0)(4)( , 0)(, 0)(4)( 2)( ,0)( 000000000 xfxxxfxfxfxfxfxfxxxf 微微分分方方程程。性性齊齊次次為為特特解解的的四四階階常常系系數(shù)數(shù)線線）試試確確定定以以（程程。常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次微微分分方方為為特特解解的的二二階階）試試確確定定

24、以以（xyxyxeyeyxyxx2sin,2cos2,22sin14321 線線性性齊齊次次方方程程。由由特特征征方方程程導導出出常常系系數(shù)數(shù)；由由特特征征根根導導出出特特征征方方程程由由特特解解確確定定出出特特征征根根；題題的的方方法法是是：的的反反問問題題。求求解解這這類類問問線線性性齊齊次次微微分分方方程程分分析析：這這是是求求解解常常系系數(shù)數(shù))iiiiii例例1048 5 2)048520)2)(2()1)(22sin,2cos2)(1,)2()4(23424,3432,121 yyyyyiiirrrririrriiirxyxyrxeyeyixx所所求求齊齊次次線線性性方方程程：即即知

25、知，由由特特解解二二重重根根知知由由特特解解04 )040)2)(2()22)1221 yyiiiriririiiriri所所求求齊齊次次線線性性方方程程：即即，特特征征方方程程為為特特征征根根為為）（解解43 sin,()0,()122yyxyy 求在上滿足的特解自由項是分段函數(shù)，要分段求解，自由項是分段函數(shù)，要分段求解，然后在然后在x00出保證函數(shù)的連續(xù)性和可導性出保證函數(shù)的連續(xù)性和可導性121234sin0,sin,0cocoss2sin 2sin0,cos2sin 2sin,0sinyxyxCxCxyAxxyCBxCxxx 設）43 sinyyx解：3sin043 sin3sin0 x

26、xyyxxx1cos2sin2sin0, 21cos2sin2sin,02xxxyxxx 所以所以）341,201CCyx由 在處連續(xù)，可導121()0,()11,222yyCC 由12cos2sin2YCxCx，.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表達式；的表達式；（）（），試求：，試求：的齊次方程有一特解為的齊次方程有一特解為，對應，對應有一特解為有一特解為設設xfxpxxxfyxpy 例例2 2解解（）由題設可得：（）由題設可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程組，得解此方程組，得.3)(,1)(3xxfxx （）原方程為（）原方程為.

27、313xyxy ，的兩個線性無關的特解的兩個線性無關的特解程程是原方程對應的齊次方是原方程對應的齊次方顯見顯見221, 1xyy 是原方程的一個特解，是原方程的一個特解，又又xy1* 由解的結構定理得方程的通解為由解的結構定理得方程的通解為.1221xxCCy ).(,)sin()(22222ufzeyzxzyefzufxx求求滿滿足足方方程程具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，而而設設函函數(shù)數(shù) 例例3)sin( cos)sin( sin)sin( sin)sin( sincos)sin( sin)sin( 2222yeyfeyeyfezyeyfeyeyfezyeyefzyeyefzxxxxyy

28、xxxxxxxxyxxx ,)sin( 2222222fezeyefeyzxzxxxx 解解uuececufufuf 21)()()( 即，即，2202211011, 0,1:)21(11)2()22()1(2xeycycxecyxeepcyxecedxexcepxpdxdppyxxxxxxxxxdx 特特解解代代入入得得由由通通解解，代代入入得得，由由令令1, 1)1(2. 100 xxyyxyy解法解法1212221221*011011*10*21010*2120121)0(0, 1222222)(1, 00 xeyccxecyccxeccyxxybbxxbbbbyxbbyxbxbxbbx

29、yeccYrrrrxxxx ，代入初始條件得，代入初始條件得，通解通解令令解法解法2xxyy2coscos. 2 xxxxxxxfxcxcYirrcos213cos21cos3cos212coscos)(sincos01212 xxbxaxbxaxbxayxbxayxbxayxxf3cos21sin3cos3sin93cos9)3sin93cos9()3cos33sin3()3sin3cos(3cos21)(*1*1*11 令令對對于于解解)sin41(41, 00212*2xxybaab )sincos(cos)sin(cossin )cossin(sincos)sincos(,cos21)

30、(*2*2*22xbaxxbxaxbxayxbxaxxbxayxbxaxyxxf 令令對對于于xxbxaxxaxbxbaxxaxbcos21)sincos()sincos(2)sincos()sincos(2 xyab3cos161161, 0*1 xxxysin413cos161* xxxxcxcyYysin413cos161sincos21* *( cos2sin22 sin22 cos2 )( cos2sin22 sin22 cos22 sin22 cos24 cos24 sin2 )(43 )cos2( 43 ) ins 2xxxax bxaxbx ee ax bxaxbxaxbxax

31、yybxebaxabx xeyyyx2sin582. 3 解解224122802,4xxyc ec e *( cos2sin2 )xyeaxbx令令(43 )cos2( 43 )sin 2(2 )cos2(2 )sin2 8( cos2sin2 )5sinxxxxebaxabxeabxbaxeaxbxex 432(2 ) 80432(2 ) 851300513513baabaabbabaabb *24125(sin2 ),135 sin213xxxxyexyc ec exe xyxyln122.4 3ln6)3ln6(1)6ln6(1)ln12(1)ln12(ln122212212212121

32、22 xxcxxxcxxdxxxcxxdxxcxexxcePxxPxPyPdxdxxx令令解法解法12116ln636ln63cxxxxxcdxxxxxcy 3ln621 xxcy222212 212 lnln1,2,01200,1tttx yxyxxxetxabcd ydytedtdtycc e 令令解法解法2*01()tybb t e令令*01*011*011101101101110*()()()(2)()1223021269( 96 )tttttttybb t eye bb tbye bbb tbe bbb te bbb ttebbbbbyt e 令令1212( 96 )1 96lnttxycc et eccxex