大學(xué)物理 第九章

1、9.1、如圖所示，一均勻帶電細(xì)棒彎成半徑為、如圖所示，一均勻帶電細(xì)棒彎成半徑為R的半圓，的半圓，已知棒上的總電量為已知棒上的總電量為q，求半圓心，求半圓心O點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：解：由題意可知由題意可知dREdOxy建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，經(jīng)對(duì)稱建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，經(jīng)對(duì)稱性分析，性分析，Ey=0,合場(chǎng)強(qiáng)沿合場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正向。軸正向。Rddldq它在它在O點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為202044RRdRdqdE方向沿半徑向外方向沿半徑向外場(chǎng)強(qiáng)沿場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正向的分量大小為：軸正向的分量大小為：積分得積分得0002sin4RdRExdRdEdEx04sinsindRdEdEy

2、cos4)cos(0則則：0cos400dREy2200q=,22xEERR 所以有：所以有：方向沿方向沿x軸正向軸正向9.4、如圖所示，一、如圖所示，一“無限長(zhǎng)無限長(zhǎng)”的圓柱面，其電荷面密度的圓柱面，其電荷面密度為為=0cos，式中，式中角為半徑角為半徑R與與X軸之間的夾角，試求軸之間的夾角，試求圓柱軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。圓柱軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。EdOXYZR解：將圓柱面分成許多與軸線平行的細(xì)解：將圓柱面分成許多與軸線平行的細(xì)長(zhǎng)條，每條可視為長(zhǎng)條，每條可視為“無限長(zhǎng)無限長(zhǎng)”均勻帶點(diǎn)均勻帶點(diǎn)直線，其電荷密度為直線，其電荷密度為0cos Rd它在它在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：000cos22d

3、EdR 它沿它沿x、y軸上的二個(gè)分量為：軸上的二個(gè)分量為：00coscos cos2xdEdEd XYOdExdEydEydEdE00sinsincos2ydEdEd 積分后的：積分后的：200022000002322003002cos cos2cos+cos-cos22+cos-cos+cos -cos022xEddddd （）（）（ ）2000sincos02yEd 0E 9.7、如圖所示，兩個(gè)無限長(zhǎng)的圓柱面之間，均勻分別分、如圖所示，兩個(gè)無限長(zhǎng)的圓柱面之間，均勻分別分布著體密度為布著體密度為的電荷，如果兩個(gè)圓柱面軸的距離為的電荷，如果兩個(gè)圓柱面軸的距離為a，求小圓柱面內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布。求小圓

4、柱面內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布。ROaOr解：解：對(duì)于無限長(zhǎng)的圓柱體而言，則由對(duì)于無限長(zhǎng)的圓柱體而言，則由高斯定理知：高斯定理知：nisqrhEsdE1012內(nèi)102niqErh內(nèi) （1）只有大圓柱體：）只有大圓柱體：1011021122rrhrhrE（2）只有小圓柱體：）只有小圓柱體：2022022222rrhrhrEarrEEE0210212)(29.9、一半徑為、一半徑為R的帶電球體，球體內(nèi)點(diǎn)荷體密度分布為的帶電球體，球體內(nèi)點(diǎn)荷體密度分布為=(qr)/(R4），求（，求（1）帶電球體的總電量；（）帶電球體的總電量；（2）球體內(nèi)）球體內(nèi)外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（3）球體內(nèi)外各點(diǎn)的電勢(shì)。）球

5、體內(nèi)外各點(diǎn)的電勢(shì)。解：解：（1）在球內(nèi)取半徑為）在球內(nèi)取半徑為r、厚度為、厚度為dr的薄球的薄球殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為：殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為：4342/4)/(4RdrqrRdrrqrdVdq則球體所帶的總電荷為：則球體所帶的總電荷為：VRqdrrRqdVQ034)/4(（2）在球內(nèi)做一半徑為）在球內(nèi)做一半徑為r1的高斯球面，按高斯定理有：的高斯球面，按高斯定理有：404120401214141RqrdrrRqrErr得：得：)(41140211RrrRqrE1r的方向沿半徑向外的方向沿半徑向外在球體外做半徑為在球體外做半徑為r2的高斯球面，按高斯定理有的高斯球面，按高斯定理有0222/

