13講梁的撓曲線方程與積分解法

1、第十三講 梁的撓曲線方程與積分解法 湖南理工學(xué)院曾紀(jì)杰 梁的撓度和轉(zhuǎn)角梁的撓度和轉(zhuǎn)角 ypxccwx1、度量彎曲變形的兩個量：（1）撓度：梁軸線上的點(diǎn)在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）（2）轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對于原來橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角位移稱為轉(zhuǎn)角。一一 彎曲變形的量度及符號規(guī)定彎曲變形的量度及符號規(guī)定 梁的撓度和轉(zhuǎn)角梁的撓度和轉(zhuǎn)角 ypxccwx（2）撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。2、符號規(guī)定：（1）坐標(biāo)系的建立： 坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。（3）轉(zhuǎn)角的

2、符號規(guī)定：逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正； 順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。w（-） （- -）1、撓曲線： 在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。軸線軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面fqm彎曲后梁的軸線彎曲后梁的軸線（撓曲線）（撓曲線）純彎曲純彎曲 橫力彎曲橫力彎曲（ lh5）2 2、撓曲線的近似微分方程、撓曲線的近似微分方程(1)曲率與彎矩、抗彎剛度的關(guān)系.0175.010maxrador橫力彎曲橫力彎曲max（0.010.001）l ；meid2 2d dx2（x）2 2owxmm0022mdxdw選取如圖坐標(biāo)系，則選取如圖坐標(biāo)系，則 彎矩彎矩m與與 恒為同號恒為同號22d

3、xd(2)(2)撓曲線近似微分方程符號及近似解釋撓曲線近似微分方程符號及近似解釋meid2 2d dx2（x）近似解釋：（1）忽略了剪力的影響；（2）由于小變形，略去 了曲線方程中的高次項(xiàng)。2 22 2(3)選用不同坐標(biāo)系下的撓曲線近似微分方程1 1、積分法、積分法基本方法基本方法 利用積分法求梁變形的一般步驟：（1）建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程； 分段的原則:凡載荷有突變處（包括中間支座），應(yīng)作為分段點(diǎn)；凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間 的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；二二 計算彎曲變形的

4、兩種方法計算彎曲變形的兩種方法(2)(2)分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分 兩次兩次對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次，得撓曲線方程：)(1)(cdxxmeidxdxdcxdxxmeix)(1)(3)(3)利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù) 積分常數(shù)的數(shù)目取決于的分段數(shù) m (x) n 段 積分常數(shù)2n個舉例：)(xm分2段，則積分常數(shù)2x2=4個積分常數(shù)的確定邊界條件和連續(xù)條件： 邊界條件邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。 連續(xù)條件連續(xù)條件：梁的撓曲線

5、是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。 邊界條件積分常數(shù)2n個=2n個 連續(xù)條件00aa右左右左bbbb邊界條件： 連續(xù)條件：列出圖示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。列出圖示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。000caa右左右左右左bbdddd解：邊界條件： 連續(xù)條件： 積分常數(shù)的物理意義和幾何意義積分常數(shù)的物理意義和幾何意義物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得 即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的轉(zhuǎn)角，它的ei倍就是積分常數(shù)c； 即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的撓度的ei倍就是積分常數(shù)d。幾何意義：c轉(zhuǎn)角 d撓度(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；(5)計算指

6、定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意 和 及其 所在截面。oeicoeidmaxmaxaqbla例例題題1: 懸臂梁受力如圖所示。求懸臂梁受力如圖所示。求 和和 。axyx取參考坐標(biāo)系取參考坐標(biāo)系axy。解：解：1、列出梁的彎矩方程、列出梁的彎矩方程221)(qxxm)0(lx2、22dxdzeixm)(221qxei積分一次：積分一次：cqxeiei361積分二次：積分二次：dcxqxei4241（1）（2）3、確定常數(shù)、確定常數(shù)c、d.由邊界條件：由邊界條件：0,lx代入（代入（1）得：）得：361qlc0,ylx代入（代入（2）得：）得：481qld代入（代入（1）（）（2）得：）得：)616

7、1(133qlqxei)86241(1434qlxqlqxeieiqla630 x代入得：代入得：將將（與（與c比較知：比較知： ）ceiaeiqla84（與（與d比較知：比較知： ）deia常數(shù)常數(shù)c表示起始截面的轉(zhuǎn)角表示起始截面的轉(zhuǎn)角剛度剛度( (ei) )因此因此常數(shù)常數(shù)d表示起始截面的撓度表示起始截面的撓度剛度剛度( (ei) )例例題題2: 一簡支梁受力如圖所示。試求一簡支梁受力如圖所示。試求 和和 。)(),(xxmax,aalfcabayfbyfyx解：解：1、求支座反力、求支座反力,lfbfaylfafbyx2、分段列出梁的彎矩方程、分段列出梁的彎矩方程,)(1xlfbxfxm

8、a,1xlfbei)(lxabc段段x)0 (axac段段b),()(2axfxlfbxm),(2axfxlfbei,21211cxlfbeiei)(lxabc段段)0 (axac段段,)(2222222caxfxlfbeiei,61131dxcxlfbei,)(6622332dxcaxfxlfbei3、確定常數(shù)、確定常數(shù)由邊界條件：由邊界條件：0, 0ax（1）0,blx（2）由光滑連續(xù)條件：由光滑連續(xù)條件：21 時，ax（3）21 時，ax（4）可解得：可解得：)(6221bllfbc,2c021 dd則簡支梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為則簡支梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為),(36)(2221blxleifbx)(lxabc段段)0 (axac段段,)(6)(2231xblxleifbx,2)()(36)(22222axfblxleifbx)(6)(6)(32232axlxblxleifbx4、求轉(zhuǎn)角、求轉(zhuǎn)角0 x代入得：代入得：leiblfbxa6)(2201lx代入得：代入得：leialfablxb6)(25、求、求 。max0dxd由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22leiblfba)(03)(1b