2022年從不同角度談解三角形

1、第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè)1 課題從不同數(shù)學(xué)思想角度談解三角形解三角形是近些年高考的熱點(diǎn)，各省市的命題人在命題方向上標(biāo)新立異，但是我們可以從不同的方向上來(lái)解析歷年省市的真題、各地的模擬題，從而探索解三角形的熱點(diǎn)命題規(guī)律，進(jìn)一步的提升對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的解題能力。角度一：轉(zhuǎn)化與化歸思想i 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，當(dāng)思維受阻時(shí)考慮尋求簡(jiǎn)單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維方式利用正、余弦定理，通過(guò)“邊化角、角化邊、切化弦等”的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為熟悉的三角恒等變換、三角函數(shù)、平面向量等問(wèn)題，再進(jìn)行求

2、解1在三角形abc 中，角 a、 b、c 所對(duì)的邊分別為a、 b、c，已知 a23，c2 2，1tanatanb2cb，則 c 等于 ( ) a30b45c45或 135d 60【解析】 由 1tanatanb2cb和正弦定理，得cos asin bsin acos b2sin ccos a，即 sin c2sin ccos a，cos a60 由正弦定理，得2 3sin a22sin c，則 sin c22又 ca，c60 ，故 c45 【答案】 選 c 2在三角形abc 中，內(nèi)角a、b、c 所對(duì)的邊分別為a、b、c，且 a2b2c23bc若 a3，s為 abc 的面積，則s3cos bco

3、s c 的最大值為 ( ) a3 b2 c2 d3 【解析】 由 cos ab2c2a22bc3bc2bc32，a56，又 a3，故 s12bcsin a12asin bsin a asin c3sin bsin c，因此 s3cos bcos c3sin bsin c3cos bcos c3cos (bc)，于是當(dāng)b c 時(shí)取得最大值 3 【答案】 選 a 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè)2 3 已知三角形abc 的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大的內(nèi)角

4、是最小內(nèi)角的2 倍，則最小內(nèi)角的余弦值為 ( ) a34b56c710d23【解析】 依題意，不妨設(shè)三邊長(zhǎng)am1，bm，cm1，其中 m 2，mn，則有 c2a， sin csin 2a2sin acos a，由正、余弦定理得c2ab2c2a22bc，則 bc2a(b2c2a2)，于是 m(m 1)2(m1)(m24m)，解得 m5，故 cos ab2c2a22bc52 62 422 5 634 【答案】 選 a 4在銳角三角形abc 中，角 a、b、c 所對(duì)的邊分別為a、b、c，baab6cos c，則tanctanatanctanb的值是【解析】 由baab6cos c，得 b2a26ab

5、cos c.化簡(jiǎn)整理得2(a2b2)3c2，將tan ctan atan ctan b切化弦，得sin ccos c (cos asin acos bsin b)sin ccos c(ab)sin asin bsin ccos csin csin asin bsin2ccos csin asin b. 根據(jù)正、余弦定理得sin2ccos csin asin bc2aba2b2c22ab2c2a2 b2c22c232c2c24. 【答案】 4 5在 abc 中， b60 ，ac3，則 ab2bc 的最大值為 _ 【解析】 由正弦定理知absin c3sin 60bcsin a，ab 2sin c

6、， bc2sin a又 ac120 ，ab2bc2sin c 4sin(120 c)2(sin c2sin 120 cos c2cos 120 sin c) 2(sin c3cos csin c)2(2sin c3cos c)2 7sin(c )，其中 tan 32，是第一象限角，由于0 c120 ，且 是第一象限角，因此 ab2bc 有最大值2 7. 【答案】 2 7 6在 abc 中，內(nèi)角a， b，c 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a， b，c，已知 tan4a 2(1)求sin 2asin 2acos2a的值；(2)若 b4，a 3，求 abc 的面積【解】 (1)由 tan4 a 2，得 tan a

7、13，sin2asin2a cos2a2tan a2tan a 125精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè)3 (2)由 tan a13，a(0， )，得 sin a1010，cos a3 1010又由 a3，b4及正弦定理asin absin b，得 b3 5 由 sin csin (ab)sin (a4)，得 sin c2 55則abc 的面積 s12absin c 9【變式 11】 鈍角三角形的三邊長(zhǎng)為a， a1， a2， 其最大角不超過(guò)120，則 a 的

