非線性方程求根課件

1、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第第7章章 非線性方程求根非線性方程求根 7.1 方程求根與二分法方程求根與二分法 7.2 迭代法及其收斂性迭代法及其收斂性 7.3 迭代收斂的加速方法迭代收斂的加速方法 7.4 7.5 弦截法與拋物線法弦截法與拋物線法 7.6 解非線性方程組的牛頓迭代法解非線性方程組的牛頓迭代法上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.1 方程求根與二分法方程求根與二分法 例如例如代數(shù)方程代數(shù)方程 x5- -x3+24x+1=0, 超越方程超越方程 sin(5x2)+e- -x=0. 對(duì)于不高于對(duì)于不高于4次的代數(shù)方程已有求根公式，而次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于高于4次的代數(shù)方程則無精確的求根公式，至于超次的

2、代數(shù)方程則無精確的求根公式，至于超越方程越方程 就更無法求出其精確的解，因此，如何求就更無法求出其精確的解，因此，如何求得滿足一定精度要求的方程的近似根也就成為迫得滿足一定精度要求的方程的近似根也就成為迫切需要解決的問題，為此，本章介紹幾種常見的切需要解決的問題，為此，本章介紹幾種常見的非線性方程的近似求根方法非線性方程的近似求根方法.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.1.1 引言引言本章主要討論本章主要討論單變量非線性方程單變量非線性方程f(x)=0 (1.1)的求根問題，這里的求根問題，這里xR, f(x)Ca, b. 在科學(xué)與工程在科學(xué)與工程計(jì)算中有大量方程求根問題，其中一類特殊的問題計(jì)算中有大量方程

3、求根問題，其中一類特殊的問題是多項(xiàng)式方程是多項(xiàng)式方程)2 . 1(),0()(01110 aaxaxaxaxfnnnn其中系數(shù)其中系數(shù)ai(i=0,1,n)為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù).上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)方程方程f(x)=0的的根根x*，又稱為函數(shù)又稱為函數(shù)f(x)的的零點(diǎn)零點(diǎn)，它使得，它使得f(x*)=0，若，若f(x)可分解為可分解為f(x)=(x- -x*)mg(x)，其中其中m為正整數(shù)，且為正整數(shù)，且g(x*)0. 當(dāng)當(dāng)m=1時(shí)，則稱時(shí)，則稱x*為單為單根，若根，若m1稱稱x*為為(1.1)的的m重根重根，或，或x*為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的m重零點(diǎn)重零點(diǎn). 若若x*是是f(x)的的m重零點(diǎn)重零點(diǎn)，且，且

4、g(x)充分光滑，則充分光滑，則當(dāng)當(dāng)f(x)為代數(shù)多項(xiàng)式為代數(shù)多項(xiàng)式(1.2)時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理可知，可知，n次代數(shù)方程次代數(shù)方程f(x)=0在復(fù)數(shù)域有且只有在復(fù)數(shù)域有且只有n個(gè)根個(gè)根(含含復(fù)根，復(fù)根，m重根為重根為m個(gè)根個(gè)根). 0)(, 0)()()()()1( xfxfxfxfmm上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)n=1,2時(shí)方程的根是大家熟悉的，時(shí)方程的根是大家熟悉的，n=3,4時(shí)雖有求時(shí)雖有求根公式但比較復(fù)雜，可在數(shù)學(xué)手冊(cè)中查到，但已不適根公式但比較復(fù)雜，可在數(shù)學(xué)手冊(cè)中查到，但已不適合數(shù)值計(jì)算，而合數(shù)值計(jì)算，而n5時(shí)就不能用公式表示方程的根時(shí)就不能用公式表示方程的根.因因此，通常

5、對(duì)此，通常對(duì)n3的多項(xiàng)式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方的多項(xiàng)式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程程(1.1)一樣都可采用迭代法求根一樣都可采用迭代法求根.迭代法要求給出根迭代法要求給出根x*的一個(gè)近似，若的一個(gè)近似，若f(x)Ca, b且且f(a)f(b)0，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)中的介值定理可知方，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)中的介值定理可知方程程f(x)=0在在(a, b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，這時(shí)稱內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，這時(shí)稱a, b為方為方程程(1.1)的的有根區(qū)間有根區(qū)間，通?？赏ㄟ^，通?？赏ㄟ^逐次搜索法逐次搜索法求得方程求得方程(1.1)的有根區(qū)間的有根區(qū)間.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 若若 f(x)在在a,b內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 且且

