(word完整版)2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)解析(全國一卷)

1、2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)解析一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合 Mx 4x 2 ， N x x2x 6 0 ，則 M N =A. x 4 x 3B. x 4 x2C. x 2 x 2D. x 2 x 3【答案】 C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法， 滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 采取數(shù)軸法， 利用數(shù)形結(jié)合的思想解題【詳解】由題意得， Mx 4 x2 , Nx2x 3，則MNx 2x2故選 C總結(jié)：不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部

2、分2.設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 zi =1， z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x， y)，則A.( x+1)2y21B. ( x 1)2y21C. x2( y 1)21D.x2( y+1)21【答案】 C【分析】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)（x， y）和點(diǎn) (0，1)之間的距離為 1，可選正確答案C【詳解】 zxyi, zix ( y1)i, zix2( y 1)21, 則 x2( y 1)21故選 C總結(jié)： 本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取公式法或幾何法， 利用方程思想解題3.已知 alog 2 0.2,b20.2 , c 0.20.3

3、，則A.a b cB. a cbC. c a bD.b c a【答案】 B【分析】運(yùn)用中間量0 比較 a , c ，運(yùn)用中間量1比較 b , c【詳解】 alog 2 0.2log 2 1 0, b20.2201, 00.20.30.201,則 0c1,acb 故選 B總結(jié)： 本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取中間變量法， 利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題4. 古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是51 （5122 0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5 1 若某

4、人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端2的長度為26 cm，則其身高可能是1A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】 B【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解【詳解】設(shè)人體脖子下端至腿根的長為x cm，肚臍至腿根的長為y cm，則 26 26x5 1，得xy1052x 42.07cm, y 5.15cm 又其腿長為105cm ，頭頂至脖子下端的長度為26cm ，所以其身高約為42 07+5 15+105+26=178 22，接近 175cm故選 B總結(jié)： 本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取類比

5、法， 利用轉(zhuǎn)化思想解題5.函數(shù) f(x)=sin xx在 ， 的圖像大致為cos xx2A.B.C.D.【答案】 D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得f (x) 是奇函數(shù)，排除A ，再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案【詳解】由 f (x)sin(x)(x)sin xxf ( x) ，得 f (x) 是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱又cos(x)(x) 2cos xx2f ( )12421, f ()0 故選 D22122()2總結(jié)： 本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下

6、到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“ ”和陰爻“”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3 個陽爻的概率是25112111A.B.C.D.16323216【答案】 A【分析】本題主要考查利用兩個計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況， 基本事件計(jì)算是住店問題， 該重卦恰有 3 個陽爻是相同元素的排列問題， 利用直接法即可計(jì)算【詳解】由題知，每一爻有2 中情況，一重卦的 6 爻有 26 情況，其中6 爻中恰有 3 個陽爻情況有 C63 ，所以該重卦恰有 3 個陽爻的概率為C63=5 ，故選 A2616總結(jié)： 對利用排列組合

7、計(jì)算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計(jì)算是“住店”問題，滿足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問題即為組合問題7.已知非零向量a， b 滿足a = 2 b ，且（ ab）ba與b的夾角為，則2D.5A.B.C.6633【答案】 B【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題， 滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、 數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng) 先由 ( ab)b 得出向量 a, b 的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角【詳解】因?yàn)?(ab)b ，所以 ( ab) b a b b2=0 ，所以 ab

8、 b2 ，所以 cosa b| b |21=2，a b2 | b |2所以 a 與 b 的夾角為，故選 B3總結(jié)：對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為0, 18.如圖是求 21的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入12231111A. A=B.A=2C. A=D. A=12 AA1 2A2A【答案】 A【分析】本題主要考查算法中的程序框圖， 滲透閱讀、 分析與解決問題等素養(yǎng)， 認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇1 , k11， kk1 =2，循環(huán)，執(zhí)行【詳解】執(zhí)行第1次， A12 是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)

9、算1=2222A1第 2 次，k22 ，是，因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算211，kk1 =3，循環(huán)，執(zhí)行第3 次，k 22 ，=21A212否，輸出，故循環(huán)體為A，故選 A2A1總結(jié)：秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為A2A9.記 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和已知 S40， a55 ，則A. an 2n 5B. an3n 10C.Sn2n28nD.S1 n22nn2【答案】 A【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式 本題還可用排除， 對 B， a5 5，S44(72)100 ，排除 B，22 52對C，S4 0, a5S5S48 5 010 5， 排 除C對D，S4 0, a5