8、取值范圍是( ) a0 a3b32a3c2 a3 d 1a52【解析】 因?yàn)?a，a1，a2 為鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，a a1a2，則 a 1由大邊對(duì)大角可知，邊長(zhǎng)為a2 的邊對(duì)應(yīng)的角 最大，由余弦定理得cos a2(a1)2(a 2)22a(a1)(0，12)，得32 a3 【答案】 選 b 【變式 12】 若滿足條件c60 ， ab3， bca 的三角形abc 有兩個(gè)，那么 a 的取值范圍是( ) a(1，2) b(2，3) c(3，2) d (1，2) 【解析】 因?yàn)?c60 ，ab3，由正弦定理，得absin cbcsin a2，a 2 sin a，又 ab120 ，且三角形有兩解，60

9、 a120 ，且 a 90 ，即32 sin a1，得3a2 【答案】 選 c 【變式 13】在 abc 中，角 a，b，c 的對(duì)邊分別為a，b，c，且 2cos2ab2cos bsin(ab)sin bcos(a c)35. (1)求 cos a 的值；(2)若 a42， b5，求向量ba在bc方向上的投影【解】 (1)由 2cos2ab2cos b sin(ab)sin bcos(ac)35，得cos(ab)1cos bsin(a b)sin bcos b35，即 cos(ab)cos bsin(ab)sin b35. 則 cos(abb)35，即 cos a35. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

10、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè)4 (2)由 cos a35，0a ，得 sin a45，由正弦定理，有asin absin b，所以 sin bbsin aa22. 由題知 ab，則 ab，故 b4. 根據(jù)余弦定理，有(42)252c22 5c35，解得 c1 或 c 7(舍去 )故向量ba在bc方向上的投影為|ba|cos b22. 角度二：函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題方程思想，是從問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的

11、條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過(guò)解方程(組)或不等式 (組 )來(lái)使問(wèn)題獲解 有時(shí)， 還通過(guò)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌， 達(dá)到解決問(wèn)題的目的1在 abc 中，角 a，b，c 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csin a3acos c，則 sin asin b的最大值是 () a1b2c3d 3 【解析】 由 csin a3acos c，得 sin csin a3sin acos c，在 abc 中 sin a0 ，所以 sin c3cos c，tan c3， c (0， )， 則 c3. 所以 sin a sin bsin asin3a 32sin a32co

12、s a3sin a6，a 0，23，所以當(dāng)a3時(shí)， sin asin b 取得最大值3 【答案】 選 c 2在abc 中， d 為 bc 邊上一點(diǎn)， dc2bd，ad2， adc 45，若 ac2ab，則 bd 等于( ) a23 b4 c25 d 35 【解析】 在adc 中， ac2ad2dc22ad dc cos 45 2dc222 dc 222dc22dc；在abd 中， ab2bd2ad22bd ad cos 135 bd222 2 bd 222 (2bd22bd)，整理得 bd24bd10，解得 bd25或 25(舍去 ) 【答案】 選 c 3在三角形abc 中， 2sin2 a2

13、3sin a，sin (b c)2cos bsin c，則acab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè)5 【解析】 2sin2 a23sin a? 1 cos a3sin a? sin (a6)12因?yàn)?0a ，6a676，則 a656，所以 a23再由余弦定理，得a2b2c2bc， ；將 sin (bc)2cos bsin c 展開得 sin bcos c3cos bsin c，將其角化邊， 得 ba2b2c22abca2c2b22ac，即 2b22c2a2

14、，；將代入 ，得 b2 3c2bc0，左右兩邊同除以c2，得bc2bc30，解得bc1132或bc1132(舍去 )，acabbc1132 【答案】11324在 abc 中，角 a，b，c 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知 bcos c3bsin cac0(1)求 b；(2)若 b3，求 2ac 的取值范圍【解】 (1)由正弦定理知sin bcos c3sin bsin csin asin c0，將 sin asin (bc)sin bcos ccos bsin c 代入上式，得3sin bsin ccos bsin csin c0，在abc 中， sin c0 ，則3sin b cos b1

