初中數(shù)學動點專題

1、初中數(shù)學動點專題動點問題動點問題：是指圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動所形成的軌跡或變化的圖形. 顧名思義，動點問題不同于我們一般的幾何題目，它的圖形是發(fā)生運動變化的。 解決這類問題的關鍵：動中求靜,找出運動的點（線）和不動的點（線）。要求在熟練掌握三角形、長方形（正方形）、梯形、扇形等圖形的圖形性質(zhì)的基本上，通過“對稱、平移、旋轉” 等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。從數(shù)學思想的層面上要掌握：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數(shù)形結合思想；（4）分類思想；（5）轉化思想等動點問題解題思路：歸納為12個字“看要素，表

2、線段，列等式，查結果”。分析動點變化的要素，包括：起點，終點，速度，方向，運動范圍等觀察哪些是運動的點（線），哪些是固定不動的點（線）明白了點的運動，再把圖中的線段長度表示出來用距離（s）=速度（v）×時間（t），以便于下一步的運算利用一些不動的量，長度不變的線段，列出等式。這里有很多變化，動點問題的核心考查也在這里，查結果。這就涉及到動點問題的又一難點范圍。最后一定要將結果返代回題目中進行考查看是否滿足題意，不滿足的要舍去。例題：梯形abcd中，adbc，b=90°，ad=16cm，ab=6cm，bc=24cm，動點p從點a開始，沿ad邊，以1厘米/秒的速度向點d運動；動

3、點q從點c開始，沿cb邊，以4厘米/秒的速度向b點運動。已知p、q兩點分別從a、c同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動。假設運動時間為t秒，問：（1）t 為何值時，四邊形pqcd是平行四邊形？（2）在某個時刻，四邊形pqcd可能是菱形嗎為什么（3）t 為何值時，四邊形pqcd是直角梯形？（4）在某個時刻，四邊形pqcd可能是等腰梯形嗎為什么           我們來通過這道例題，嚴格按照上面所講的步驟嘗試一次看看。1，看要素。其中點p和q為動點，其余點問固定點。點p運動的起點為點a，終點為點d，方

4、向為ad方向，速度為1厘米/秒。點q運動的起點為點c，終點為點b，方向為cb方向，速度為4厘米/秒。      我們可以看到兩點是相向運動，點q速度要快。另外大家這里要特別注意點的運動范圍：點p從a到點d需16s，點q從點c到點b只需6s，而題目中說“當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動”，所以這道題整個的運動時間最多是6s，也就是說大家解出的答案不能大于6了，這點往往易被大家忽略，也是經(jīng)常出錯的地方。2，表線段。運動時間為t，則ap=t，cq=4t，pd=16-t，bq=24-4t，還可以得到ab=6，cd=103，列等式。這里要借助幾何圖形本身

5、的性質(zhì)，找出其中的等量關系來列等式。     平行四邊形：對邊相等。pd=cq，16-t=4t，t=     菱形：四邊都相等。pd=cd=cq=pq，即t=且pd=，但pd=cd=10，矛盾，不可能形成菱形。     直角梯形：借助四邊形apqb是矩形，矩形對邊也相等。ap=bq，t=24-4t，t=     等腰梯形：作等腰梯形的兩高，底角的兩個三角形全等。過點p，d分別向bc作垂線，垂足為e，f，則qe=cf，t-(24-4t)=

6、24-16，t=4，查結果。我們發(fā)現(xiàn)第四問的結果超過6了，要舍去，所以題目不可能形成等腰梯形。動點問題常見題型： 一、建立函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,和動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,1、應用勾股定理建立函數(shù)解析式例1：如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形oab的弧ab上,有一個動點p,ph oa,垂足為h,oph的重心為g.(1)當點p在弧ab上運動時,線段go、gp、gh中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應的長度.(2) 設ph=x，gp=y，求y

7、關于x的函數(shù)解析式，并寫自變量x的取值范圍（即自變量x的取值范圍). (3)如果pgh是等腰三角形,試求出線段ph的長.解:(1)當點p在弧ab上運動時,op保持不變,于是線段go、gp、gh中,有長度保持不變的線段，這條線段是gh= nh= op=2. 圖1 (3)2、應用比例式建立函數(shù)解析式例2：如圖2,在abc中,ab=ac=1,點d,e在直線bc上運動.設bd=x ,ce= y. (1)如果bac=30°,dae=105°,試確定 y與x 之間的函數(shù)解析式； (2)如果bac的度數(shù)為 ,dae的度數(shù)為 ,當, 滿足怎樣的關系式時,(1)中y 與x 之間的函數(shù)解析式還

8、成立?試說明理由.解:(1)在abc中,ab=ac,bac=30°, abc=acb=75°, abd=ace=105°.bac=30°,dae=105°, dab+cae=75°, 又dab+adb=abc=75°, cae=adb, adbeac, , , .(2)由于dab+cae= ,又dab+adb=abc= ,且函數(shù)關系式成立,= =, 整理得 .當 時,函數(shù)解析式 成立.pdeacb3(2)of例3:如圖3(1),在abc中,abc=90°,ab=4,bc=3. 點o是邊ac上的一個動點,以點o為圓心

