浙江師范大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》d11_6高斯公式ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推行推行高斯公式 第十一章 格林公式表達了平面閉區(qū)域上二重積分與其邊境曲格林公式表達了平面閉區(qū)域上二重積分與其邊境曲線上的曲線積分之間的關(guān)系線上的曲線積分之間的關(guān)系.高斯公式表達了空間閉區(qū)域上三重積分與其邊境曲高斯公式表達了空間閉區(qū)域上三重積分與其邊境曲面上的曲面積分之間的關(guān)系面上的曲面積分之間的關(guān)系.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲由分

2、片光滑的閉曲 上有延續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先證:函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 那么有 的方向取外側(cè), 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院231zyxyxDO) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明: 設(shè)設(shè)yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd稱為XY -型區(qū)域 , ),(

3、:22yxzz 那么yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院所以zyxzRdddyxRdd 假設(shè) 不是 XY型區(qū)域 , 那么可引進輔助面將其分割成假設(shè)干個 XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負抵消,在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPd dddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院x3z1y例例1. 用用G

4、auss 公式計算公式計算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個邊境曲面的外側(cè). 解解: 這里這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思索思索: 假設(shè)假設(shè) 改為內(nèi)側(cè)改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化結(jié)果有何變化? 假設(shè) 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計算? dzzdd)sin(103020利用柱面坐標y=sinO高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院hzyxO例例2. 利用利用Gauss 公式計算積分公式計算積分SzyxId)coscosco

5、s(222其中 為錐面222zyx解解: 作輔助面作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側(cè)1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z = 0及 z = h 之間部分的下側(cè), , , 為法向量的方向角.1,記所圍區(qū)域為 ,那么 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2xy22)(2Dhyxdzzyxdxdy4hyxhyxDdd2421hxy222Dhyxzdzdxdy4h思索思索: 計算曲面積分計算曲面積分提示提示: 作取上側(cè)的輔

6、助面作取上側(cè)的輔助面,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2之間部分的下側(cè). , 2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在閉區(qū)域 上具有一階和二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( Green )第一公式Sd例例3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整個 邊境面的外側(cè). uP xvuQ yvuR zv留意留意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式

7、222222zvyvxv高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院留意留意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd 高斯公式證證: :令令uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移項即得所證公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院Ozxy例例4.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設(shè) 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的

8、輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐標用柱坐標用極坐標用極坐標2111yxD高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其運用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd運用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時留意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院作業(yè)作業(yè)P

9、239 1 (4), (5); 4高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院思索與練習思索與練習,:2222取外側(cè)設(shè)Rzyx所圍立體,222zyxr判別以下演算能否正確?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)(3222 為2R高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院rncosrn備用題備用題 設(shè)設(shè) 是一光滑閉曲面是一光滑閉曲面,所圍立體 的體 是 外法線向量與點 ( x , y , z ) 的向徑,222zyxr試證.dcos31VSr證證: 設(shè)設(shè) 的單位外法向量為的單位外法向量為 那么coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夾角,積為V, )cosr,cos,(cosn, ),(zyxr 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院高斯高斯(1777 1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就普及