八年級(jí)二次根式復(fù)習(xí)講義(非常全面)知識(shí)講解

1、八年級(jí)二次根式復(fù)習(xí)講義(非常全面)知識(shí)講解八年級(jí)二次根式復(fù)習(xí)講義(非常全面)7 二次根式 知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】 二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開(kāi)方數(shù)，只有當(dāng)是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義【典型例題】 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號(hào)）舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） a、 b、 c、 d、2、在、中是二次根式的個(gè)數(shù)有_個(gè)【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是 舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（ ） a、x>3 b、x3 c、 x>4 d 、x3且x42、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是 3、如果代數(shù)式有意義，那

2、么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)p（m，n）的位置在（）a、第一象限b、第二象限c、第三象限d、第四象限【例3】若y=+2009，則x+y= 解題思路：式子（a0）， ，y=2009，則x+y=2014舉一反三： 1、若，則xy的值為（ ）a1 b1 c2 d32、若x、y都是實(shí)數(shù)，且y=，求xy的值3、當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。已知a是整數(shù)部分，b是 的小數(shù)部分，求的值。若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則 。若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的值.知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】 1. 非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù) 注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到2. 注意：此性質(zhì)既可正

3、用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：3. 注意：（1）字母不一定是正數(shù)（2）能開(kāi)得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替 （3）可移到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外 4. 公式與的區(qū)別與聯(lián)系 （1）表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù) （2）表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù) （3）和的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的【典型例題】 【例4】若則 舉一反三：1、若，則的值為 。2、已知為實(shí)數(shù)，且，則的值為（ ）a3b 3c1d 13、已知直角三角形兩邊x、y的長(zhǎng)滿足x240，則第三邊長(zhǎng)為.4、若

4、與互為相反數(shù)，則。 （公式的運(yùn)用）【例5】 化簡(jiǎn)：的結(jié)果為（ ）a、42a b、0 c、2a4 d、4舉一反三：1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式: = ；= 2化簡(jiǎn)：3已知直角三角形的兩直角邊分別為和，則斜邊長(zhǎng)為 （公式的應(yīng)用）【例6】已知,則化簡(jiǎn)的結(jié)果是a、 b、c、d、 舉一反三：1、根式的值是( )a-3 b3或-3 c3 d92、已知a<0，那么2a可化簡(jiǎn)為（ ） aa ba c3a d3a3、若，則等于（ ）a. b. c. d. 4、若a30，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）(a) 1 (b) 1 (c) 2a7 (d) 72a5、化簡(jiǎn)得（ ）（a）2（b）（c）2（d）6、當(dāng)al且a0時(shí)，化簡(jiǎn)

5、7、已知，化簡(jiǎn)求值：【例7】如果表示a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)ab+ 的結(jié)果等于（ ） a2b b2b c2a d2a舉一反三：實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：【例8】化簡(jiǎn)的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（a）x為任意實(shí)數(shù) （b）x4 （c） x1 （d）x1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范圍是（ ） a. a=0 b. a=1 c. a=0或a=1 d. a1 舉一反三：1、如果成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）2、若，則的取值范圍是（ ）（a） （b） （c） （d）【例10】化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（a） (b

6、) (c) (d)1、把二次根式化簡(jiǎn)，正確的結(jié)果是（ ） a. b. c. d. 2、把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：當(dāng)0時(shí)， ； 。知識(shí)點(diǎn)三：最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式【知識(shí)要點(diǎn)】1、最簡(jiǎn)二次根式：（1）最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的數(shù)或因式2、同類二次根式（可合并根式）： 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式?！镜湫屠}】 【例11】在根式1) ，最簡(jiǎn)二次根式是（ ） a1) 2) b3) 4) c1) 3) d1) 4)解題思路：掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件。舉一反三：1、中的最簡(jiǎn)二次根式

7、是 。2、下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）abcd3、下列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的是()a.b.c.d.4、下列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是為什么 (1) (2) (3) (4) (5) (6)5、把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式： (1) (2) (3)【例12】下列根式中能與是合并的是( )a. b. c.2 d. 舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（ ） a、 b、 c、 d、2、在二次根式：； ； ；中，能與合并的二次根式是 。3、如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并為一個(gè)二次根式, 則a=_.知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算分母有理化【知識(shí)要點(diǎn)】 1分母有理化定義：把分母中的根號(hào)化去，

8、叫做分母有理化。2有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下： 單項(xiàng)二次根式：利用來(lái)確定，如：，與等分別互為有理化因式。兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來(lái)確定。如與，分別互為有理化因式。3分母有理化的方法與步驟： 先將分子、分母化成最簡(jiǎn)二次根式； 將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式。【典型例題】 【例13】 把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例14】把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例15】把下列各式分母有理化：（1） （2）

9、 （3）舉一反三：1、已知，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）小結(jié)：一般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類： 與；              與；與；       與知識(shí)點(diǎn)五：二次根式計(jì)算二次根式的乘除【知識(shí)要點(diǎn)】 1積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。 =·（a0，b0）2二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這

10、兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。 ·（a0，b0） 3商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根=（a0，b>0）4二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。=（a0，b>0）注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式【典型例題】 【例16】化簡(jiǎn)(1) (2) (3) (4)() (5) ×【例17】計(jì)算（1）   （2）     

11、60; （3）   （4）（5）       （6）   （7）          （8）【例18】化簡(jiǎn)： (1) (2) (3) (4) 【例19】計(jì)算：(1) (2) (3) （4）【例20】能使等式成立的的x的取值范圍是（ ）a、 b、 c、 d、無(wú)解知識(shí)點(diǎn)六：二次根式計(jì)算二次根式的加減【知識(shí)要點(diǎn)】 需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)不變。注意：

12、對(duì)于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式合并但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，二次根式的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開(kāi)得盡的因數(shù)【典型例題】 【例20】計(jì)算（1）； （2）；（3）； （4）【例21】 （1） （2） （3） （4） （5） （6）知識(shí)點(diǎn)七：二次根式計(jì)算二次根式的混合計(jì)算與求值【知識(shí)要點(diǎn)】 1、確定運(yùn)算順序；2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律； 3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；5、在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化；【典型習(xí)題】 1、 2、 (2+43)3、 ·（-4）÷ 4、5、） 6、 7、 8、【例21】 1已知：，求的值2已知，求的值。3已知：，求的值4求的值5已知、是實(shí)數(shù)，且，求的值知識(shí)點(diǎn)八：根式比較大小【知識(shí)要點(diǎn)】 1、根式變形法 當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。2、平方法 當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。3、分母有理化法 通過(guò)分母有理化，利用分子的大小來(lái)比較。4