9、作半圓,與邊ab相切于點d,交線段oc于點e.作eped,交射線ab于點p,交射線cb于點f.(1)求證: adeaep.(2)設oa=x ,ap=y ,求y 關于x 的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. 圖3(1) (3)當bf=1時,求線段ap的長.解:(1)連結od.根據(jù)題意,得odab,oda=90°,oda=dep.又由od=oe,得ode=oed.ade=aep, adeaep.(2)abc=90°,ab=4,bc=3, ac=5. abc=ado=90°, odbc, , ,od= ,ad= . ae=.adeaep, , . () (3)當bf=1時，

10、 若ep交線段cb的延長線于點f,如圖3，則cf=4.ade=aep, pde=pec. fbp=dep=90°, fpb=dpe,f=pde, f=fec, cf=ce. 5- =4,得 .可求y=2 ,即ap=2.若ep交線段cb于點f,如圖3(2), 則cf=2.類似,可得cf=ce.5- =2,得 .可求得y=6 ,即ap=6.綜上所述, 當bf=1時,線段ap的長為2或6.3、應用求圖形面積的方法建立函數(shù)關系式例4：如圖4,在abc中,bac=90°,ab=ac= ,a的半徑為1.若點o在bc邊上運動(與點b、c不重合),設bo= x,aoc的面積為 y.(1)求

11、y 關于 x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點o為圓心,bo長為半徑作圓o,求當o與a相切時,aoc的面積.解:(1)過點a作ahbc,垂足為h.bac=90°,ab=ac= , bc=4,ah= bc=2. oc=4- x.圖4, ().(2)當o與a外切時,在rtaoh中,oa=,oh=, . 解得.此時,aoc的面積=.當o與a內(nèi)切時,在rtaoh中,oa=,oh=, . 解得.此時,aoc的面積=.綜上所述,當o與a相切時,aoc的面積為或.二：動態(tài)幾何題動態(tài)幾何特點-問題背景是特殊圖形，（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）等腰三角形、直角三角形、相似三角形

12、、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。點動問題如圖5，abc中，ab=ac=10，bc=12，點d在邊bc上，且bd=4，以點d為頂點作edf=b，分別交邊ab于點e，交ac或延長線于點f（1）當ae=6時，求af的長；（2）當以點c為圓心cf長為半徑的c和以點a為圓心ae長為半徑的a相切時，求be的長；（3）當以邊ac為直徑的o與線段de相切時，求be的長題型背景和區(qū)分度測量點 圖5解：（1） 證明 ，代入數(shù)據(jù)得，af=2（2）設be=,則利用（1）的方法， 相切時分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，；內(nèi)切，當和相切時，的長為或（3）當以邊為直徑的與線段相切時， 習題：1.

13、 如圖，已知點f的坐標為（3，0），點a、b分別是某函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點，點p 是此圖像上的一動點，設點p的橫坐標為x，pf的長為d，且d與x之間滿足關系：d=5x(0x5)，則結論： af= 2 bf=4 oa=5 ob=3，正確結論的序號是 a b c d 所用到的相關知識點：勾股定理解題思路：獲得該曲線的解析式即可得到所有的答案。所謂的解析式就是曲線上的某一點的y值與x值之間的關系。解析式：1)當p點的x值小于of時，則p點解析式：y2=d2-(3-x)2y2 =(8-85x)(2-25x) b點坐標是（0，4）， ob=4, bf=5(勾股數(shù)3,4,5)因此a、c排除。2)當p點

14、的x值大于of時，則p點解析式：y2=d2-(x-3)2y2 =(2+25x)(8-85x) a點坐標是（5,0） oa=5，af=5-3=2因此d排除因此答案是b.2. 一電工沿著如圖所示的梯子nl往上爬，當他爬到中點m處時，由于地面太滑，梯子沿墻面與地面滑下，設點m的坐標為（x，y）（x>0）,則y與x之間的函數(shù)關系用圖象表示大致是 a b c d所用到的相關知識點：勾股定理、相似三角形。想辦法找到y(tǒng)和x之間的關系式解題思路：獲得該曲線的解析式，根據(jù)解析式判斷圖形的樣子。設：梯子的長度是l.從m點做軸的垂線。因為m點是中點，所以on=2x;解析式：y2=()2 -x2 從解析式看，只

15、有圖形a是正確的。 3如圖，矩形中，是的中點，點在矩形的邊上沿運動，則的面積與點經(jīng)過的路程之間的函數(shù)關系用圖象表示大致是下圖中的1123xy0a1123xy0b1123xy01123xy0 dc所用到的相關知識點：勾股定理，三角形面積公式。想辦法找到和x之間的關系式解題思路：分段獲得與x的解析式，根據(jù)解析式判斷圖形的樣子。adm=1/4 矩形abcd;只要得到apb和pcm的面積，即可求出apm的面積。或者直接求出apm的面積。分段：第一段：p在ab線段上移動，則apm=y= *2*x=x 排除了b、c第二段：p在bc段移動，則 apm=y=2*1 *1*(x-1) *（3-x）= - x 排

