橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)42026

1、橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)一（必背的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組點(diǎn)p處的切線pt平分在點(diǎn)p處的外角.pt平分apfr在點(diǎn)p處的外角，則焦點(diǎn)在直線pt上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦pq為直徑的闘必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離. 以焦點(diǎn)半徑pf】為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.y22 2若人（心,兒）在橢圓冷+與=1上，則過p.的橢圓的切線方程是辱+孚=1. a 廳cr22若人（觀,兒）在橢圓1 +與=1外，則過po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為p、p2, er則切點(diǎn)弦p.p2的直線方程是辱+卑=1.a lr橢鬪二+與=1 （a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為fp f2,點(diǎn)p為橢関

2、上任意一點(diǎn) a b上叭2 =廠 則橢圓的焦點(diǎn)角形的血積為sy.嚴(yán)22 2 橢圓二+ £ = 1（a>b>0）的焦半徑公式： a bi mfl = a-exq, mf21= q-er（）（好（一c,0） , £jc,0） m（x0, y）設(shè)過橢圓焦點(diǎn)f作直線與橢圓相交p、q兩點(diǎn)，a為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)ap和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的橢圓準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn)，則mf丄nf.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)f的直線與橢圓交于兩點(diǎn)p、q, a|、a2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，a.p和a?q交于點(diǎn)m, a?p和a|q交于點(diǎn)n,則mf丄nf.22ab是橢圓罕+芻=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，m（x0,

3、y0）為ab的屮點(diǎn)，則 a trb20m ab a2 b 心）2 2若£©0，兒）在橢圓二+與二1內(nèi)，則被po所平分的屮點(diǎn)弦的方程是79加.3 _ xo .兒 cr /?_ cr b_2 213. 若£)(兀o,兒)在橢圓冷+與=1內(nèi)，則過po的弦屮點(diǎn)的軌跡方程是 a b戲.>，2 _ 勺兀.)70)?尹+厲_戸+歹.雙曲線1. 點(diǎn)p處的切線pt平分apfif?在點(diǎn)p處的內(nèi)角.2. pt平分apfif?在點(diǎn)p處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線pt上的射影h點(diǎn)的軌跡是 以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點(diǎn)半徑pf

4、|為總徑的圓必與以實(shí)軸為總徑的圓相切.(內(nèi)切：p在右支； 外切：p在左支)2 25. 若£)(兀o，y()在雙曲線 屯 = 1 (a>(),b>()上，則過&的雙曲線的切線a b方程是學(xué)一軍"cl tr2 26. 若£)(心,刃)在雙曲線與一斗=1(a>0,b>0)外，則過po作雙曲線的兩a b條切線切點(diǎn)為比、p?,則切點(diǎn)弦p|p2的直線方程是辱-塢=1.ct227. 雙曲線亠一與=1 (a>(),b>o)的左右焦點(diǎn)分別為h，f2，點(diǎn)p為雙曲線ct /t上任意一點(diǎn)zf、pf2 = y,則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為s屮 &q

5、uot;co2.2 28. 雙曲線與一務(wù)=1 (a>0,b>o)的焦半徑公式：(斥(c,0) , f,(c,0)ct b當(dāng) m (兀(),y(j 在右支上時(shí)，丨 mf = exq +(7,1mf2 = ex - a.當(dāng) m(兀(),y(j在左支上時(shí)，丨 mf 1= -exq +d ,1mf2 = -exq -a9. 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)f作直線與雙曲線相交p、q兩點(diǎn)，a為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè) 頂點(diǎn)，連結(jié)ap和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的雙|11|線準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn)，則 mf 丄 nf.10. 過雙illi線一個(gè)焦點(diǎn)f的直線與雙|11|線交于兩點(diǎn)p、q,a|、a?為雙illi線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，a|p

