4.1三角形中與比例線段有關(guān)的幾個(gè)定理-梅涅勞斯定理及應(yīng)用--沈文選

1、i4.1梅涅勞斯定理及應(yīng)用梅涅勞斯定理設(shè) A/、B/、C/分別是 ABC的三邊BG CA AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若 A/、B/、C/三點(diǎn)在一條直線上，則(4.1-1)BA/ CB/ AC/ ./ ./.A/C B/A C/B注若采用有向線段，上式右邊為-1 （下面均同）.證明 如圖4-1 ,過(guò)A作直線AD C/A/,交BC的延長(zhǎng)線于D,則CB/ _ CA AC DA/ B/A - A/D , C/B - A/BBA/ CB/ AC/ BA/ CA/ DA/1A/C . B/A. C/B - A/C . A/D . A/B " .圖4-1梅涅勞斯定理的逆定理設(shè) A/、B/、C/分別是

2、ABC的三邊BC CA AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)且其中僅一點(diǎn)在延長(zhǎng)線上或三點(diǎn)均在延長(zhǎng)線上，若(4.1-2)BA/ CB/ AC/././A/C B/A C/B則A/、B/、C/三點(diǎn)在一條直線上.證明不妨設(shè)僅有點(diǎn)A/在BC的延長(zhǎng)線上，則直線 A/B/與邊AB相交，設(shè)交點(diǎn)為C1，由梅涅勞斯定理，得到由題設(shè)，有則又由合比定理，知BA/A/CCB/ AC1/1B/A C1BBA/ CB/ AC/ ,/ ./A/C B/A C/BAC1 _ AC/* BbAC1 _ AC/ ab- =7F,故有AC1 =AC/.從而C1與C/重合，即A/.、B/、C/三點(diǎn)在一條直線上.梅涅勞斯定理是導(dǎo)出線段比例式的重要途徑

3、之一.梅涅勞斯定理的逆定理是證明三點(diǎn)在一條直線上的7理論依據(jù)之一.例1點(diǎn)，那么已知 D F分別是4ABC邊AR AC上的點(diǎn)，且 AD DB=CF FA =2:3 ,連DF交BC邊延長(zhǎng)線于 EEF: FD=(1990年“祖沖之”杯邀請(qǐng)賽題）=1,由此得匹EFE分別是4ABC的邊BC CA上的點(diǎn),BD 2 AE 3 .=一，=_,AD> BE父于F,則DC 3 EC 4AFFDBFFE填2:1 .理由：如圖4-2,對(duì)4DFA與截線ECB，由梅涅勞斯定理，有 DE .FC .jab = DEEF CA BD EF3 . EF=3 從而=2,即 EF: FD =2: 1 .2, FD的值是（A3

4、B.194c 35C.12c 56 D.15（1997年太原市競(jìng)賽題）圖4-2解 選C理由：如圖4-3,對(duì)4ADC與截線BFE,由梅涅勞斯定理，有AFFDDB CE AF 2 4 d . 一 . .,BC EA FD 5 3AF 15FD 8A圖4-3對(duì)BECI截線AFD,由梅涅勞斯定理，有BFEA CD BFFEAC DB FEBF 14AFFE 9BF 15 1435FD FE 8 912如圖4-4 ,在4ABC中，/A=90 1點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BD上，AE的延長(zhǎng)線交BC于F.若BE:ED = 2AC: DG 求證：/ ADB= / FDC證明 取BC中點(diǎn)M連結(jié)AM交BD于GKBCD與

5、截線AEF由梅涅勞斯定理，有BF CA DE /.=1.FC AD LBBE 2ACEDDCBF 2AC AD 2AD.FC DC AC DCBC _ 2AD DCfc DC圖I同理，對(duì) ACMW截線DGB有AD CB MG / . - = 1,DC BM GA1由 AM =BM = BC（因/A =90，得2AG _ 2AD AG _ 2ADGM - DC , AM _ 2AD DCAG AD由、得AGFC又/ MAC =ACM 則 AG及 ACFDBC 2AD DCADDC故/ ADB= / FDC例4已知凸五邊形 ABCD的足DC =DE,/DCB =N DEA =90 1點(diǎn)F是線段AB

6、內(nèi)一點(diǎn)，并且AF:BF（1997年波蘭奧林匹克題）=AE: BC 證明：/ FC巳 / ADE / FEC= / BDC證明 如圖4-5 ,延長(zhǎng) CB EA交于點(diǎn) O,連DO過(guò)A作AG/ CE交CO于G,交DO于H.由 DC = DE,/DCB =/DEA =90 ：知 Rt OCD 9 RtOED從而CE ±OD, AG ± OD,AE = CG, GH = HA.G F、H三點(diǎn)在一條直線上.注意到 型.世二°2 世 =1,由梅涅勞斯定理的逆定理，知CG HA FB AE FB圖4-5OHCO在OHCF口4OAD中，易知 /COH =NDOA,又由=cos/DO