6、 f(a) f(b)0, f(0)=10, f(3)=- -260. 可見可見f(x)僅有兩個(gè)實(shí)根僅有兩個(gè)實(shí)根, 分別位于分別位于(0, 3), (3, +), 又又f(4)=10, 所以第二根的隔根區(qū)間可縮小為所以第二根的隔根區(qū)間可縮小為(3, 4). 以上分析可用下表表示以上分析可用下表表示x(- -,0) 0 (0,3) 3 (3,4) 4 (4,+) f (x) f (x) - - 0+ - - 0- -+ + 隔根區(qū)間隔根區(qū)間(0,3)(3,4)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)2. 逐步搜索法逐步搜索法 從區(qū)間從區(qū)間a, b的左端點(diǎn)的左端點(diǎn) a 出發(fā)出發(fā), 按選定的步長(zhǎng)按選定的步長(zhǎng)h 一步步向右搜索

7、，若一步步向右搜索，若f(a+jh)f(a+(j+1)h)0 (j=0,1,2,)則區(qū)間則區(qū)間a+jh, a+(j+1)h內(nèi)必有根內(nèi)必有根. 搜索過程也可從搜索過程也可從b開開始，這時(shí)應(yīng)取步長(zhǎng)始，這時(shí)應(yīng)取步長(zhǎng) h0.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.1.2 二分法二分法 設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù), f(a)f(b)0, 則在則在a, b 內(nèi)有方程的根內(nèi)有方程的根. 取取a, b的中點(diǎn)的中點(diǎn) 將區(qū)間一分為二將區(qū)間一分為二. 若若 f (x0)=0, 則則x0就是方程的根就是方程的根, 否則判別根否則判別根 x*在在 x0 的的左側(cè)左側(cè)還是還是右側(cè)右側(cè)., )(210bax 若若f(a) f

8、(x0)0, 則則x*(a, x0), 令令 a1= a, b1=x0;若若f(x0) f(b)0, 則則x*(x0 , b), 令令 a1=x0, b1=b. . 不論出現(xiàn)哪種情況不論出現(xiàn)哪種情況, (a1, b1)均為均為新的有根區(qū)間新的有根區(qū)間, 它它的的長(zhǎng)度只有原有根區(qū)間長(zhǎng)度的一半長(zhǎng)度只有原有根區(qū)間長(zhǎng)度的一半, 達(dá)到了達(dá)到了壓縮有根壓縮有根區(qū)間區(qū)間的目的的目的.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 對(duì)壓縮了的有根區(qū)間對(duì)壓縮了的有根區(qū)間, 又可實(shí)行同樣的步驟又可實(shí)行同樣的步驟, 再壓再壓縮縮. 如此反復(fù)進(jìn)行如此反復(fù)進(jìn)行, 即可的一系列即可的一系列有根區(qū)間套有根區(qū)間套 ,11nnbababa 由于每一區(qū)間都是

9、前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間an , bn的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為)(ababnnn 21若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將無限進(jìn)行下去無限進(jìn)行下去. 當(dāng)當(dāng) n 時(shí)，區(qū)間必將最終收縮為一時(shí)，區(qū)間必將最終收縮為一點(diǎn)點(diǎn)x* ，顯然，顯然x*就是所求的就是所求的根根.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 若取區(qū)間若取區(qū)間an , bn的中點(diǎn)的中點(diǎn))(nnnbax 21作為作為x*的近似值，則有下述的近似值，則有下述誤差估計(jì)式誤差估計(jì)式111*()()22nnnnxxbaba 只要只要 n 足夠大足夠大, (即區(qū)間二分次數(shù)足夠多即區(qū)間二