15、0，即 sin b612又 0b ，則 b3(2)由 (1)得bsin basin acsin c 2，2ac4sin a2sin c4sin a2sin (23a)5sin a3cos a27sin(a )，其中 tan 35，是第一象限角，由于 0 a120 ，且 是第一象限角，2 7sin(a )(3，2 7 因此 2ac的取值范圍為(3，27 5凸四邊形p abq 中，其中a、b 為定點(diǎn)， ab3，p、q 為動(dòng)點(diǎn)，滿足appqqb1(1)寫出 cos a 與 cos q 的關(guān)系式；(2)設(shè)三角形pab 和三角形pqb 的面積分別為s和 t，求 s2t2的最大值【解】 (1)在 p ab

16、 中，由余弦定理知pb2pa2ab22pa ab cos a42 3cos a，同理，在 pqb 中 pb222cos q， 423cos a2 2cos q， cos q3cos a1 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè)6 (2)由已知得， s12p a absin a32sin a，t12pq qb sin q，s2t234sin2a14sin2q34(1cos2a)34(1cos2q) 32cos2a32cos a3432cosa36278，當(dāng) cos

17、 a76時(shí)， s2t2有最大值為78【變式 2-1】已知 abc 的三內(nèi)角a， b，c 所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量 m(sin b,1cos b)與向量 n(2,0)的夾角 的余弦值為12(1)求角 b 的大??；(2)若 b3，求 ac 的范圍【解】 (1) m(sin b,1cos b)，n(2,0)， m n2sin b，又|m|sin2b 1cos b222cos b2 sin b2， 0b ， 0b22， sin b20， |m|2sin b2. 而|n|2， cos m n|m|n|2sin b4sin b2cos b212，b23， b23. (2) 由(1)得bsin bas

18、in acsin c2，且 ac3ac2sin a2sin c 2sin a 2sin (3a)sin a3cos a2sin (a3)，又 0a3，所以3 a323， 所以32sin a3 1，所以3 2sin a3 2，即 a c 的取值范圍為 (3，2. 【變式 22】設(shè)abc 的三內(nèi)角 a，b，c 所對(duì)的邊分別是a，b，c， abtan a，且 b 為鈍角(1)證明： ba2；(2)求 sin asin c 的取值范圍【證明】 (1)由 abtan a及正弦定理得sin acos aabsin asin b，所以 sin bcos a，即 sin bsin 2a，又 b 為鈍角，則2a

19、(2，)，故 ba2，即 ba2. 【解】 (2)由 (1)可知 c (ab) (2a2)22a0，故 a(0，4). 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 7 頁(yè)，共 12 頁(yè)7 則 sin asin csin asin 222a sin acos 2a 2sin2asin a1 0a4，故 0sin a，因此22 2 sina1429898由此可知sin asin c 的取值范圍是22，98【變式 23】 已知圓 o 的半徑為 r(r 為常數(shù) )， 它的內(nèi)接 abc 滿足 2r

20、(sin2 asin2c)(2ab)sin b，其中 a，b， c 分別為角a，b，c 的對(duì)邊，求abc 面積的最大值【解】 由正弦定理得a2c2b(2ab)，即 a2b2c22ab由余弦定理得cos ca2b2c22ab22，則 c4則 s 12absin c12 2rsin a 2rsin b sin 42r2sin asin b又 ab34，即 b34a則 s2r2sin asin b2r2sin asin (34 a)r2(sin2asin acos a) r2 22sin (2a4)12 又 0a34，則42a454則當(dāng) 2a42，即 ab38時(shí)， abc 面積的最大值為smax12

21、2r2角度三：數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將反映問(wèn)題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，也是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)的一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合1在三角形abc 中，已知ab 12， acb 的平分線cd 把三角形分成面積為32 的兩部分，則 cos a 等于 ( ) a13b12c34d 0 【解析】 如圖，sacdsbcd32addb，b2a，acd bcd，設(shè) ad3k，bd2k (k0)，精品學(xué)

22、習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 8 頁(yè)，共 12 頁(yè)8 在acd 中，由正弦定理得cdsin a3ksinacd， ；在bcd 中，由正弦定理得cdsin b2ksinbcd2ksinacd，即cd2sin acos a2ksin acd，；由 得 2cos a32，即 cos a34 【答案】 選 c 2在扇形 aob 中，圓心角 aob 等于 60，半徑為2，在弧 ab 上有一動(dòng)點(diǎn)p，過(guò)點(diǎn) p 引平行于ob的直線交 oa 于點(diǎn) c，設(shè) aop ，則三角形poc 面積取最大值時(shí)的

23、值為【解析】 如圖， cp/ob， cpopob60 ，ocp120 ，在poc 中，由正弦定理得opsin pcocpsin ，2sin120 cpsin ， cp43sin ，又ocsin(60 )2sin120 ， oc43sin(60 )，三角形 poc 面積為 s( )12cp ocsin120 1243sin 43sin(60 ) 3243sin sin(60 )43sin (32cos 12sin )43sin(2 30 )12， (0 ，60 )， 2 30 (30 ，150 )，當(dāng) 30時(shí)， s( )取得最大值為33 【答案】 30【變式 31】 在三角形 abc 中， c9

24、0， m 是 bc 的中點(diǎn) 若 sinbam13， 則 sinbac【解析】 如圖，設(shè) acb，abc，bca，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 9 頁(yè)，共 12 頁(yè)9 在abm 中，由正弦定理得12asin bamcsin bma，；因?yàn)?sin bmasin cmaacam，又 acbc2a2，amb214a2c234a2 sin bmac2a2c234a2，又由得12a13cc2a2c234a2，兩邊平方化簡(jiǎn)得4c412a2c29a4 0， 2c23a20，則 sin b

25、acac63 【答案】63【變式 32】abc 中， d 是 bc 上的點(diǎn)， ad 平分 abc， abd 面積是 adc 面積的 2 倍(1)求sin bsin c；(2)若 ad1，dc22，求 bd 和 ac 的長(zhǎng)【解】 (1)如圖， s abd12ab adsinbad， sacd12ac ad sincad，sabd2 s acd，bad cad，ab 2ac，由正弦定理，得sinbsincacab12(2)sabdsacdbddc， bd2，在abd 和acd 中，由余弦定理得ab2ad2bd22 ad bd cosadb， ac2 ad2 dc22 ad dc cosadc，故

26、ab22ac23ad2bd22dc26，由(1)知 ab2ac， ac1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - -第 10 頁(yè)，共 12 頁(yè)10 角度四：分類討論思想所謂分類討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，如不能用同一標(biāo)準(zhǔn)、同一種運(yùn)算、同一個(gè)定理或同一種方法去解決，因而會(huì)出現(xiàn)多種情況，我們就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)論得到整個(gè)問(wèn)題的解答實(shí)質(zhì)上分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略分類討論時(shí)應(yīng)注意理解和掌握分類

27、的原則、方法與技巧，做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏地分類討論”1在 abc 中，角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為a，b，c，ac 3，sabc334. (1)求 b；(2)若 b2，求 abc 的周長(zhǎng)【解】 (1)因?yàn)?sabc12acsin b，所以12 3sin b3 34，即 sin b32. 又因?yàn)?0b ，所以 b3或23. (2)由 (1)可知， b3或23，當(dāng) b3時(shí)，因?yàn)閍2c2ac(ac)23ac2，ac3，所以 ac11；當(dāng) b23時(shí)，因?yàn)閍2c2ac 2，ac3，所以 a2c2 1(舍去 )，所以 abc 的周長(zhǎng)為acb112. 2在 abc 中，內(nèi)角a，b，c 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c. (1)若 c2，c3，且 abc 的面積為3，求 a，b 的值；(2)若 sin csin(ba)sin 2a，試判斷 abc 的形狀【解】 (1) c2，c3， 由余弦定理c2a2b22abcos c 得 a2b2ab4. 又 abc 的面積為3，12absin c3，ab4. 聯(lián)立方程組a2b2ab4，ab 4，解得 a2， b2. (2)由 sin csin(ba)sin 2a，得 sin(ab)sin(ba)2sin acos a，即 2sin bcos a2sin