2022年全等三角形題型總結(jié)

1、1 全等三角形的判定題型類型一、全等三角形的判定1“邊邊邊”例題、已知：如圖， adbc，acbd.試證明：caddbc. (答案）證明：連接dc，在 acd 與 bdc 中adbcacbdcddc 公共邊 acd bdc（sss） cad dbc（全等三角形對應(yīng)角相等）類型二、全等三角形的判定2“邊角邊”例題、已知，如圖，在四邊形abcd 中，ac 平分 bad，ce ab 于 e，并且ae12（abad） ，求證：b d180 . (答案）證明：在線段ae 上，截取 efeb，連接 fc， ce ab， ceb cef90在 cbe 和 cfe 中，cebcefec =ecebef cbe

2、 和 cfe（sas） b cfe ae12（abad） ， 2ae abad ad2aeab aeafef， ad2（afef）ab2af2efabafafefebabafabab，即 adaf 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2 在 afc 和 adc 中(afadfacdacacac角平分線定義） afc adc（sas） af

3、c d afc cfe180，b cfe. afc b180，b d180 . 類型三、全等三角形的判定3“角邊角”例題、 已知：如圖，在mpn 中，h 是高 mq 和 nr 的交點(diǎn)，且 mqnq求證： hnpm. 證明：mq 和 nr 是 mpn 的高， mqn mrn90，又 1 3 2 490，3 4 1 2 在 mpq 和 nhq 中，12mqnqmqpnqh mpq nhq（asa） pmhn 類型四、全等三角形的判定4“角角邊”例題、已知 rt abc 中，acbc， c90， d 為 ab 邊的中點(diǎn)，edf90，edf 繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交ac、 cb 于 e、 f 當(dāng)

4、edf 繞 d 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 de ac 于 e 時 （如圖 1） ，易證12defcefabcsss；當(dāng) edf 繞 d 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 de 和 ac 不垂直時，在圖2 情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明.解：圖 2 成立； 證明圖 2：過點(diǎn) d 作 dmacdnbc，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 13 頁 - - - - - - -

5、- -3 則90dmednfmdn在 amd 和 dnb 中，amd=dnb=90abadbd amd dnb（aas） dmdn mde edn ndf edn90， mde ndf 在 dme 與 dnf 中，90emdfdndmdnmdendf dme dnf（asa）dmednfssdefcefdmcndecfs=s=ss.四邊形四邊形可知abcdmcn1s=s2四邊形，12defcefabcsss類型五、直角三角形全等的判定“ hl”下列說法中，正確的畫“”；錯誤的畫“”，并舉出反例畫出圖形. （1）一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）（2）有兩邊和其中一邊上的高對

6、應(yīng)相等的兩個三角形全等（）（3）有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等（）(答案） （1）； （2）；在 abc 和 dbc 中，abdb，ae 和 df 是其中一邊上的高，aedf （3） . 在 abc 和 abd 中，abab，adac，ah 為第三邊上的高，如下圖：1、已知：如圖， de ac，bf ac，adbc，debf.求證： ab dc. (答案與解析） 證明：de ac，bf ac，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

7、 - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -4 在rt ade 與 rt cbf 中.adbcdebf， rt ade rt cbf （hl） aecf，debf aeefcfef，即 afce 在 rt cde 與 rt abf 中，debfdecbfaecfa rt cde rt abf（sas） dce baf ab dc. (點(diǎn)評） 從已知條件只能先證出rt ade rt cbf，從結(jié)論又需證rtcde rt abf.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目. 2、如圖，abc 中， acb 90， acbc，ae 是 bc

8、 邊上的中線，過 c 作 cf ae，垂足為 f，過 b 作 bd bc 交 cf 的延長線于 d. （1）求證： aecd；（2）若 ac12cm，求 bd 的長. (答案與解析）（1）證明：db bc，cf ae， dcb d dcb aec90 d aec又 dbc eca 90，且 bcca， dbc eca（aas） aecd（2）解：由（ 1）得 aecd，acbc， cdb aec（hl） bdec12bc12ac，且 ac12 bd6cm(點(diǎn)評） 三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等， 先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)