10、分次數(shù)足夠多)，誤差就可，誤差就可足夠小足夠小.),(,*11 nnnbaxx 由于在偶重根附近曲線由于在偶重根附近曲線 y=f(x) 為上凹或下凸為上凹或下凸, 即即 f(a)與與f(b)的符號(hào)相同的符號(hào)相同, 因此因此不能用二分法求偶重根不能用二分法求偶重根.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 例例2 用二分法求例用二分法求例1中方程中方程 f(x)=x3- -x- -1=0的實(shí)根的實(shí)根,要求誤差不超過要求誤差不超過0.005. 解解 由例由例1可知可知x*(1, 1.5), 要想滿足題意，即：要想滿足題意，即：則要?jiǎng)t要005. 021)15 . 1(21)(21211 nnnab|x*- -xn|0.00

11、5由此解得由此解得 取取n=6, 按二分法計(jì)算過程見按二分法計(jì)算過程見下表下表, x6 = 1.3242 為所求之近似根為所求之近似根., 6 . 512lg2 n上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)n an bn xn f(xn)說明說明01234561.01.251.251.31251.31251.31251.32031.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242- -+ +- -+ + +- - -(1) f(a)0(2) 根據(jù)精根據(jù)精 度要求，度要求，取到小數(shù)取到小數(shù)點(diǎn)后四位點(diǎn)后四位 即可即可. 二分法的二

12、分法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，且總是收斂的，是算法簡(jiǎn)單，且總是收斂的，缺缺點(diǎn)點(diǎn)是收斂的太慢，故一般不單獨(dú)將其用于求根，只是收斂的太慢，故一般不單獨(dú)將其用于求根，只是用其為根求得一個(gè)較好的近似值是用其為根求得一個(gè)較好的近似值.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)二分法的計(jì)算步驟二分法的計(jì)算步驟:步驟步驟1 準(zhǔn)備準(zhǔn)備 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值端點(diǎn)處的值f(a), f(b). 若若f(a)f(a+b)/2)0, 則以則以(a+b)/2代替代替b ，否則以，否則以(a+b)/2代替代替a.步驟步驟2 二分二分 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間中點(diǎn)在區(qū)間中點(diǎn)(a+b)/2處的處的值值f(a+b)/2

13、).步驟步驟3 判斷判斷 若若f(a+b)/2)=0，則，則(a+b)/2即是根，即是根，計(jì)算過程結(jié)束，否則檢驗(yàn)計(jì)算過程結(jié)束，否則檢驗(yàn). 反復(fù)執(zhí)行步驟反復(fù)執(zhí)行步驟2和步驟和步驟3，直到區(qū)間，直到區(qū)間a, b長(zhǎng)度小于長(zhǎng)度小于允許誤差允許誤差，此時(shí)中點(diǎn)，此時(shí)中點(diǎn)(a+b)/2即為所求近似根即為所求近似根.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.2 牛牛 頓頓 法法7.2.1 牛頓法及其收斂性牛頓法及其收斂性)()()(000 xxxfxfxf 對(duì)于方程對(duì)于方程f(x)=0，如果，如果f(x)是線性函數(shù)，則它的是線性函數(shù)，則它的求根是容易的求根是容易的. 牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其

14、基本思想是將非線性方程基本思想是將非線性方程f(x)=0逐步歸結(jié)為某種線性逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解方程來求解. 設(shè)已知方程設(shè)已知方程f(x)=0有近似根有近似根x0，且在，且在 x0附近附近f(x)可可用一階泰勒多項(xiàng)式近似，表示為用一階泰勒多項(xiàng)式近似，表示為上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)當(dāng)當(dāng)f (x0)0時(shí)，方程時(shí)，方程f(x)=0可用線性方程可用線性方程(切線切線) 近似代近似代替，即替，即 f(x0)+f (x0)(x- -x0)=0. (4.1)解此線性方程得解此線性方程得)()(000 xfxfxx 得迭代公式得迭代公式此式稱為此式稱為牛頓牛頓(Newton)迭代公式迭代公式.)2 . 4(),

15、 1 , 0()()(1 kxfxfxxkkkk上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)牛頓法有顯然的牛頓法有顯然的幾何意義幾何意義，方程，方程f(x)=0的根的根x*可可解釋為曲線解釋為曲線y=f(x)與與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 設(shè)設(shè)xk是根是根x*的的某個(gè)近似值，過曲線某個(gè)近似值，過曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)為上橫坐標(biāo)為xk的點(diǎn)的點(diǎn)Pk引切引切線，并將該切線與線，并將該切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xk+1作為作為x*的新的的新的近似值近似值. 注意到切線方程為注意到切線方程為這樣求得的值這樣求得的值xk+1必滿足必滿足(4.1), 從而就是牛頓公式從而就是牛頓公式(4.2)的計(jì)算結(jié)果的計(jì)算結(jié)果.

