2022年分類討論思想在一元二次方程中運用舉例

1、精品資料歡迎下載分類爭論思想在一元二次方程中的運用在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要依據(jù)爭論對象的性質(zhì)差異，分別對各種不同的情形予以分析的思想方法叫分類爭論；本文以一元二次方程為例，談?wù)劮诸悹幷撍枷朐诮忸}中的運用；22例 1. 已知方程 m x2 m1 x10 有實數(shù)根，求 m 的取值范疇；分析：字母系數(shù)的取值范疇問題，第一引起警覺，想到分類爭論；由于這里并沒有指明是二次方程，故要考慮是一次方程的可能；2解：（ 1）當(dāng) m0 ，即 m0 ，方程為一元一次方程x10 ，有實數(shù)根 x1 ；2（ 2）當(dāng) m0 ，即 m0 時，方程為二次方程；由有實根的條件得：22m1m144m24m10所以 m1 ，且 m041綜合

2、（ 1）、（ 2），得： m4評注：字母系數(shù)的取值范疇問題是否要爭論，要看清題目的條件；一般設(shè)問方式有兩種（ 1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“兩實數(shù)根”；這都說明是二次方程， 不需爭論，但切不行忽視二次項系數(shù)不為零的要求；本例是依據(jù)二次項系數(shù)是否為零進(jìn)行分類爭論；2例2.當(dāng)m是 什 么 整 數(shù) 時 ， 關(guān) 于x的 一 元 二 次 方 程 mx4 x40 與x 24mx4m24m50 的根都是整數(shù)；解析： 由于給出的關(guān)于x 的方程是一元二次方程，所以二次項系數(shù)不為零， 即 m0 ；又由于方程均有實數(shù)根，所以2144m40解得： m12又24m414m24m50解得： m54所以 5

3、m14又 m 是整數(shù)，且 m0 ，且 m1 或 1當(dāng) m1 時 ， 方 程 mx24 x40 為 x24 x40 ， 解 得 方 程 的 根 為x222 ，它的根不是整數(shù)，故m1 舍去；2當(dāng) m1時， 方程 mx4x40的 根 為 x1x22，方 程22x4mx4m4m50 根為 x15， x21 ，均為整數(shù)，所以m1；評注：本例是依據(jù)方程的根是否為整數(shù)進(jìn)行分類爭論；2m2例 3. 已知關(guān)于 x 的方程： xm2 x04（ 1）求證：無論m 取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；（ 2）如這個方程的兩個實數(shù)根x1、x2 滿意 x2x12 ，求 m 的值及相應(yīng)的x1、x2 ；22m2解：（ 1

4、）m2442 m122所以不論 m 取何值，總有 2 m102所以 2 m120 ，即0所以方程總有兩個相異的實根；2m（ 2）由于 x1· x204所以x10，x20 或 x10， x20如x10，x20 ，就 x2x12所以所以x1mx242此時2x2x40所以x115， x215如x10， x20 ，就x2x12所以x1x222所以 m1，此時 x2x0所以 x10， x22評注：本例是依據(jù)方程根的正負(fù)進(jìn)行分類爭論，旨在去掉肯定值符號；2例 4. 如實數(shù) a、b 滿意 a28a50， b8b50 ，求 b1a1a 1的值；b 12解：由方程根的定義，知a、 b 是方程 x8x5

5、0 的兩個根所以 ab8， ab52b1a1ab2 ab2a1b1abab1ab2所以20事實上，題設(shè)中的a 與 b 是可以相等的，當(dāng) ab 時，原式 2綜上所述：當(dāng) ab 時，原式20 ，當(dāng) ab時原式 2評注：本例是依據(jù)方程的根是否相等進(jìn)行分類爭論；從上面例題我們可以歸納出用分類爭論的數(shù)學(xué)思想方法解題的一般步驟是：（1）明確爭論的對象；（ 2）進(jìn)行合理分類；所謂合理分類，應(yīng)當(dāng)符合三個原就：分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，分類應(yīng)當(dāng)沒有遺漏，分類應(yīng)是沒有重復(fù)的；（3）逐類爭論，分級進(jìn)行；（ 4）歸納并作出結(jié)論；練習(xí)題1. 如方程 x 2-2x+3 （2-3 ） =0 的兩根是 a 和 b（ a>b

6、），方程 x2-4=0 的正根是 c，試判定以 a、b、c 為邊的三角形是否存在如存在，求出它的面積；如不存在，說明理由2. 已知關(guān)于 x 的方程（ a+c）x 2+2bx- （c-a ）=0 的兩根之和為 -1 ，兩根之差為 1，.其中 a， b， c 是 abc的三邊長（ 1）求方程的根；（2）試判定 abc的外形3. 某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原先每件的成本價是500 元，銷售價為625 元，經(jīng)市場猜測， 該產(chǎn)品銷售價第一個月將降低20%，其次個月比第一個月提高6%，為了使兩個月后的銷售利潤達(dá)到原先水平，該產(chǎn)品的成本價平均每月應(yīng)降低百分之幾？4. 李先生乘出租車去某公司辦事，下午時，打出的電

7、子收費單為“里程11.公里，應(yīng)收29.10 元”出租車司機(jī)說： “請付 29.10 元”該城市的出租車收費標(biāo)準(zhǔn)按下表運算， 懇求出起步價 n（ n<12）是多少元里程（公里）0<x 33<x 6x>6價格（元）n2225 nn參考答案1解：解方程 x 2-2x+3 （2-3 ） =0，得 x1=3 ， x 2=2-3 方程 x2-4=0 的兩根是 x 1=2， x 2=-2 所以 a、b、c 的值分別是3 ， 2-3 ， 2由于3 +2-3 =2，所以以 a、b、c 為邊的三角形不存在點撥：先解這兩個方程，求出方程的根，再用兩邊的和與第三邊相比較等來判定2解：（ 1）設(shè)

8、方程的兩根為x1 ，x2（x1>x 2），就 x 1+x 1=-1 ， x 1-x 2=1，解得 x1=0， x 2=-1 （ 2）當(dāng) x=0 時，（ a+c）× 02+2b× 0- （c-a ） =0所以 c=a當(dāng) x=-1 時，（ a+c ）×（ -1 ） 2+2b×（ -1 ） - （c-a ） =0 a+c-2b-c+a=0 ， 所以 a=b即 a=b=c， abc為等邊三角形點撥：先依據(jù)題意，列出關(guān)于x， x 的二元一次方程組，可以求出方程的兩個根0 和-1 進(jìn)而把這兩個根代入原方程，判定a、b、 c 的關(guān)系，確定三角形的外形 3解：設(shè)該

9、產(chǎn)品的成本價平均每月應(yīng)降低x625（ 1-20%）（ 1+6%） -500 （ 1-x ）2=625-500整理，得 500（1-x ） 2=405，（ 1-x ） 2=0.81 1-x=±0.9 ， x=1± 0.9 ，x 1=1.9 （舍去）， x2 =0.1=10%答：該產(chǎn)品的成本價平均每月應(yīng)降低10%點撥：題目中該產(chǎn)品的成本價在不斷變化，銷售價也在不斷變化，.要求變化后的銷售利潤不變，即利潤仍要達(dá)到125 元， .關(guān)鍵在于運算和表達(dá)變動后的銷售價和成本價4解：依題意， n+（ 6-3 ）× 22n+（ 11-6 ）× 25n=29.10 ，整理，得 n2-29.1n+191=0 ，解得 n1=19.1 ，n 2=10，由于 n<12，所以 n1=19.1 舍去，所以 n=10 答：起步價