6、和a?q交于點(diǎn)m, a?p和aq交于點(diǎn)n,則mf丄nf.2 211. ab是雙曲線二一厶=1 （a>0,b>0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，m（x（）,y（）為h2xh2xab的中點(diǎn)，則50=丁，即kab= +。a 兒a jo2 212. 若（x0,y0）在雙曲線亠一當(dāng)=1 （a>0,b>0）內(nèi)，則被po所平分的中點(diǎn)cr tr2 213. 若/（x0,y0）在雙曲線一-厶 = 1 （a>o,b>o）內(nèi)，則過po的弦中點(diǎn)的軌 er tr跡方程是二_2；=辱一孚.礦 zr cr tr橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)一（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組x2 v2=1.ffipl

7、+ = 1（a>b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為人（一么0）,人（匕0）,與y軸平行 cr b_的直線交橢圜于ph p2時(shí)a.pj與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程是2 22.過橢圓亠+務(wù)=1 （a>0, b>0）.上任一點(diǎn)ac%,%）任意作兩條傾斜角互補(bǔ) cr b_的直線交橢圓于b,c兩點(diǎn)，則直線bc冇定向心。=孕（常數(shù)）.°兒x v3. 若p為橢圓+ v = l （a>b>0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),fb f2是焦點(diǎn),a bzpffr = a, zpf,f=/3,則- =""d+c 22x2 v24. 設(shè)橢圓飛+七=1 （a>b>0）

8、的兩個(gè)焦點(diǎn)為f、f2,p （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為ct b橢圓上任意一點(diǎn)，在 pf,f2 + , 記zfpf2=a ,zpf、f.=/3,zfff = y,則有.丁° =£之.sin /? + sin / a5. 若橢圓二+ . = 1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f|、f2,左準(zhǔn)線為l, a' b則當(dāng)0<cw血-1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)p,使得pr是p到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與pf?的比例中項(xiàng).6.p為橢圓手+壬=1(a>b>0)上任一點(diǎn),re為二焦點(diǎn)，a為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 2a- af21<1 pai + i pfx< 2d+1 a

9、f，當(dāng)且僅當(dāng) a%p 三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立.7.橢圓仕+()護(hù) =1與肓線加+ by + c二0有公共點(diǎn)的充要條件 ab厶是 a2a2 + bb2 > (a%0 + by + c)2.x2 y2已知橢圓+ = 1 (a>b>0), o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)， a且op 丄oq. (1) !石+ != = a + 丄；(2) iopi2+ioqi2 的最人值為 i op 卩 0q |2 a2 b2y4a2b2的最小值是crb2772 2過橢圓冷+ = 1 (a>b>0)的右焦點(diǎn)f作直線交該橢圓右支于m,n兩點(diǎn) a| pf | e弦mn的垂直平分線交x軸于p

10、,則二一mn 22 210. 已知橢圓罕+丄7 = 1 ( a>b>0),a、b、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段ab的垂a直平分線與x軸相交于點(diǎn)p(xo,o),則一乞也 < % <乞二乞aa11. 設(shè)p點(diǎn)是橢圓罕+ £ = 1 ( a>b>0)上界于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f、f2為 ct x2by其焦點(diǎn)記zfpf,=e,貝|j(1)ipf pf2=.(2) s、pff =h2 tan-.1 + cos &1 222 212. 設(shè)a、b是橢圓2 + = 1 ( a>b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，p是橢圓上的一點(diǎn), er bzpab = a, zpba

11、= 0上bpa = y，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，亠i2abtcosch門2則有(1)pa =.(2) tantztan/? = l-e.(3)a -c cos y2a2b2口呵.2 213. 已知橢圓亠+芻二1 （ a>b>0）的右準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)e,過橢圓右 a b焦點(diǎn)f的直線與橢圓相交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)c在右準(zhǔn)線/ ±, rbc丄x軸，則直線ac經(jīng)過線段ef的中點(diǎn).14. 過橢|員|焦半徑的端點(diǎn)作橢i員i的切線，打以長(zhǎng)軸為直徑的閲相交，貝ij相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線乖苴15. 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半

