632平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1、6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平而向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示2掌握兩個向量加、減運算 的坐標(biāo)表示.知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)知識點一平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.知識點二平面向量的坐標(biāo)表示1在平而直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、v軸方向相同的兩個單位向量分別為i, i，取卩，力作為 基底對于平而內(nèi)的任意一個向量d，由平而向疑基本泄理可知，有且只有一對實數(shù)X, y, 使得a=xi+yj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x, y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x, y)叫做向量 a的坐標(biāo)，記作a=(x,

2、、).2. 在直角坐標(biāo)平而中，i=(l,O), j=(O,l), 0=(0.0).思考 點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)有什么區(qū)別和聯(lián)系？答案區(qū)別表示形式不同向y)中間用等號連接，而點仏，刃中間沒有等號意義不同點A(x, V)的坐標(biāo)(x, y)表示點A在平而直角坐標(biāo)系中的位置， a=(x, y)的坐標(biāo)(x, y)既表示向雖的大小，也表示向量的方 向.另外(X，刃既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指 明點(x, y)或向量(x, y)聯(lián)系當(dāng)平面向屋的起點在原點時，平而向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)相同知識點三平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示設(shè) a=(xi，yi)» b=(x2t j2)»數(shù)學(xué)公

3、式文字語言表述向量加法a+b=(x+x2，yi+y2)兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法a-b=(xX2f Vya)兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差已知點A(xb yi)> B(xif >2),那么向fiAB=(X2xi,坨一yi),即任意一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).思考辨析 判斷正誤1 零向量的坐標(biāo)是(00)(V )2兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標(biāo)一定不同(X )3當(dāng)向量的始點在坐標(biāo)原點時，向董的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)(J )4向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化(X )題型探究探究蟲點素養(yǎng)提升&q

4、uot; ''0、平面向量的坐標(biāo)表示例1如圖，在平而直角坐標(biāo)系人Oy中，0A=4, AB = 3, ZAOx=45。，ZOAB=105。，OA=a. AB=b.四邊形OABC為平行四邊形.(1) 求向量a, b的坐標(biāo)：(2) 求向量茲的坐標(biāo)；(3) 求點B的坐標(biāo).解(1)作AM丄;v軸于點M,則 OM=OA -cos 45° =4><羋=2羽， AM=OA sin 45° =4><平=2返A(chǔ)(2d 22),故 a=(2V2, 2y/2).V ZAOC= 180°-105°=75°, ZAOy=45

5、6;, ZCOy=30° 又OC=AB=3,/I,明，.喬=冼=(I,明,x5 = 3,、y+6=6,解得x=2,即N(20) OB=OA+AB=(2yj2.=(2皆|, 2邊+攀).點B的坐標(biāo)為(2邁一扌，20+攀) 反思感悟 在表示點、向董的坐標(biāo)時.可利用向量的相等、加減法運算等求坐標(biāo)，也可以利 用向董、點的坐標(biāo)定狡求坐標(biāo).跟蹤訓(xùn)練1已知點M(5, -6),且為=(一3,6),則N點的坐標(biāo)為.答案(2,0)解析顧=(一3,6),設(shè) N(x, y)9則諭=ON-OA1=(x-5, y+6)=(3,6)二、平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示例2已知點A(0,l), 8(32)，向MXC=(

6、-4, -3),則向量荒等于()A(一7, -4)B(7,4)C(一 l,4)D(l,4)答案A解析 設(shè) C(x, y).則花=OC-OA=(xt y_l)=(_4, 3),即 x=-4, y=2,故 C(-4, -2),則OC-OB=-1. 一4)反思感悟平面向量坐標(biāo)運算的技巧(I)若已知向董的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和.差的運算法則進行.(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進行向童的坐標(biāo)運算. 跟蹤訓(xùn)練2在匚ABCD中，AC為一條對角線，若而=(2,4), AC=(1,3),求麗的坐標(biāo). 解 VAC=AB4-Ab,C.AD=ACAB=( 19 1),:.BD=AD

7、-AB=(-39 一5)隨堂演練基礎(chǔ)鞏因?qū)W以致用1已知向量a=(l,2), b=(3)，則b-a等于(A.(2,1)C(2,0)B.(2, -1)D(4,3)答案B解析 由題意得 一a=(3,1 )(1,2)=(2, 1)D(&1)2已知向M(9A=(3, 一2), 0B=(-5, -1),則向呦方的坐標(biāo)是()C.(-&1)答案C 解析 AB=0B-0A=(-5. -1)-(3, -2)=(_&1) 3若 A(3,l), B(2, -1),則BA的坐標(biāo)是(A.(-2, -1)C.(L2)答案C解析 BA = OA-OB=(3,)-(2t -1)=(1,2).4.若向呈:

