2022年函數(shù)模型及其應用-知識點與題型歸納

1、學習必備精品知識點高考明方向1. 了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2. 了解函數(shù)模型 (如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型) 的廣泛應用 . 備考知考情1. 利用函數(shù)圖象刻畫實際問題及建立函數(shù)模型解決實際問題，是高考命題的熱點2. 常與函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值以及基本不等式、導數(shù)的應用交匯命題， 考查建模能力及分析問題和解決問題的能力3. 選擇題、填空題、解答題三種題型都有考查，但以解答題為主 . 一、知識梳理 名師一號 p35 知識點一幾類函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)a

2、xb(a，b為常數(shù)， a0) 二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)， a0) 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點模型指數(shù)型 函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)， a0，且 a1) 對數(shù)型 函數(shù)模型f(x)blogaxc (a，b，c為常數(shù)，a0，且a1)冪函數(shù)型函數(shù)模型f(x)axnb(a，b 為常數(shù)， a0)知識點二三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較1.指數(shù)函數(shù) yax(a1)與冪函數(shù) yxn(n0)：在區(qū)間 (0， )上，無論 n 比 a 大多

3、少，盡管在 x 的一定范圍內(nèi) ax會小于 xn，但由于 ax的增長 快于 xn的增長，因而總存在一個x0，當 xx0時，有 axxn. 2對數(shù)函數(shù) ylogax(a1)與冪函數(shù) yxn(n0)：對數(shù)函數(shù) ylogax(a1)的增長速度，不論a 與 n 值的大小如何， 總會慢于 yxn的增長速度， 因而在定義域內(nèi)總存在一個實數(shù) x0，當 xx0時，有 logaxxn由 1、2 可以看出 三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在 (0，)上，總會存在一個x0，當 xx0時，有 axxnlogax. 注意： 名師一號 p36 問題探究問題 1、2 問題 1解決

4、實際應用問題的一般步驟是什么？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題以上過程用框圖表示如下：問題 2在解決實際應用問題時應注意哪些易錯的問題？(1)函數(shù)模型應用不當 ，是常見的解題錯誤所以，要理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型(2)要

5、特別 關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域(3)注意 問題反饋 ，在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性二、例題分析：（一）三種函數(shù)模型增長速度的比較例 1. 名師一號 p36 對點自測 5、6 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點5.判斷下面結(jié)論是否正確 (請在括號中打“”或“”) (1)函數(shù) 2x的函數(shù)值比 yx2的函數(shù)值大 () (2)冪函數(shù)增長比直線增長更快() (3)不存在 x0，使 ax0 xn0logax0.() (4)

6、f(x)x2，g(x)2x、h(x)log2x，當 x(4， )時，恒有 h(x)f(x)g(x)() 答案(1)(2)(3)(4)思考： 如何證明：任意x(4，) ， x22x恒成立。6在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是() x 1.953.003.945.106.12 y 0.971.591.982.352.61 a.y2xbylog2xcy12(x21) dy2.61cos x解析由表格知當 x3 時， y1.59， 而 a 中 y238，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - -

7、 - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點不合要求， b 中 ylog23 (1,2)接近， c 中 y12(321)4，不合要求， d 中 y2.61cos30 ，不合要求，故選b. （二）函數(shù)模型應用題例 1. 名師一號 p36 對點自測 1 1.一根蠟燭長 20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度 h(cm)與燃燒時間 t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的() abcd解析由題意知 h205t(0t4)，故選 b. 例 2. 名師一號 p36 高頻考點例 1 (2014 武漢調(diào)研 )在經(jīng)濟學中，函數(shù) f(x)

8、的邊際函數(shù) mf(x)定義為：mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生產(chǎn)x 臺某種產(chǎn)品的收入為 r(x)元， 成本為 c(x)元， 且 r(x)3 000 x20 x2，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點c(x)500 x4 000(xn*)現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過 100臺(1)求利潤函數(shù) p(x)以及它的邊際利潤函數(shù)mp(x)；(2)求利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差解析： (1)由題意，得 x1,100，且 xn*.p(x)r(x)c(x)