12、徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形屮，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑z比為常 數(shù)e （離心率）.（注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、夕卜角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）17. 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形屮，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓小心的比例小項(xiàng).橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)一（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組雙曲線x2 1 雙曲線一-= 1 （a>（xb>0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 a （q，0） , a,（。,0）,與 a by軸平行的直線交雙曲線于pi.p2時(shí)a.p,與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程是2.3.2 2x +丿=1 a2 h2

13、y2過雙曲線一7-丄7 = 1 (a>0,b>o)上任一點(diǎn)a(xo，)b)任意作兩條傾斜 ct /?_b%角互補(bǔ)的直線交雙曲線于b,c兩點(diǎn)，則直線bc有定向且心°.qo(常數(shù)).2 2ci4.點(diǎn) f, f 2c-aa=tancot c + a2焦點(diǎn)，apff2=a ,廈戶厲片=0 ,則(或口c + atan紜上).2 2(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為fi、fp (界于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)在 pff2 中，記 zf'pf? = a ,sin a加心,則有士(切一砂)a若p為雙曲線一一厶 = 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外

14、的任5.6.7.2 2若雙曲線二一真=1 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f】、f2,左準(zhǔn) a b線為l,則當(dāng)ivew血+ 1時(shí)，可在雙illi線上求一點(diǎn)p,使得pf】是p到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d ai pf2的比例小項(xiàng).p為雙hu線三-與=1 (a>0,b>0)上任一點(diǎn),fe為二焦點(diǎn)，a為雙 a b厶曲線內(nèi)一定點(diǎn)，貝af2-2a <papf,當(dāng)且僅當(dāng)a,f2.p三點(diǎn)共線且p和人篤在y軸同側(cè)時(shí),等號(hào)成立.2 、2雙曲線十-右=1 (a>0,b>0)與直線ax+by + c = 0有公共點(diǎn)的充 要條件是 a2a2-b2b2<c2.x2 v2已知雙曲線飛

15、=1 (b>a >0), o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、q為雙illi線上 a b “兩動(dòng)點(diǎn)，且op丄oq.(1) 丄p + =4-丄；(2)iopi2+ioqi2 的最小值為 °： » ; (3)iop 卩 ioqf a2 b2b2-a22 j 2sa”q的最小值是士兀 2,29. 過雙曲線 - = 1 (a>0,b>0)的右焦點(diǎn)f作直線交該雙曲線的右 cti pf | e 支于m,n兩點(diǎn)，弦mn的垂直平分線如軸于p,則麗飛10. 已知雙illi線罕-£二1 (a>0,b>0) ,a、b是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段ct 少2 2ab的垂直平分線

16、為x軸相交于點(diǎn)p(xo,o),則x0>-或 aa2 +/?2兀0 §a2 211. 設(shè)p點(diǎn)是雙曲線二一務(wù)=1 (a>0,b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),fi、a h2h2f2 為其焦點(diǎn)記 zf/篤=0 ,則(1) i pfji pf. i二 .(2)1 一 cos 0smfr 二/?2 cot 彳x2 y212. 設(shè)a、b是雙|11|線= _r = l (a>0,b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，p是雙|111線 a h上的一點(diǎn)，zpab = a, zpba = 0,zbpa = y, c、e分別是雙曲線的半焦距離心率,則冇ipai二2ah2 丨 cos alcr -c2cos2 y13. tanztan/? = l-2 .(3) sspab2a2b2b2 +/cot/.已知雙曲線2與cr b=1(a>0,b>0)的右準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)e,過雙曲線右焦點(diǎn)f的總線與雙曲線相交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)c在右準(zhǔn)線/上, 且bc丄兀軸，則直線ac經(jīng)過線段ef的中點(diǎn).14. 過