2015屆高考數(shù)學(xué)二輪解題方法篇：專題3 解題策略 第3講

1、第3講換元法在解題中的應(yīng)用方法精要一般而言，在數(shù)學(xué)問題中，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這種方法稱為換元法某些數(shù)學(xué)問題通過這種換元，往往可以暴露已知與未知之間被表面形式覆蓋著的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題途徑換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理?yè)Q元法又稱輔助元素法、變量代換法，其特點(diǎn)是通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，把陌生的形式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ男问礁咧袛?shù)學(xué)中主要換元法有整體換元、三角換元、對(duì)稱換

2、元、均值換元等等換元法應(yīng)用廣泛，如解方程、解不等式、證明不等式、求函數(shù)的值域、求數(shù)列的通項(xiàng)與和等，在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用題型一換元法求函數(shù)的解析式例1已知f(1cosx)sin2x，求f(x)破題切入點(diǎn)通過引入?yún)?shù)，令1cosxt，將原式轉(zhuǎn)化為含有t的式子，從而得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式，特別注意寫出函數(shù)f(x)的定義域解令1cosxt，則t0,2，所以cosx1t，所以f(t)sin2x1cos2x1(1t)2t22t，所以f(x)x22x(0x2)- 1 - / 10題型二換元法在不等式中的應(yīng)用例2已知a，b，cR，且abc1，求證：3.破題切入點(diǎn)換元法在不等式中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在不等式的

3、證明中，把原不等式中的參數(shù)用某一個(gè)或幾個(gè)量表示，然后利用取值范圍進(jìn)行比較證明設(shè)k，再設(shè)t1，t2，t3，其中t1t2t30，3a13b13c1(t1)2(t2)2(t3)2，即6k(t1t2t3)ttt(ttt)，6，解得k3，3.題型三換元法在三角函數(shù)中的應(yīng)用例3已知函數(shù)y22sinxcosxsinxcosx，x0，求函數(shù)的最大值和最小值破題切入點(diǎn)題目中的未知量較多，解題時(shí)選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)式作為輔助未知量，可以利用正弦與余弦之間的關(guān)系，設(shè)sinxcosxt，則2sinxcosxt21，把題目中較多的未知量通過換元用一個(gè)未知量表示，并根據(jù)這個(gè)未知量的范圍解決最值問題解令sinxcosxt，因

4、為x0，所以t1，由(sinxcosx)2t2得2sinxcosxt21，所以原函數(shù)變?yōu)閥t2t1，t1，因?yàn)閥t2t1的對(duì)稱軸是t，所以函數(shù)yt2t1在t1，上單調(diào)遞增所以t時(shí)函數(shù)有最大值ymax()213；t1時(shí)函數(shù)有最小值ymin3.總結(jié)提高換元法不僅是重要的解題方法，也是解高考題的熱點(diǎn)方法之一，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想發(fā)現(xiàn)構(gòu)造出變換式，常見的基本換元形式有等式代換、三角代換、均值代換、和差代換等1已知f()2x，則函數(shù)f(x)的解析式是()Af(x)2x2Bf(x)22x2Cf(x)22x2(x0) Df(x)x2答案C解析令t，t0，則x1t2，所以f(t)22t2(t0)所以

5、f(x)22x2(x0)2已知函數(shù)f(x)ax3bsinx4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg2)等于()A5B1C3D4答案C解析因?yàn)閘og210與lg2互為倒數(shù)，所以lg(log210)與lg(lg2)互為相反數(shù)不妨令lg(log210)x，則lg(lg2)x，而f(x)f(x)ax3bsinx4a(x)3bsin(x)48，故f(x)8f(x)853.3若函數(shù)yf(x)的值域是，3，則函數(shù)F(x)f(x)的值域是()A，3 B2， C， D3，答案B解析令tf(x)，則t，3，則F(x)f(x)可化為yt，t，3，易知，當(dāng)t1時(shí)，y有最小值2，當(dāng)t3時(shí)，y有最大值

6、.故函數(shù)F(x)的值域?yàn)?，4函數(shù)f(cosx)cos2x3cosx2的最小值為()A2 B0 C D6答案B解析設(shè)tcosx，則f(t)t23t2，t1,1，所以有f(t)(t)2.結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)t1時(shí)，函數(shù)f(t)有最小值即為0.5如果f()，則當(dāng)x0且x1時(shí)，f(x)等于()A. B. C. D.1答案B解析令t，得x，f(t)，f(x).6若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)ysinxcosxsinxcosx的最大值是()A1B.CD.答案D解析由0<x，令tsinxcosxsin(x)，而<x，得1<t.又t212sinxcosx，得sinxcosx，得yt

7、(t1)21，有10<y.所以y的最大值為.7已知f(3x)4xlog23233，則f(2)f(4)f(8)f(28)的值等于_答案2008解析令t3x，則xlog3t，f(t)4log3tlog232334log232334log2t233，所以f(2)f(4)f(8)f(28)4×(1238)8×23314418642008.8函數(shù)yx4的最小值是_答案1解析由9x20得3x3，故可令x3sin(，)，則y3sin43sin3cos43sin()4.又，所以sin()，1，所以y1,349若cos2x2msinx<0恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍解原式化為1s

8、in2x2msinx<0，則sin2x2msinx>0，即(sinxm)2m2>0恒成立令tsinx，f(t)(tm)2m2(1t1)若m<1，則當(dāng)t1時(shí)，f(t)有最小值f(1)2m，所以2m>0，即m>，所以<m<1.若m>1，則當(dāng)t1時(shí)，f(t)有最小值f(1)2m，所以2m>0，即m<，所以1<m<.當(dāng)1m1時(shí)，f(t)有最小值f(m)m2.所以m2>0.所以1m1.綜上，m的取值范圍是<m<.10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x，y)是橢圓y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求Sxy的最大值解根據(jù)分析，

9、令cos，ysin，則xcos，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos，sin)，其中0<2.因此Sxycossin2(cossin)2sin()所以當(dāng)時(shí)，S取最大值2.11若函數(shù)f(x)4xa·2xa1在(，)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解方法一設(shè)2xt，則函數(shù)f(x)4xa·2xa1化為g(t)t2ata1(t(0，)函數(shù)f(x)4xa·2xa1在(，)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程t2ata10，有正實(shí)數(shù)根(1)當(dāng)方程有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，a應(yīng)滿足解得：1<a22；(2)方程有一正根一負(fù)根時(shí)，只需t1·t2a1<0，即a<1；(3)方程有一根為0時(shí)，a1，此時(shí)方程的另一根為1.綜上可知a22.方法二令g(t)t2ata1(t(0，)(1)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，)上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足解得1<a22.(2