9、(3 000 x20 x2)(500 x4 000) 20 x22 500 x4 000，mp(x)p(x1)p(x) 20(x1)22 500(x1)4 000 (20 x22 500 x4 000)2 48040 x. (2)p(x)20 x1252274 125，當 x62 或 x63 時，p(x)取得最大值 74 120元；因為 mp(x)2 48040 x 是減函數(shù)，所以當x1 時，mp(x)取得最大值 2 440 元故利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差為 71 680元注意:名師一號 p36 高頻考點例 1 規(guī)律方法二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù)模型可以求出

10、函數(shù)的最值，解決實際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點根據(jù)圖象的對稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解例 3. 名師一號 p36 高頻考點例 2 一片森林 原來面積為 a，計劃每年砍伐一些樹， 且每年砍伐面積的百分比相等，當 砍伐到面積的一半 時，所 用時間是 10 年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的14，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的22. (1)求每年砍伐面積的百分比；

11、(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解析：(1)設每年降低的百分比為x(0 x1)， 則 a(1x)1012a，即(1x)1012，解得 x112110. (2)設經(jīng)過 m年剩余面積為原來的22，則 a(1x)m22a，即精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點12m101212，m1012，解得 m5，故到今年為止，該森林已砍伐了5 年注意:名師一號 p37 高頻考點例 2 規(guī)律方法(1)指數(shù)函數(shù)模型常與增長率相結(jié)合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞

12、分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示(2)應用指數(shù)函數(shù)模型時，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設定模型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型(3)ya(1x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解例 4. 名師一號 p37 高頻考點例 3 某旅游景點預計2015年 1 月份起 前 x 個月的旅游人數(shù)的和 p(x)(單位：萬人 )與 x 的關(guān)系近似地滿足p(x)12x(x1)(392x)(xn*，且 x12)已知 第 x 個月的人均消費額q(x)(單位：元 )與 x 的近似關(guān)系是 q(x)(1)寫出 2015年第 x 個月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人 ) 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；(2)試問

13、2015年第幾個月旅游消費總額最大，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點最大月旅游消費總額為多少元？解析： (1)當 x1 時，f(1)p(1)37，當 2x12，且 xn*時，f(x)p(x)p(x1) 12x(x1)(392x)12(x1)x(412x) 3x240 x，驗證 x1 也滿足此式 ，所以 f(x)3x240 x(xn*，且 1x12)(2)第 x 個月旅游消費總額為g(x)即 g(x)當 1x6，且 xn*時，g(x)18x2370 x1 400，

14、令 g(x)0，解得 x5 或 x1409(舍去)當 1x0，當 5x6 時，g(x)0，當 x5 時，g(x)maxg(5)3 125(萬元)當 7x12，且 xn*時，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點g(x)480 x6 400是減函數(shù)，當 x7 時，g(x)maxg(7)3 040(萬元)綜上， 2015 年 5 月份的旅游消費總額最大，最大旅游消費總額為 3 125 萬元注意:名師一號 p37 高頻考點例 3 規(guī)律方法(1) 很多實際問題中，變量間的關(guān)系

15、不能用一個關(guān)系式給出，這時就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型，如出租車的票價與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)(2) 求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法 在求分段函數(shù)的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值練習：溫故知新p32 第 6 題某輛汽車 購買時的費用是 15萬元， 每年使用的保險費、路橋費、汽油費等約為1.5 萬元，年維修保養(yǎng)費用第一年3000 元，以后逐年遞增 3000 元，則這輛汽車報廢的最佳年限（即年平均費用最少）是答案： 10 年精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - -

16、- - - - -學習必備精品知識點函數(shù)模型應用題專項突破從近三年的高考試題來看，建立函數(shù)模型解決實際問題是高考的熱點，題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導數(shù)、最值交匯，主要考查建模能力，同時考查分析問題、解決問題的能力【典例】某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度 )設該蓄水池的底面半徑為r 米，高為 h 米，體積為 v 立方米假設建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為 100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000 元( 為圓周率 )(1)將 v 表示成 r 的函數(shù) v(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù) v(r)的單調(diào)性，并確定r 和 h 為何值時該蓄水池的體積最大課后作業(yè)計時雙基練 p231基礎(chǔ) 1-9、培優(yōu) 1、2 課本 p37 變式思考 1、2、3；課本 p38 對應訓練預習 第二章第十一節(jié)變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -