大學(xué)數(shù)學(xué)：第7章 微分方程組與微分方程習(xí)題課

1、一、微分方程組與高階微分方程一、微分方程組與高階微分方程1.微分方程組與高階微分方程的相互轉(zhuǎn)化微分方程組與高階微分方程的相互轉(zhuǎn)化一階微分方程組一階微分方程組的一般形式的一般形式：向量形式向量形式 1112221212,nnnnndxft x xxdtdxft x xxdtdxft x xxdt , ( )dxf t x tdt 通過(guò)引入通過(guò)引入n-1個(gè)新的未知變量，可以把個(gè)新的未知變量，可以把n階微分方程階微分方程化為化為n個(gè)由一階微分方程組成的微分方程組：個(gè)由一階微分方程組成的微分方程組：,2322dd ydxxyyd12,yyddx 111nnnnyyddydxdx 1,yy 11, ,n

2、nnnd ydydyfx ydxdxdx 1223112 ,nnnnyyyyyyddxddxddxdfyyxyxyd (2) 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理在閉域在閉域上連續(xù)，且滿足上連續(xù)，且滿足Lipschitz條件：條件：則初值問(wèn)題則初值問(wèn)題(1)(2)在下屬區(qū)間上存在唯一的解：在下屬區(qū)間上存在唯一的解： 00, ( )(1)( ) (2)dxf t x tdtx tx ,f t x 00( , )|,nGt xtta xxbRR 1212()()f t,xf t,xL xx*1 max( , ) , min, 0min,令令GbMf t xhahhML *0tthP281定理定理1

3、.1二、線性微分方程組的理論二、線性微分方程組的理論1. 線性微分方程組的向量形式線性微分方程組的向量形式 （齊次的和非齊次的）（齊次的和非齊次的）( )( ) (1)dxA t xf tdt ( ) , (2)dxA t xdt( )( ),ijn nA ta t其中12( ,) ,Tnxx xx12( )( ),( ),( )Tnf tf tf tf t( )( )A tf tatb 這里和在上連續(xù)。這里和在上連續(xù)。特別地，特別地，齊次齊次線性微分方程組的線性微分方程組的n個(gè)特解的線性無(wú)關(guān)個(gè)特解的線性無(wú)關(guān)的充要條件是這的充要條件是這n個(gè)解的個(gè)解的Wronski行列式在行列式在t0處處的值不

4、等于的值不等于0，即，即W(t0) 02. n維向量值函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)維向量值函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)3. 齊次齊次線性微分方程組的基本解組、基解矩陣和通解線性微分方程組的基本解組、基解矩陣和通解( )X t C 基解矩陣基解矩陣-以基本解組為列構(gòu)成的矩陣以基本解組為列構(gòu)成的矩陣.12( )( )( )( )nX tx t x txt 111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt 基本解組基本解組:12( ),( ),( )nx tx txt齊次線性微分方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解齊次線性微分方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解

5、齊次線性微分方程的通解齊次線性微分方程的通解1122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xt注意注意:基解矩陣的性質(zhì)基解矩陣的性質(zhì)這里這里C是任意常數(shù)列向量是任意常數(shù)列向量.4. 非齊次非齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)及求解線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)及求解（1 ）非齊線非齊線性微分方程組解的性質(zhì)性微分方程組解的性質(zhì)（2 ）非齊次非齊次線性微分方程組的線性微分方程組的通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*( )( )( )x tX t Cx t 0*-10( )( )( ) ( ),ttx tX tXfdt tI其中其中0*( )() ( )ttx tX tfd 常系數(shù)常系數(shù)非齊線非齊線性微分方程組的

6、一個(gè)特解性微分方程組的一個(gè)特解(0)XE 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)5. 常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程組的求解線性微分方程組的求解的求解步驟：的求解步驟：( )( )3dx tAx tdt （ ）（ ）det()0,AE (1) 寫(xiě)出矩陣寫(xiě)出矩陣A的特征方程的特征方程det()0,EA 或或求出特征值求出特征值.(2) 代入特征值代入特征值 i,作矩陣作矩陣A- iE的初等行變換，的初等行變換，求出求出A的屬于特征值的屬于特征值 i的特征向量的特征向量(3) 代入特征值代入特征值 i,作矩陣作矩陣A- iE的初等行變換，的初等行變換，求出求出A的屬于特征值的屬于特征值 i的特征向量的特征向量12,n 互不相

