高數(shù)數(shù)量積向量積課件

1、高數(shù)數(shù)量積向量積*三、向量的混合積三、向量的混合積 第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 數(shù)量積 向量積 *混合積 第七七章 高數(shù)數(shù)量積向量積1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為沿與力夾角為的直線移動的直線移動,W1. 定義定義設向量設向量的夾角為的夾角為 ,稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積 (點積點積) .引例引例. 設一物體在常力設一物體在常力 F 作用下作用下, F位移為位移為 s , 則力則力F 所做的功為所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁

2、下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積,0時當a上的投影為在ab記作記作故故,0,時當同理babj rPb2. 性質性質為兩個非零向量為兩個非零向量, 則有則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積3. 運算律運算律(1) 交換律交換律(2) 結合律結合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律分配律cbcacba事實上事實上, 當當0c時時, 顯然成立顯然成立 ;時當0cc)(babab

3、cj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則則cos2222abbac如圖如圖 . 設設,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積4. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設設則則, 10zzyyxxbababa當當為非零向

4、量時為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 , 得得機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積)(MB, )(MA BM例例2. 已知三點已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則則AMBcos10022213AMB求求MBMAMA

5、MB故故機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設設O 為杠桿為杠桿L 的支點的支點 , 有一個與杠桿夾角為有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量矩是一個向量 M :的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點上點上 ,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力FoPFMFM 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積1. 定義定義定義定義向量向量方向方向 :(叉積叉積)記作記作且符合右手規(guī)則且符合右

6、手規(guī)則模模 :向量積向量積 ,，的夾角為設ba,c,ac bc csinabbac稱稱c的與為向量babacba引例中的力矩引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積右圖三角形面積abba21S機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積2. 性質性質為非零向量為非零向量, 則則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律分配律(3) 結合律結合律(證明略證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返

7、回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設設則則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaiba

8、bayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積例例4. 已知三點已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面積的面積 解解: 如圖所示如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積內容小結內容小結設設1. 向量運算向量運算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點積點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積叉積:kjixayazaxbybzbba機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 高數(shù)數(shù)量積向量積2. 向量關系向量關系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束