16、除了b第三段：p在bc段移動，則apm=y=*（1+2+）*2= 答案是aabcpde（8題圖）4.如圖，p是邊長為1的正方形abcd對角線ac上一動點（p與a、c不重合），點e在射線bc上，且pe=pb.設ap=x,pbe的面積為y. 則能夠正確反映與abcd之間的函數(shù)關系的圖象是所用到的相關知識點：勾股定理想辦法找到pbe和x之間的關系式解題思路：從p點做ab的垂線，交與o點。則pbe的高=1-x；因為pbe是等腰三角形，所以be=2*x pbe=*2*x*（1-x） pbe=x-x2這是個拋物線方程，故選a.5.如圖，在平面直角坐標系中，兩個函數(shù)的圖象交于點a.動點p從點o開始沿oa方向

17、以每秒1個單位的速度運動，作pqx軸交直線bc于點q，以pq為一邊向下作正方形pqmn，設它與oab重疊部分的面積為s.（1）求點a的坐標.（2）試求出點p在線段oa上運動時，s與運動時間t（秒）的關系式.（3）在（2）的條件下，s是否有最大值？若有，求出t為何值時，s有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由.所用到的相關知識點：勾股定理、二元一次方程關鍵要明白正方形pqmn和oab重疊部分的面積為s.什么時候為正方形，什么時候為長方形。1）a點處，兩條直線的x、y值相等； x= - x +6 x=42)線段pq與直線的交點，y值相等。 pq= - x +6 x=6-1x pq相鄰邊的長度為

18、xs與t的關系，亦即x與t的關系: x2 +x2=(1*t)2 x= t 帶入上式： 當pq長度大于x時，則s=（6-1x）*x ; s=（6-1* t）* t;當pq長度小于x時，則s=（6-1x）* （6-1x） s= （6-1* t）2 當pq長度等于x時，則（6-1x）=x x= s=* 3)s有最大值。即當pq=x時，亦即t= 時，smax=144/256. 如圖，直角梯形中，,為坐標原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點坐標為（2，2），= 60°，于點.動點從點出發(fā)，沿線段向點運動，動點從點出發(fā)，沿線段向點運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度.設點運動的時間為

19、秒.（1）求的長；（2）若的面積為（平方單位）. 求與之間的函數(shù)關系式.并求為何值時，的面積最大，最大值是多少？ 所用到的相關知識點：勾股定理、等邊、等腰三角形的特征、2個動點。關鍵點：點坐標為（2，2），= 60°；s的面積的求法。1）通過b點的坐標知道，abo=60° obc=60° 三角形obc為等邊三角形； oh=oa=2 2)從p點做x軸的垂線交于n點，則的面積為=soqpn-sopn op=oh-1*t=2-t; 因為poc=30° pn= (2-t) ; on= (2-t) ; soqpn= (oq+pn)*on= 1*t+ (2-t)*

20、(2-t); sopn=on*pn=* (2-t)* (2-t) s= * (2-t)*t = *（2t-t2）= *1-(t-1)2當t=1時，s面積最大。s= * adcbmn1.如圖，在梯形中，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運動的時間為秒（1）求的長從a和d做bc的垂線a和d。則ba=4；dc=3bc=4+3+3=10（2）當時，求的值經(jīng)過d點做ab的平行線，叫bc于q點。則cmcq=cncd （10-2t)(10-3)=1*t5 t=5017 （3）試探究：為何值時，為等腰三角形若三角形mnc為

21、等腰三角形，就有兩種情況需要討論： 第一種：當cm=cn時： 10-2t=t t=103(秒) 第二種：當mn=cn時： rtcnprtcdf npdf=cncd np=4t5 在等腰nmc中：有（mc2)²+np²=cn²  (5-t)²+(4t5)²=t² 整理得：16t²-250t+525=0 解得：t1=258,t2=252(當t=252秒時，cn5，舍去) 綜上，使得mnc為等腰的運動時間t有兩個值： t=

22、103時，cm=cn t=258時，mn=cn  3、如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點（1）如果點p在線段bc上以3厘米/秒的速度由b點向c點運動，同時，點q在線段ca上由c點向a點運動若點q的運動速度與點p的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；aqcdbp全等的概念是角度和邊長都相同。兩個三角形中dbp=pcq;bd=pc(8-3*1);bp=cq所以，兩個三角形全等。若點q的運動速度與點p的運動速度不相等，當點q的運動速度為多少時，能夠使與全等？設q的速度為v,要使兩個三角形全等，則需要滿足下列條件：bp=cp;bd=qc bd=5=vt; bp=4=3*t t=4/3 v=1