7、同互不相同12,nr rr 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)1212( ),ntttnX ter erert (i)(ii)121112121,knnkknrrrrrr1122121112121( ), kkkttttttnnkknX terererererert 12,k 相應(yīng)重?cái)?shù)滿足相應(yīng)重?cái)?shù)滿足12knnnn(iii)應(yīng)用公式計(jì)算應(yīng)用公式計(jì)算120121( )()1!2!(1)!iiintnitttx trrrren 1()1,2,.,1jijirAE rjn 其中其中 若屬于若屬于 i的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)ni0()0inirAEr 為代數(shù)方程的一個(gè)特解為代數(shù)方程的一個(gè)特解()in

8、iiAErn 注意有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。注意有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。6.常系數(shù)常系數(shù)非齊次非齊次線性微分方程組的求解線性微分方程組的求解常系數(shù)非齊線性微分方程組常系數(shù)非齊線性微分方程組( )( )( )4dx tAx tf tdt （ ）（ ）x 滿足初始條件 (0)= 的解滿足初始條件 (0)= 的解0( )( )() ( )ttx tX t CX tfd 的通解的通解00( )()() ( ).ttx tX ttXtfd ( )( ) (0)dxX tA t xXEdt 其中是滿足條件的基解矩陣。其中是滿足條件的基解矩陣。123213312dxxxdtdxxxdtdxxxdt 1.1.求下列

9、常系數(shù)齊次線性微分方程組的通解：求下列常系數(shù)齊次線性微分方程組的通解：解解011101 ,110A 方程組系數(shù)矩陣其特征方程為方程組系數(shù)矩陣其特征方程為 2det12,AE 1212 二重 ，二重 ，123xxxx 011101110A dxAxdt 故特征值故特征值111101011 其對(duì)應(yīng)的特征向量為及，其對(duì)應(yīng)的特征向量為及， 22200ttttttteeeX teeee 故所求方程組的通解為故所求方程組的通解為 2122230,0ttttttteeeCx tX t CeeCeeC 123.CCCC 其中為任意常數(shù)其中為任意常數(shù)故基解矩陣為故基解矩陣為1122122434ttdxxxedt

10、dxxxedt 2.2.求出下列常系數(shù)齊次線性微分方程組通解：求出下列常系數(shù)齊次線性微分方程組通解： 12,43det1380,AAE 方程組的系數(shù)矩陣其對(duì)應(yīng)的特征方程方程組的系數(shù)矩陣其對(duì)應(yīng)的特征方程解解12111512 解得對(duì)應(yīng)的特征值，及特征向量，解得對(duì)應(yīng)的特征值，及特征向量，故齊次方程組的基解矩陣為故齊次方程組的基解矩陣為1243A 12xxx dxAxfdt 4ttefe 5152tttteextee 11111330,02133xEx 而故將代入，得而故將代入，得 111111000tx txt xCxtxfd 51521123312122233ttttttCeeeCtee 三三.

11、高階線性微分方程高階線性微分方程(1) 化為線性方程組化為線性方程組(1)123,:,:,:.:nnxx xxxxxx ( )( ) (1)dxA t xf tdt 12101000010( )0001( )( )( )( )nnnA ta tatata t ( ) (2)dxA t xdt 111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)000( )ff t 12( )( )( )( )nxtxtx txt 所有關(guān)于所有關(guān)于微分方程微分方程組的相關(guān)組的相關(guān)結(jié)論都可結(jié)論都可平行推論平行推論到到

12、n階線階線性微分方性微分方程上程上111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)( )( ) (1)dxA t xf tdt 21( )(,( ),)( )Tnx txtxxtt 若求得若求得 的解的解 (1)1()(xx tt 就是方程（就是方程（1）的解）的解( )x t若求得了（若求得了（1）的解）的解(1)( )(, ( ),()nTx tx txtx t 就是方程就是方程 的解的解 (1)對(duì)（對(duì)（2）和）和 也有類似的關(guān)系也有類似的關(guān)系(2)( ) (2)dxA t xdt 111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)121

13、2(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( )( )det( )( )( )nnnnnnx tx txtxtxtxtW txtxtxt 12( ),( ),( )nx tx txt線性微分方程(2)的n個(gè)解線性微分方程(2)的n個(gè)解線線齊齊性相關(guān)性相關(guān)次次00 , ( )0ta bW tWronskyWronsky行列式行列式(2) 解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)12( ),( ),( )nx tx txtn如果是 階微分方程如果是 階微分方程111( )( )0(2)nnnnnd xdxa tat xdtdt ;( )(1,2, ),ina tinatb個(gè)線性無(wú)關(guān)解 其中是上個(gè)線性無(wú)關(guān)解 其