7、A = cos/COH =，則OADO故有 OHCs AOAD,OCH = ODA再由從而,OCE =90 一. COD =90 一. EOD "ODE,.FCE = OCE - OCH = ODE - ODA = ADE.類似地，過(guò) B作 CE的平行線交 OD于H / ,重復(fù)上述 過(guò)程可證E、H /、F在一條直線上，OH /E oc AOBD ,進(jìn)而可證/ FEC =/BDC.例5在凸四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC和BD上各取兩點(diǎn)E、G和F、H,使得11 一、一 一AE =GC = AC,BF =HD= BD.設(shè) ARCDEF、GH 的中點(diǎn)分別為M NP、Q 求證：MP、Q N44

8、四點(diǎn)共線.（第17屆全俄奧林匹克題）證明 如圖4-6 ,連MN分另1J交AG BD于點(diǎn)S、R,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O.直線SRMW4OAB相截，直線RSNIOCDf截，由梅涅勞斯定理，有OS AM BR / OS CN DR / .=1,.=1.SA MB RO SC ND RO圖4-6而 AM = MB, CN = ND,nrtAS OS CS, BR OR DR故 "二 AS CS _ AC AS _ BRBR - BR DR BD , AC BD_ 1 1 _又 ES = AS AE, AE = AC, FR = BR BF, BF = BD,于是， 44ES AC AS OSF

9、R BD BR OR又 EP = PF ,貝UOS EP FR OS、FR 彳.SE PF RO OR ES由梅涅勞斯定理的逆定理，知S R P共線.即M P、N三點(diǎn)在一條直線上.同理，M。N三點(diǎn)在一條直線上.所以， M P、Q N四點(diǎn)共線.習(xí)題4.11 在 ABC中，口E是邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，BM交AD于G,交AE于H,則BG GH HM等于 .（1990年江蘇省競(jìng)賽題）22 在4PQ對(duì)，延長(zhǎng)PQ到S,使PQ= QS，點(diǎn)U在邊PR上，且PU =UR,連結(jié)SU設(shè)SU與QR的交3點(diǎn)為T,則QT =（1994年上海市競(jìng)賽題）QRAD 5 AC 43 在4ABC中，D是AB內(nèi)一點(diǎn)，E

10、是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE與BC相交于F,已知 =C=一，則DB 2 CE 3二二=（1994年“祖沖之”杯邀請(qǐng)賽題）FC4 在 ABC中,D E是BC上的點(diǎn)，BDDEEC= 3:2:1 ,點(diǎn)M在AC上，CM : MA = 1： 2 , Bg AD:AE于 H G,則 BH HG GM 等于（）.A.3:2:1 B.5:3:1 C.25: 12:5 D.51: 24:10（ 1995 年黃岡地區(qū)競(jìng)賽題）5 在正4ABC的邊BG CA AB上分別有內(nèi)分點(diǎn) D E、F,將邊分成2: （n-2）（其中n>4）,線段AD BE、1 一 CF相交所成的 PQR的面積是 ABC的面積的，則n的值是（）

11、.7A. 5 B .6 C . 7 D .8（1995年河北省競(jìng)賽題）6 平面上有P、Q兩點(diǎn)，由點(diǎn)P引出三條射線，由點(diǎn) Q引出兩條射線分別與前三條射線相交于A B、C、E、F、G（前三點(diǎn)在一條射線上，后三點(diǎn)在另一條射線上）.如果AB= B C,求證：2+空=2匹.EP GP PF（1991年“漢江杯”競(jìng)賽題）7 令P是4ABC的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，延長(zhǎng) AR BP、CP與對(duì)邊相交，圖中 a、b、c、d為各線段之長(zhǎng).已知 a+b+c= 43, d=3.求abc等于多少？（第6屆美國(guó)邀請(qǐng)賽題，同習(xí)題 3.1第7題）AE（第7題答案L填5： 3, 2.理由:對(duì)與截線八GD、AHE,分別由梅涅勞斯定理,有BG

12、M4 CD BG I(iM ACDB GM 2苧Q知改;有言/給"嘉知故 BG ： GH ： HM = 5 ,力 2.工填：.理由：對(duì)與截線STU，由梅涅勞斯定理得以工RUUP第則煤T3,填出理由阿HC4與截線EFD,由梅涅勞斯定理得 厚ioFtCEEAD13HFFT4.選以理由；對(duì)與截線八HD由梅涅勞斯定理得MAACCD對(duì)BMC與截線人仃£:,由梅涅勞斯定理得加 , （jM麗 = 則麗=T需7）5 . %=國(guó)1 . 2 . J_ = rjjflAC EB GM 3 5 尚 （】二桿）=51 3 It）.S，選B.理由：由9八以.=CE ： El - 2 ；注意到削線小生分別交八左的邊或其延k線于、氏E,由梅涅勞斯定理得黑*俄痣=蔡 J. I J.Jf 工/22tt n - 2n - 2) t _ nkn 2)2 c2(ji 2) t 皿6斤幻+ 4以門 2)+4，7 * X的 心乃+戶.w I可理，S；曲網(wǎng)/：” ? j.因而 5二甘+ Sabixj +安七8乙,叱,從而= ? .解得也=6.程5 一 £)十 4n Z) + 476-時(shí)陰隹與截線Q"及與截線西.由梅涅勞斯定理得僚 陽(yáng)RF . PF驚Cd 1 丁好沿 西*丙=3而飛訐=L不妨設(shè)二黑=。即' 故工+ y = 2