16、由于這由于這種幾何背景，所以牛頓迭種幾何背景，所以牛頓迭代法也稱代法也稱切線法切線法.xyx*xky=f(x)xk+1PkPk+1xk+2).)()(kkkxxxfxfy 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)牛頓迭代法的收斂性牛頓迭代法的收斂性)()()(xfxfxx 設(shè)設(shè)x*是是f(x)的一個(gè)單根，即的一個(gè)單根，即f(x*)=0，f (x*)0, 有有. 0)()()(, 0)()()()(2* xfxfxxfxfxfx 牛頓迭代法的迭代函數(shù)為牛頓迭代法的迭代函數(shù)為由定理由定理4的的(2.9)式可得式可得(4.3)式式. 0)(2)()(! 21)()(lim)(lim22!2121 xfxfxxxxxxxxx

17、kkkkkk 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)由此得到，當(dāng)由此得到，當(dāng)x*為為單根單根時(shí)，牛頓迭代法在根時(shí)，牛頓迭代法在根x*的的鄰近是鄰近是二階二階(平方平方)收斂收斂的的.關(guān)于關(guān)于x*為為重根重根時(shí)，牛頓迭代法在根時(shí)，牛頓迭代法在根x*的鄰近的收的鄰近的收斂性在后面討論斂性在后面討論.定理定理(局部收斂性局部收斂性) 設(shè)設(shè)f C2a, b, 若若x*為為f(x)在在a, b上的根，且上的根，且f (x*) 0，則存在，則存在x*的鄰域的鄰域U, 使得任取初使得任取初值值x0 U，牛頓法產(chǎn)生的序列，牛頓法產(chǎn)生的序列xk收斂到收斂到x*，且滿足，且滿足即有下面的局部收斂性定理即有下面的局部收斂性定理.)(2)

18、()(lim21 xfxfxxxxkkk上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 解解 將原方程化為將原方程化為xex= 0，則，則牛頓迭代公式為牛頓迭代公式為kkxxkkkeexxx 11取取 x0=0.5，迭代得，迭代得x1=0.566311, x2=0.5671431, x3=0.5671433. f(x)=xex， f (x)=1+ex， 例例7 用牛頓迭代法求方程用牛頓迭代法求方程x=ex在在x=0.5附近的根附近的根.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.4.3 簡(jiǎn)化牛頓法與牛頓下山法簡(jiǎn)化牛頓法與牛頓下山法牛頓法的牛頓法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是收斂快，是收斂快，缺點(diǎn)缺點(diǎn)每步迭代要計(jì)算每步迭代要計(jì)算f(xk)及及f (xk)，計(jì)算量較大

19、，且有時(shí)，計(jì)算量較大，且有時(shí)f (xk)計(jì)算較困難；計(jì)算較困難；初始近似值初始近似值x0只在根只在根x*附近才能保證收斂，如附近才能保證收斂，如x0給給的不合適可能不收斂的不合適可能不收斂. 為克服這兩個(gè)缺點(diǎn)，通?？捎脼榭朔@兩個(gè)缺點(diǎn)，通常可用下述方法下述方法.(1) 簡(jiǎn)化牛頓法簡(jiǎn)化牛頓法，也稱，也稱平行弦法平行弦法，其迭代公式為，其迭代公式為)7 . 4(., 1 , 0, 0)(1 kCxCfxxkkk迭代函數(shù)為迭代函數(shù)為 (x)=x- -Cf(x). 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)若若| (xk)|=|1- -Cf (x)|1，即取，即取0Cf (x)0)重根重根時(shí)，則時(shí)，則f(x)可表為可表為 f(