14、中是上連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)n n階階齊次齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)( )x t則它的任一解可表為則它的任一解可表為1122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xt12,.nc cc這里是相應(yīng)確定的常數(shù)這里是相應(yīng)確定的常數(shù)基本解組基本解組:12( ),( ),( )nx tx txt(2)(2)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解為為(2)的一個(gè)基本解組的一個(gè)基本解組.*( )(1),(1)( )x tx t設(shè)是的任意的特解 則的通解可表為設(shè)是的任意的特解 則的通解可表為*1122( )( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xtx t12( )

15、,( ),( )nx tx txt其中：其中：為為(2)的一個(gè)基本解組的一個(gè)基本解組.12n12nc ,c , cc ,c , c 是任意常數(shù).是任意常數(shù).n n階階非齊次非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)（3）常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解1110nnnnnd xdxaa xdtdt 1110:nnnnnd xdxaa xdtdt 求的通解的步驟求的通解的步驟1212112121.(3):0(4)2.(2),)3.,nnnnnnnaaaa 寫(xiě)出的特征方程寫(xiě)出的特征方程求出的特征根（，求出的特征根（，根據(jù)特征根的情況 寫(xiě)出對(duì)應(yīng)特征根的根據(jù)特征根的情況

16、寫(xiě)出對(duì)應(yīng)特征根的線性無(wú)關(guān)的特解(見(jiàn)表格），線性無(wú)關(guān)的特解(見(jiàn)表格）， 再作這些特解的線性組合即得通解。再作這些特解的線性組合即得通解。常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程線性微分方程特征方程的根特征方程的根微分方程通解的對(duì)應(yīng)項(xiàng)微分方程通解的對(duì)應(yīng)項(xiàng)一個(gè)單實(shí)根一個(gè)單實(shí)根對(duì)應(yīng)一項(xiàng)對(duì)應(yīng)一項(xiàng)一個(gè)一個(gè)k階重根階重根對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)k項(xiàng)項(xiàng)一對(duì)單復(fù)根一對(duì)單復(fù)根對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)一對(duì)一對(duì)k階復(fù)根階復(fù)根對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)2k項(xiàng)項(xiàng)iitce112tkkecc tc t12cossintectct111121121222cos sintkkkkecc tc ttcc tc tt各種類型特征根在通解中所對(duì)應(yīng)項(xiàng)列表各種類型特征根在通解中所對(duì)應(yīng)項(xiàng)

17、列表121121212121,212)()(cossin)ttttixc ec eiixcc t eiiiiyectct :求其通解的步驟如下求其通解的步驟如下212121.(5):0(6)2.(6),3.,aa 寫(xiě)出的特征方程寫(xiě)出的特征方程求出的特征根求出的特征根根據(jù)特征根的情況 通解分為三種情況根據(jù)特征根的情況 通解分為三種情況120(5)xa xa x 特別，對(duì)特別，對(duì) f t 的類型的類型 mt 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 tt e cossinttt evtt evt 或或 *xt使用待定系數(shù)法應(yīng)設(shè)置的待解的形式使用待定系數(shù)法應(yīng)設(shè)置的待解的形式 *xZ t 0 0不是特征根與 同次數(shù)的多項(xiàng)式不

18、是特征根與 同次數(shù)的多項(xiàng)式k0 0是 重特征根是 重特征根 *kxt Z t 不是特征根不是特征根 *txZ t e iv 不是特征根不是特征根 *12cossintxeZtvtZtvt k 是 重特征根是 重特征根 *ktxt Z t e 2ivknk 是 重特征根是 重特征根1 1 *1212cossinktxt eZtvtZtvtZZ 與均為與 同次數(shù)的多項(xiàng)式與均為與 同次數(shù)的多項(xiàng)式 *( )f txt針對(duì)自由項(xiàng)的常見(jiàn)類型設(shè)置特解形式列表針對(duì)自由項(xiàng)的常見(jiàn)類型設(shè)置特解形式列表（4）常系數(shù)常系數(shù)非非齊次線性微分方程的求解齊次線性微分方程的求解:1.2.3.4.基基本本方方法法降降階階法法代代