6、4qEr得：得：)(420402RrrRqE2E方向沿半徑向外方向沿半徑向外（3）球外電勢(shì)）球外電勢(shì))(4(121234413310403102040221111RrRrRqRqrRqdrrqdrRqrrdEdrEURRrRRr球內(nèi)電勢(shì)球內(nèi)電勢(shì))(44220202222RrrqdrrqrdEUrRr9.10、核技術(shù)應(yīng)用中最常用的蓋革、核技術(shù)應(yīng)用中最常用的蓋革-米勒（米勒（G-M）技術(shù)管的外形結(jié)）技術(shù)管的外形結(jié)構(gòu)如圖所示，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)用玻璃圓筒密封的共軸性電容器，。構(gòu)如圖所示，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)用玻璃圓筒密封的共軸性電容器，。設(shè)導(dǎo)線（正極）半徑為設(shè)導(dǎo)線（正極）半徑為a，金屬圓筒（負(fù)極）半徑為，金屬

7、圓筒（負(fù)極）半徑為R，其間為真，其間為真空。當(dāng)兩極加上電壓空。當(dāng)兩極加上電壓U時(shí)，求正極附近的場(chǎng)強(qiáng)和金屬圓筒表面附時(shí)，求正極附近的場(chǎng)強(qiáng)和金屬圓筒表面附近的場(chǎng)強(qiáng)。近的場(chǎng)強(qiáng)。玻璃圓筒)(金屬圓筒）導(dǎo)線（解：解：設(shè)正極的線電荷密度為設(shè)正極的線電荷密度為，作半徑為作半徑為r（arR)長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的的圓柱高斯面，據(jù)高斯定理得距圓柱高斯面，據(jù)高斯定理得距軸心為處的場(chǎng)強(qiáng)為：軸心為處的場(chǎng)強(qiáng)為：rE02兩極間的電壓為：兩極間的電壓為：02RaRUE drIna聯(lián)立聯(lián)立兩式得：兩式得：arInRUE/令令r=a得得正極附近的場(chǎng)強(qiáng)為：aaInRUEar/令令r=R得圓通表面的場(chǎng)強(qiáng)為：得圓通表面的場(chǎng)強(qiáng)為：aRInR

8、UERr/9.11、如圖所示，同軸傳輸線是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣、如圖所示，同軸傳輸線是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣的同軸金屬直圓柱體構(gòu)成。設(shè)內(nèi)圓柱體的電勢(shì)為的同軸金屬直圓柱體構(gòu)成。設(shè)內(nèi)圓柱體的電勢(shì)為U1，半，半徑為徑為R1，外圓柱體的電勢(shì)為，外圓柱體的電勢(shì)為U2，內(nèi)半徑為，內(nèi)半徑為R2，求其間離，求其間離軸為軸為r處（處（R1rR2)的電勢(shì)。的電勢(shì)。1U2U1R2RrP解：解：設(shè)內(nèi)圓柱體單位長(zhǎng)度的電量為設(shè)內(nèi)圓柱體單位長(zhǎng)度的電量為。在內(nèi)外圓柱體之間作半徑為。在內(nèi)外圓柱體之間作半徑為r(R1rR2)，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為l的圓柱體閉合的圓柱體閉合高斯面，應(yīng)用高斯定理可得距軸心高斯面，應(yīng)用高斯定理可得距軸心為為r

9、處場(chǎng)強(qiáng)為處場(chǎng)強(qiáng)為rE02于是，兩圓柱體間電壓為：于是，兩圓柱體間電壓為：12021221RRInrdEUUURR1221RRrEInUUU)/(1221RRrInUUE則兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為則兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為r處（處（R1rR2)的電勢(shì)與外圓柱的電勢(shì)與外圓柱體之間的電勢(shì)差為：體之間的電勢(shì)差為：)/()/()/(212211221222rRInRRInUUdrRRrInUUrdEUURrRrr于是，兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為于是，兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為r處（處（R1rR2)的電勢(shì)為：的電勢(shì)為：221221)/()/(UrRInRRInUUUr類似地，兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為類似地，兩