20、x)=(x- -x*)mg(x).其中其中g(shù)(x*)0，此時(shí)用牛頓迭代法，此時(shí)用牛頓迭代法(4.2)求求x*仍然收斂，仍然收斂，只是只是收斂速度將大大減慢收斂速度將大大減慢. 事實(shí)上，因?yàn)榈绞聦?shí)上，因?yàn)榈?()()()()()()(*1kkkkkkkkkkxgxxxmgxgxxxxfxfxx 令令ek=xkx*，則，則)()()(*11kkkkkkkkxgexmgxgeexxe 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)可見用牛頓法求方程的重根時(shí)僅為可見用牛頓法求方程的重根時(shí)僅為線性收斂線性收斂. 011)()()(1limlim1 mxgexmgxgeekkkkkkkk從而有從而有上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.5

21、弦截法與拋物線法弦截法與拋物線法用牛頓法求方程用牛頓法求方程f(x)=0的根，每步除計(jì)算的根，每步除計(jì)算f(xk)外外還要算還要算f (xk)，當(dāng)函數(shù)，當(dāng)函數(shù)f(x)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算f (x)往往往往比較困難，為此可以利用已求函數(shù)值比較困難，為此可以利用已求函數(shù)值f(xk),f(xk- -1),來來回避導(dǎo)數(shù)值回避導(dǎo)數(shù)值f (xk)的計(jì)算的計(jì)算. 這類方法是建立在插值原理這類方法是建立在插值原理基礎(chǔ)上的，下面介紹兩種常用方法基礎(chǔ)上的，下面介紹兩種常用方法.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.5.1 弦截弦截(割線割線)法法設(shè)設(shè)xk,xk- -1是是f(x)=0的近似根，我們利用的近似根，我們利用

22、f(xk),f(xk- -1)構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式p1(x)，并用，并用p1(x)=0的根作為方程的根作為方程f(x)=0的新的近似根的新的近似根xk+1，由于，由于)1 . 5().()()()()(111kkkkkkxxxxxfxfxfxp 因此有因此有)2 . 5().()()()(111 kkkkkkkxxxfxfxfxx上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)這樣導(dǎo)出的迭代公式這樣導(dǎo)出的迭代公式(5.2)可以看做牛頓公式可以看做牛頓公式.)()(1kkkkxfxfxx 11)()( kkkkxxxfxf中的導(dǎo)數(shù)中的導(dǎo)數(shù) 用用差商差商 取代的結(jié)果取代的結(jié)果.)(kxf (5.2)式有明顯的式有

23、明顯的幾何意義幾何意義： 設(shè)曲線設(shè)曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)為上橫坐標(biāo)為xk- -1和和xk的點(diǎn)分別為的點(diǎn)分別為P0和和Pk, 則差商則差商 表示弦表示弦 的斜率的斜率, 弦弦 的方程為的方程為11)()( kkkkxxxfxfkkPP1 kkPP1 )()()()(00kkkkxxxxxfxfxfy 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)Ox*xk+1xkPkxk- -1yxPk- -1因此，按因此，按(5.2)式求得式求得xk+1實(shí)際上是兩點(diǎn)弦實(shí)際上是兩點(diǎn)弦線線 與與x軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)(令令y=0解出解出x即可即可).這種算法因此這種算法因此而形象地稱為而形象地稱為弦截弦截(割線割線)法法.kkPP1

24、 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)弦截法與切線法弦截法與切線法(牛頓法牛頓法)都是線性化分法，但兩都是線性化分法，但兩者有本質(zhì)的區(qū)別者有本質(zhì)的區(qū)別. 切線法在計(jì)算切線法在計(jì)算xk+1時(shí)只用到前一步時(shí)只用到前一步的值的值xk，而弦截法要用到前面兩步的結(jié)果，而弦截法要用到前面兩步的結(jié)果xk- -1,xk，因，因此使用這種方法必須先給出兩個(gè)開始值此使用這種方法必須先給出兩個(gè)開始值x0, x1.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例題例題 用牛頓迭代法和割線法求方程用牛頓迭代法和割線法求方程 f(x)=x4+2x2x3=0， 在區(qū)間在區(qū)間(1, 1.5)內(nèi)之根內(nèi)之根(誤差為誤差為10- -9). 解解 取取x0=1.5，用牛頓法，用牛頓