19、數(shù)數(shù)的的方方法法變變量量代代換換法法（通通過(guò)過(guò)代代換換把把方方程程化化為為常常系系數(shù)數(shù)線線性性方方程程）常常數(shù)數(shù)變變易易法法振振動(dòng)動(dòng)方方程程速速度度有有關(guān)關(guān)與與加加速速度度幾幾何何問(wèn)問(wèn)題題應(yīng)應(yīng)用用：)3(,)2()1(?)()()( )1(的的通通解解結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)什什么么方方程程xfyxqyxpy *1122*( ),( )( )( )yxy xc yxc yxyyy 答答：設(shè)設(shè)是是該該方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特解解是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于該該方方程程的的齊齊次次方方程程的的通通解解是是該該方方程程的的通通解解22sin?)2(xyyxyyeyyxyyx 式式是是什什么么指指出出下下列列方方程程的的特特解解

20、形形)(*bxaxy xbey2* )sincos(*xbay )(2210*xbxbbxy ？的的一一個(gè)個(gè)特特解解如如何何求求方方程程 yxexyyxsin)3(2的的特特解解。是是，則則和和、的的特特解解；答答：分分別別求求出出xexyyyyyyyyyxyyeyyxyyxxsinsin23213212 123(4),( ) ( )( )( ) ( )0yyyyp x yq x yf xyp x yq x y 設(shè)設(shè)的的函函數(shù)數(shù)均均是是非非齊齊次次方方程程的的解解，則則與與該該方方程程對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的通通解解線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)是是什什么么？)()(322311yycyycy 齊齊

21、次次方方程程的的通通解解是是：)()()()()()1(3323133223113212211是是方方程程的的通通解解。是是非非齊齊次次方方程程的的特特解解，線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的解解，又又是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)、dyyyyyyyycyycyccycyc :,)()()( ,)5(21321的的通通解解是是是是任任意意常常數(shù)數(shù)，則則該該方方程程的的解解，均均是是設(shè)設(shè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的函函數(shù)數(shù)ccxfyxqyxpyyyy 32122113212211321221132211)1 ()()1 ()()()()(yccycycdyccycyccyccycycbyycyca ( )(

22、 )0(1)yP x yQ x y的一個(gè)非零特解，的一個(gè)非零特解，是方程是方程設(shè)設(shè))1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即證明證明:解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy的一階方程的一階方程 v000(7)( ) 2 40()

23、0()0,( )yf xyyyf xfxf xxabcd 設(shè)設(shè)是是方方程程的的一一個(gè)個(gè)解解，若若，且且則則函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)（ ）取取得得極極大大值值（取取得得極極小小值值（某某個(gè)個(gè)領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加（某某個(gè)個(gè)領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)減減少少。的的極極大大點(diǎn)點(diǎn)。是是故故又又為為駐駐點(diǎn)點(diǎn)答答：)(, 0)(4)( , 0)(, 0)(4)( 2)( ,0)( 000000000 xfxxxfxfxfxfxfxfxxxf 微微分分方方程程。性性齊齊次次為為特特解解的的四四階階常常系系數(shù)數(shù)線線）試試確確定定以以（程程。常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次微微分分方方為為特特解解的的二二階階）試試確確定定

24、以以（xyxyxeyeyxyxx2sin,2cos2,22sin14321 線線性性齊齊次次方方程程。由由特特征征方方程程導(dǎo)導(dǎo)出出常常系系數(shù)數(shù)；由由特特征征根根導(dǎo)導(dǎo)出出特特征征方方程程由由特特解解確確定定出出特特征征根根；題題的的方方法法是是：的的反反問(wèn)問(wèn)題題。求求解解這這類類問(wèn)問(wèn)線線性性齊齊次次微微分分方方程程分分析析：這這是是求求解解常常系系數(shù)數(shù))iiiiii例例1048 5 2)048520)2)(2()1)(22sin,2cos2)(1,)2()4(23424,3432,121 yyyyyiiirrrririrriiirxyxyrxeyeyixx所所求求齊齊次次線線性性方方程程：即即知

25、知，由由特特解解二二重重根根知知由由特特解解04 )040)2)(2()22)1221 yyiiiriririiiriri所所求求齊齊次次線線性性方方程程：即即，特特征征方方程程為為特特征征根根為為）（解解43 sin,()0,()122yyxyy 求在上滿足的特解自由項(xiàng)是分段函數(shù)，要分段求解，自由項(xiàng)是分段函數(shù)，要分段求解，然后在然后在x00出保證函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性出保證函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性121234sin0,sin,0cocoss2sin 2sin0,cos2sin 2sin,0sinyxyxCxCxyAxxyCBxCxxx 設(shè)）43 sinyyx解：3sin043 sin3sin0 x