10、個(gè)圓柱體的空隙中離軸為r處（處（R1rR2)的電勢(shì)與的電勢(shì)與內(nèi)圓柱體之間的電勢(shì)差為：內(nèi)圓柱體之間的電勢(shì)差為：)/()/(1122111rRInRRInUUrdEUURrr于是，兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為于是，兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為r處（處（R1rL)的電勢(shì)（設(shè)無限遠(yuǎn)的電勢(shì)（設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)）；（處為電勢(shì)零點(diǎn)）；（2）利用電勢(shì)梯度求該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。）利用電勢(shì)梯度求該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn)，點(diǎn)，x軸沿桿的方向，如圖所示。細(xì)桿的電軸沿桿的方向，如圖所示。細(xì)桿的電荷密度荷密度=q/(2L),在在r處取電荷元處取電荷元dq=dr=qdr/(2L），它在，它

11、在X點(diǎn)產(chǎn)生的點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：電勢(shì)為：)(8)(400rxLqdrrxdqdUx整個(gè)桿上電荷在整個(gè)桿上電荷在r點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：)21 (8)(800LxLInLqrxdrLqULLX2204(L )UqExx 則，該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：則，該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：LOLxxrxrdr9.13、三塊平行放置的金屬板、三塊平行放置的金屬板A、B、C，其面積均為，其面積均為S，間，間距離為距離為，AC間距離為間距離為d，當(dāng)，當(dāng)A、C接地，且接地，且B 導(dǎo)體所帶電荷為導(dǎo)體所帶電荷為Q時(shí)，試求：（時(shí)，試求：（1）A、C板上的感應(yīng)電荷；（板上的感應(yīng)電荷；（2）空間的場(chǎng)強(qiáng)和）空間的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分布。電勢(shì)分

12、布。ABCxd解：解：有靜電平衡條件：有靜電平衡條件：B板是個(gè)等勢(shì)體。板是個(gè)等勢(shì)體。（1）如圖所示，設(shè)：）如圖所示，設(shè)：B板左側(cè)面電荷密度為板左側(cè)面電荷密度為1，B板右側(cè)面電荷密度為板右側(cè)面電荷密度為2。因?yàn)橐驗(yàn)锽板是一個(gè)等勢(shì)體，所以：板是一個(gè)等勢(shì)體，所以：)(xdExECA因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度為：因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度為：0E所以：所以：)(0201xdxxxd 21又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽導(dǎo)體所帶電荷為導(dǎo)體所帶電荷為Q，所以：，所以：QSS21聯(lián)立聯(lián)立得：得：SdQxd)(1SdQx2dQxdSQA)(1dQxSQC2ABCxd（2）因?yàn)?，）因?yàn)?，A、C接地，所以接地，所以、處場(chǎng)處場(chǎng)強(qiáng)為零根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理有：強(qiáng)為零

13、根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理有：100()CABBdx QEEEEESd右左200+ACBBQxEEEEESd右左0E方向水平向左方向水平向左方向水平向右方向水平向右0E ACBBEEEEE右左因?yàn)槠桨逡驗(yàn)槠桨錌為等勢(shì)體，所以設(shè)平板為等勢(shì)體，所以設(shè)平板B為零勢(shì)點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)所以在所以在、處電勢(shì)為零，則在處電勢(shì)為零，則在、處的電勢(shì)分別為：處的電勢(shì)分別為：20000()xxdx QdQxQxUE dldlSdSd200()dxxQxdQxQxUE dldxSdSd同理可得：同理可得：9.14、如圖所示，一個(gè)接地的導(dǎo)電體球，半徑為、如圖所示，一個(gè)接地的導(dǎo)電體球，半徑為R,在與球心相在與球心相距為距為r處有一個(gè)正的點(diǎn)電荷處有一個(gè)正的點(diǎn)電荷Q，求導(dǎo)體球外表面上的感應(yīng)電荷，求導(dǎo)體球外表面上的感應(yīng)電荷q.ORQr解：設(shè)金屬球外表面的感應(yīng)電荷為解：設(shè)金屬球外表面的感應(yīng)電荷為q ，則球接地，則球接地時(shí)電勢(shì)為時(shí)電勢(shì)為U0=0。由電勢(shì)疊加原理，球心處電勢(shì)為：。由電勢(shì)疊加原理，球心處電勢(shì)為：00044OQqU