25、法, 可得可得x6=1.12412303030；取取x0=1.5, x1=1，用，用雙點(diǎn)割線法雙點(diǎn)割線法，迭代，迭代6次得到同樣的次得到同樣的結(jié)果，結(jié)果，上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.5.2 拋物線法拋物線法設(shè)已知方程設(shè)已知方程f(x)=0的三個(gè)近似根的三個(gè)近似根xk,xk- -1,xk- -2，我們，我們以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式p2(x)，并適當(dāng)選，并適當(dāng)選取取p2(x)的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn)xk+1作為新的近似根，這樣確定的作為新的近似根，這樣確定的迭代過程稱為迭代過程稱為拋物線法拋物線法，亦稱為，亦稱為密勒密勒(Mller)法法. 在在幾何圖形上幾何圖形上,

26、這種方法的基本思想是用拋物線這種方法的基本思想是用拋物線y=p2(x)與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)xk+1作為所求根作為所求根x*的近似位置的近似位置.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)Ox*xk+1xky=P2(x)xk- -2yxy=f(x)xk- -1拋物線法的拋物線法的幾何意義幾何意義見下面圖形見下面圖形.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)現(xiàn)在推導(dǎo)拋物線法的計(jì)算公式現(xiàn)在推導(dǎo)拋物線法的計(jì)算公式. 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式).)(,)(,)()(12112 kkkkkkkkkxxxxxxxfxxxxfxfxp有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)).(,1211 kkkkkkkxxxxxfxxf )3 . 5(.,)(4)(22121 kkkkkkkx

27、xxfxfxfxx 式中式中因了在因了在(5.3)式定出一個(gè)值式定出一個(gè)值xk+1，我們需要討論根，我們需要討論根式前正負(fù)號(hào)的取舍問題式前正負(fù)號(hào)的取舍問題.在在xk, xk- -1, xk- -2三個(gè)近似值中，自然假定三個(gè)近似值中，自然假定xk更接近更接近所求的根所求的根x*，這時(shí)，為了保證精度，我們選，這時(shí)，為了保證精度，我們選(5.3)式中式中接近接近xk的一個(gè)值作為新的近似根的一個(gè)值作為新的近似根xk+1. 為此，只要取根為此，只要取根式前的符號(hào)與式前的符號(hào)與的符號(hào)相同的符號(hào)相同.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 例例11 用拋物線法求解方程用拋物線法求解方程f(x)=xex- -1=0. 解解 取取x

28、0=0.5, x1=0.6, x2=0.56532開始，計(jì)算得開始，計(jì)算得f(x0)=- -0.175639, f(x1)=0.093271, f(x2)=- -0.005031.fx1,x0=2.68910, fx2,x1=2.83373, fx2,x1,x0=2.21418.故故.75694. 2)(,1201212 xxxxxfxxf 代入代入(5.3)式求得式求得.56714. 0,)(4)(201222223 xxxfxfxfxx 以上計(jì)算表明，拋物線法比弦截法收斂更快以上計(jì)算表明，拋物線法比弦截法收斂更快.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.6 解非線性方程組的牛頓迭代法解非線性方程組的牛頓迭代法

29、考察方程組考察方程組) 1 . 6(. 0),(., 0),(111 nnnxxfxxf其中其中f1,fn均為均為(x1,xn)的多元函數(shù)的多元函數(shù). 若用向量記若用向量記號(hào)記號(hào)記x=(x1,xn)TRn, F=(f1,fn)T, (6.1)就可寫成就可寫成 F(x)=0. (6.2)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)當(dāng)當(dāng)n2，且，且 f1,fn 中至少有一個(gè)是自變量中至少有一個(gè)是自變量 x1,xn 的的非線性函數(shù)，則稱方程組非線性函數(shù)，則稱方程組(6.1)為為非線性方程組非線性方程組. 非線非線性方程組求根問題是前面介紹的方程性方程組求根問題是前面介紹的方程(即即n=2)求根的直求根的直接推廣，實(shí)際上只要把前面介紹的接推廣，實(shí)際上只要把前面介紹的單變量函數(shù)單變量函數(shù)f(x)看看成成向量函數(shù)向量函數(shù)F(x) ，則可得，則可