26、xyyxxx1cos2sin2sin0, 21cos2sin2sin,02xxxyxxx 所以所以）341,201CCyx由 在處連續(xù)，可導(dǎo)121()0,()11,222yyCC 由12cos2sin2YCxCx，.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表達(dá)式；的表達(dá)式；（）（），試求：，試求：的齊次方程有一特解為的齊次方程有一特解為，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)有一特解為有一特解為設(shè)設(shè)xfxpxxxfyxpy 例例2 2解解（）由題設(shè)可得：（）由題設(shè)可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程組，得解此方程組，得.3)(,1)(3xxfxx （）原方程為（）原方程為.

27、313xyxy ，的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解程程是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方顯見(jiàn)顯見(jiàn)221, 1xyy 是原方程的一個(gè)特解，是原方程的一個(gè)特解，又又xy1* 由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為.1221xxCCy ).(,)sin()(22222ufzeyzxzyefzufxx求求滿滿足足方方程程具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，而而設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 例例3)sin( cos)sin( sin)sin( sin)sin( sincos)sin( sin)sin( 2222yeyfeyeyfezyeyfeyeyfezyeyefzyeyefzxxxxyy

28、xxxxxxxxyxxx ,)sin( 2222222fezeyefeyzxzxxxx 解解uuececufufuf 21)()()( 即，即，2202211011, 0,1:)21(11)2()22()1(2xeycycxecyxeepcyxecedxexcepxpdxdppyxxxxxxxxxdx 特特解解代代入入得得由由通通解解，代代入入得得，由由令令1, 1)1(2. 100 xxyyxyy解法解法1212221221*011011*10*21010*2120121)0(0, 1222222)(1, 00 xeyccxecyccxeccyxxybbxxbbbbyxbbyxbxbxbbx

29、yeccYrrrrxxxx ，代入初始條件得，代入初始條件得，通解通解令令解法解法2xxyy2coscos. 2 xxxxxxxfxcxcYirrcos213cos21cos3cos212coscos)(sincos01212 xxbxaxbxaxbxayxbxayxbxayxxf3cos21sin3cos3sin93cos9)3sin93cos9()3cos33sin3()3sin3cos(3cos21)(*1*1*11 令令對(duì)對(duì)于于解解)sin41(41, 00212*2xxybaab )sincos(cos)sin(cossin )cossin(sincos)sincos(,cos21)

30、(*2*2*22xbaxxbxaxbxayxbxaxxbxayxbxaxyxxf 令令對(duì)對(duì)于于xxbxaxxaxbxbaxxaxbcos21)sincos()sincos(2)sincos()sincos(2 xyab3cos161161, 0*1 xxxysin413cos161* xxxxcxcyYysin413cos161sincos21* *( cos2sin22 sin22 cos2 )( cos2sin22 sin22 cos22 sin22 cos24 cos24 sin2 )(43 )cos2( 43 ) ins 2xxxax bxaxbx ee ax bxaxbxaxbxax

31、yybxebaxabx xeyyyx2sin582. 3 解解224122802,4xxyc ec e *( cos2sin2 )xyeaxbx令令(43 )cos2( 43 )sin 2(2 )cos2(2 )sin2 8( cos2sin2 )5sinxxxxebaxabxeabxbaxeaxbxex 432(2 ) 80432(2 ) 851300513513baabaabbabaabb *24125(sin2 ),135 sin213xxxxyexyc ec exe xyxyln122.4 3ln6)3ln6(1)6ln6(1)ln12(1)ln12(ln122212212212121

32、22 xxcxxxcxxdxxxcxxdxxcxexxcePxxPxPyPdxdxxx令令解法解法12116ln636ln63cxxxxxcdxxxxxcy 3ln621 xxcy222212 212 lnln1,2,01200,1tttx yxyxxxetxabcd ydytedtdtycc e 令令解法解法2*01()tybb t e令令*01*011*011101101101110*()()()(2)()1223021269( 96 )tttttttybb t eye bb tbye bbb tbe bbb te bbb ttebbbbbyt e 令令1212( 96 )1 96lnttxycc et eccxex