9、三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -5 邊的距離相等 . 三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心 .所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共

10、有4個.如圖所示：abc 的內(nèi)心為1p，旁心為234,pp p，這四個點(diǎn)到abc 三邊所在直線距離相等. 角的平分線的性質(zhì)及判定1、如圖， ad 是 bac 的平分線， de ab，交 ab 的延長線于點(diǎn) e，df ac 于點(diǎn) f，且 dbdc.求證： becf. (答案） 證明： de ae，df ac，ad 是 bac 的平分線， dedf， bed dfc90在 rt bde 與 rt cdf 中，dbdcdedf， rt bde rt cdf（hl） becf 2、如圖， ac=db， pac 與 pbd 的面積相等求證： op 平分aob(答案與解析）證明：作 pm oa 于 m，p

11、n ob 于 n 12pacsac pmg，12pbdsbd png，且pacspbds12ac pmg12bd png又 acbd pmpn 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -6 又 pm oa，pn ob op 平分 aob (點(diǎn)評） 觀察已知條件中提到的三角形 pac 與 pbd，顯然與全等無關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到

12、可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得.跟三角形的高結(jié)合的題目，有時候用面積會取得意想不到的效果. 3、如圖， dc ab， bad 和 adc 的平分線相交于e，過 e 的直線分別交 dc、ab 于 c、b 兩點(diǎn). 求證： adabdc. (答案）證明：在線段 ad 上取 afab，連接 ef， ae 是 bad 的角平分線， 1 2， afabaeae， abe afe， b afe 由 cd ab 又可得c b180，afe c180，又 dfe afe 180，c dfe， de 是 adc 的平分線， 3 4，又 dede， cde fde， dfdc， addfaf，

13、adabdc類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定如圖，已知： ae ab，ad ac，abac， b c，求證： bdce. (答案 )證明：ae ab，ad ac， eab dac90 eab dae dac dae ，即 dab eac. 在 dab 與 eac 中，dabeacabacbc dab eac （sas） bdce. 類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

14、第 6 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -7 (1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形：1、在abc 中，abac.求證：b c (答案 )證明：過點(diǎn) a 作 ad bc 在 rt abd 與 rt acd 中abacadad rt abd rt acd（hl） b c. (2)倍長中線法：1、已知：如圖所示， ce、cb 分別是abc 與 adc 的中線，且acb abc求證： cd2ce (答案） 證明： 延長 ce 至 f 使 efce，連接 bf ec 為中線，aebe在 aec 與 bef 中，,aebeaecbefceef aec bef（sas） acbf， a fbe

15、（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）又 acb abc， dbc acb a， fbc abc a acab， dbc fbc abbf又 bc 為 adc 的中線，abbd即 bfbd在 fcb 與 dcb 中，,bfbdfbcdbcbcbc fcb dcb （sas） cfcd 即 cd2ce2、若三角形的兩邊長分別為5 和 7, 則第三邊的中線長x的取值范圍是 ( ) a.1 x 6 b.5 x 7 c.2 x 12 d.無法確定(答案 )a ；提示：倍長中線構(gòu)造全等三角形，75 2x 75，所以選 a 選項. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

16、- 第 7 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -8 (3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：如圖， ad 是abc 的角平分線， h，g 分別在 ac，ab 上，且 hdbd. (1)求證：b 與 ahd 互補(bǔ)；(2)若 b2 dga180， 請?zhí)骄烤€段 ag 與線段 ah、hd 之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明 . (答案） 證明： （1）在 ab 上取一點(diǎn) m, 使得 amah, 連接 dm. cad bad, ad

17、 ad, ahd amd. hdmd, ahd amd. hddb, db md. dmb b. amd dmb 180 , ahd b180 . 即 b 與 ahd 互補(bǔ). （2）由（ 1） ahd amd, hd md, ahd b180 . b2 dga 180 , ahd2 dga. amd2 dgm. amd dgm gdm. 2 dgm dgm gdm. dgm gdm. mdmg. hd mg.ag ammg, ag ahhd. （3）.利用截長 (或補(bǔ)短 )法作構(gòu)造全等三角形：1、如圖， ad 是 abc 的角平分線， abac,求證： abacbddc (答案）證明：在 ab