8、茲=(2,3), &=(4,7),則疋=.答案(一2, 4)解析 BC=BA+AC=BA-CA = (23)-(47)=(-2, _4)5若 a=(22), b=(3, 4), c=(l,5),則 a+b+c=答案(2,3)解析 a+c=(2+3+l,24+5)=(2,3)課堂小結(jié)1 知識清單：(1) 平面向董的正交分解及坐標(biāo)表示.(2) 平面向董加、減運算的坐標(biāo)表示.2方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3常見誤區(qū)：已知A, B兩點求旋的坐標(biāo)時，一定是用終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).課時對點練注重雙基強化落實 、9基礎(chǔ)鞏固1. 已知M(2,3), N(3J),則麗的坐標(biāo)是()A(2, 1)B.( L2)

9、C(一2,1)D.(l, 2)答案B解析麗=前一麗=(2,3)(3,1)=(1,2).2. 已知a=(1,1), b=(l, 1),則ab等于()A.(l,2)B.(2,0)C.(0,2)D.(2,l)答案C解析 a方=(1,1)一(1, -l)=(0.2).3. 已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中A(5, 1), B( 1,7), C(l,2),則頂點D的坐標(biāo)為()A.(7,0)B.(7,6)C.(6,7)D.(7, -6)答案D解析設(shè)D(x, y),因為喬=荒，所以(x5, y+1)=(2, 5),所以 x=7, y=6.所以 D(7, -6).4設(shè)而=(23)，BC=(m. n), C

10、D=(-14),則麗等于()A(l+"?,7+n)B.( 1 m9 7?j)C(l?,7n)D(l+m , 7+n)答案B解析 DA=DC+CB+BA = -CDBCAB= (1,4)(用，n)(2,3)=(1 m9 7?)5已知M( 2,7), MIO, 一2),點P是線段A/N上的點，且兩=,麗，則P點的坐標(biāo)為()B.(22, -11)A.(14J6)C.(6J)答案D 解析設(shè) P(x, y)9 則PN=(10-x9MP=(x+29 y_7),、=4,9：PN=MP,，=2-6已知平行四邊形OABC. K中O為坐標(biāo)原點，若A(2,l), 5(13),則點C的坐標(biāo)為答案(一1,2)

11、 解析 設(shè)點C的坐標(biāo)為(x, y)9則由已知得OC=AB. 所以(兒 $)=(-1,2).7已知人(2.0),a=(x+33y5),若“=鬲，英中 O 為原點，則 x=,y=.答案一 1 一2儀+3=2,解析由題意知Lf亠0,解得,x= 1 ,)=_2&已知平而上三點A(2, 4), B(06), C(-&10),貝ijAC+BC的坐標(biāo)是.答案(-18J8) 解析 AC+BC=(-8-2J0-(-4)+(-8-0J0-6)=(-10,14)+( 一&4)=(-18,18) 9.在平而直角坐標(biāo)系xOy中，向量a, b, c的方向如圖所示，且Sl=2, I洌=3, lcl=

12、4,分別 計算出它們的坐標(biāo).解 設(shè) a=("i，"2)，b=(b“ 如,C =(C1, C2),則 ui = lalcos 45°=2><平=也，</2=krlsin 45°=2><¥=邊， b|=0lcos 1200=3x(*) = I，/?2=I/Hsin 12O°=3><¥=, c i = Ic lcos(30°)=4 X 半=2萌， C2=lclsin( _ 30。)=4 X (_*)=_ 2. 因此 a=(-2,羽)，& =(-號,卑) c=(2羽，2).

13、10.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中,已知點A(l,l), B(2,3), C(3, 2).若顧+越+陀=0,求麗的 坐標(biāo).解 設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, y),因為 P4+PB+PC=0,又 鬲+兩+Pt=(l_x,l_y)+(2_x,3_y)+(3_x,2_y)=(6_3x,6_3y).6 3x=0,63y=0,x=2,$=2所以點P的坐標(biāo)為(2,2),故麗=(22)11已知向Sa=(L 2), b=(mA)f 且 a/b9 那么 ab 等于()A(4,0) B.(0,4) C(3, -6) D(一 3,6)答案c解析:a"b、：設(shè) a則X 得彳丄=(一2,4),ab=( 2)(2.4)=

14、(3, 6).12 向呈麗=(7, 5),將而按向咼a=(3,6)平移后得到向量廠產(chǎn)，則才廠茁的坐標(biāo)形式 為()A.(IOJ)B(4, -11)C(7, 5)D.(3,6)答案c解析才7與祐方向相同且長度相等，故aS =旋=(7, -5).13. 己知 A(|,另,B(l,4),且Ab=(sina, cos/?), a,阻(-號,號),則 a+0=,答案彳或一號解析 由題意知而=(一*)=(sina, cos/?),.sina=cos0=*,又Ta,尸丘(一務(wù)申)，7T71 . 7T a=石,0=亍或_亍“+"咗或一號.寸拓廣探究14. 將向量a=(2萌，一2)繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到向量k則的坐標(biāo)為.答案(2羽，一 2)解析 易知a與x軸正半軸的夾角為150。，逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到向量在第四象限，與x軸正半軸夾角為30。，=(2® -2).15. 已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A( 2,1), B( 1,3)，