18、 上截取 aeac,連結(jié) de ad 是 abc 的角平分線， bad cad 在 aed 與 acd 中adadcadbadacae aed adc（sas） dedc 在 bed 中，bebddc 即 abaebddc abacbddc mghdcbaedcba精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -9 2、如圖所示，已知abc 中 ab

19、ac，ad 是 bac 的平分線， m 是 ad 上任意一點(diǎn)，求證：mbmcabac(答案與解析 ) 證明：abac，則在 ab 上截取 aeac，連接 me在 mbe 中，mbmebe（三角形兩邊之差小于第三邊） 在 amc 和 ame 中，()()()acaecameamamam所作 ，角平分線的定義，公共邊 ， amc ame（sas） mcme（全等三角形的對應(yīng)邊相等） 又 beabae， beabac， mbmcabac(點(diǎn)評 )因?yàn)?abac， 所以可在 ab 上截取線段 aeac， 這時 beabac， 如果連接 em，在 bme 中，顯然有 mbmebe這表明只要證明memc，

20、則結(jié)論成立充分利用角平分線的對稱性，截長補(bǔ)短是關(guān)鍵. （4）.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.1、如圖所示，已知e 為正方形 abcd 的邊 cd 的中點(diǎn)，點(diǎn) f 在 bc 上，且dae fae 求證： afadcf(答案與解析）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -10 證明： 作 me af 于 m，連接 ef 四邊形 abcd

21、 為正方形， c d ema90又 dae fae， ae 為 fad 的平分線，mede在 rt ame 與 rt ade 中，()()aeaedeme公用邊 ，已證 ， rt ame rt ade(hl) adam(全等三角形對應(yīng)邊相等 )又 e 為 cd 中點(diǎn)，deec meec在 rt emf 與 rt ecf 中，()(meceefef已證 ，公用邊 )， rt emf rt ecf(hl) mffc(全等三角形對應(yīng)邊相等 )由圖可知： afammf，afadfc(等量代換 )(點(diǎn)評） 與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂

22、線段. 四邊形 abcd 為正方形，則 d90 而 dae fae 說明 ae 為 fad 的平分線，按常規(guī)過角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而 e 到 ad 的距離已有，只需作 e 到 af 的距離 em 即可，由角平分線性質(zhì)可知mede aeae rt ame 與 rt ade 全等有 adam 而題中要證 afadcf 根據(jù)圖知 afammf故只需證 mffc 即可從而把證 afadcf 轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題2、如圖所示，在abc 中，ac=bc， acb=90 ， d 是 ac 上一點(diǎn)，且 ae 垂直 bd 的延長線于 e，12aebd，求證： bd 是 abc 的平分線(答案

23、與解析）證明：延長 ae 和 bc，交于點(diǎn) f， ac bc，be ae， ade= bdc（對頂角相等），ead+ ade= cbd+ bdc即 ead= cbd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -11 在 rt acf 和 rt bcd 中所以 rt acf rt bcd（asa） 則 af=bd （全等三角形對應(yīng)邊相等） ae=

24、bd， ae=af，即 ae=ef 在 rt bea 和 rt bef 中，則 rt bea rt bef（sas） 所以 abe= fbe（全等三角形對應(yīng)角相等） ，即 bd 是 abc 的平分線(點(diǎn)評）如果由題目已知無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決平時練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法. 類型三、全等三角形動態(tài)型問題解決動態(tài)幾何問題時要善于抓住以下幾點(diǎn)：(1) 變化前的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；(2) 圖形在變化過程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解

25、題的關(guān)鍵；(3) 幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程，其結(jié)論有時變化，有時不發(fā)生變化1、已知：在 abc 中， bac90， abac，點(diǎn) d 為射線 bc 上一動點(diǎn)，連結(jié) ad，以 ad為一邊且在 ad 的右側(cè)作正方形 adef （1）當(dāng)點(diǎn) d 在線段 bc 上時（與點(diǎn) b 不重合） ，如圖 1，求證： cfbd 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -12 （2）當(dāng)點(diǎn) d 運(yùn)動到線段 bc 的延長線上