10、S5S414224005 ，排除 D，故選 A 2S44a1d430a13【詳解】由題知，22n5，故選 A，解得2， ana5a14d 5d總結(jié)： 本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式， 滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷410.已知橢圓C 的焦點(diǎn)為F( 1,0) ，F(xiàn) (1,0)，過 F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn) 若22B，12. AF2 F AB BF1，則 C 的方程為A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.x2y212324354【答案】 B【分析】可以運(yùn)用下面方法求解：如

11、圖，由已知可設(shè)F2 Bn ，則 AF22n , BF1AB3n，由橢圓的定義有2a BF1BF24n , AF12a AF22n 在 AF1 F2和 BF1F2中，由余弦定理得4n242 2n 2 cos AF2 F14n2 ,，又AF2 F1 ,BF2 F1 互補(bǔ)， cos AF2 F1cosBF2 F10 ，兩n24 2 n 2 cosBF2F19n2式消去cos AF2 F1 , cosBF2 F1，得3n2611n2，解得n3 2a4n2 3 ,a3 ,b2a2c231 2 ,所求橢圓方程為x2y21，故選 B232【詳解】如圖，由已知可設(shè) F2Bn ， 則 AF22n , BF1AB

12、3n ， 由 橢 圓 的 定 義 有2a BF1BF24n , AF12a AF22n 在 AF1 B中，由余弦定理推論得cos F1AB4n29n29n21 在 AF1 F2 中，由余弦定理得 4n24n22 2n 2n14，解得 n3 2 2n 3n3x2y2322a4n2 3 , a3 ,2a2c23 12 ,所求橢圓方程為1，故選 Bb32總結(jié)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)11. 關(guān)于函數(shù) f (x)sin | x | | sin x |有下述四個結(jié)論： f(x)是偶函數(shù) f(x)在區(qū)間（, ）單調(diào)遞增

13、f(x)在 , 有 42個零點(diǎn) f(x)的最大值為 2其中所有正確結(jié)論的編號是A. B. C. D. 【答案】 C【分析】畫出函數(shù)fxsin xsin x 的圖象，由圖象可得正確，故選C5【詳解】 Q fxsinxsinxsinxsin xf x ,f x為偶函數(shù)，故正確當(dāng)2x時， fx2sin x ，它在區(qū)間,單調(diào)遞減，故錯誤當(dāng)0x時，2fx2sin x ，它有兩個零點(diǎn)：0；當(dāng)x0 時， f xsinx sin x2sin x ，它有一個零點(diǎn)：，故 fx 在,有 3個零點(diǎn)：0，故錯誤當(dāng) x2k, 2kkN 時，fx2sin x ；當(dāng) x2k, 2k2kN時， f xsin xsin x0 ，

14、又 f x為偶函數(shù)，f x的最大值為2 ，故正確綜上所述，正確，故選 C總結(jié)：化簡函數(shù)fxsin xsin x ，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案12.已知三棱錐 P-ABC 的四個頂點(diǎn)在球O 的球面上， PA=PB=PC， ABC 是邊長為2 的正三角形， E，F(xiàn) 分別是 PA， PB 的中點(diǎn)， CEF =90°，則球 O 的體積為A.8 6B.46C.2 6D.6【答案】 D【分析】本題也可用解三角形方法，達(dá)到求出棱長的目的適合空間想象能力略差學(xué)生設(shè) PAPBPC2x， E,F 分別為PA, AB 中點(diǎn)，EF / /PB ，且 EF1 PBx ， QABC 為邊長為2等邊三角形，21

15、 PACF3又CEF90CE3x2,AExx2x22AEC 中余弦定理 cosEAC43AC于 D，QPAPC ，22x，作 PDx2x2Q D 為 AC 中點(diǎn)， cosEACAD1，431PA4x，2x2x2x212x21x2 ，PAPBPC2 ，又 AB=BC=AC=2 ，PA,PB,PC兩226兩垂直，2R22 26 ，R6 ， V4R346 66 ，故選 D.2338【詳解】 Q PAPBPC ,ABC 為邊長為 2 的等邊三角形，P ABC 為正三棱錐，PB AC，又 E，F(xiàn)分別PA 、 AB 中點(diǎn)，EF / /PB，EFAC ，又EFCE，CEIACC ,EF平面 PAC ， PB

16、平面PAC ，PABPAPBPC2 ， PABC 為正方體一部分， 2R2 226 ，即 R6 ,V4 R34666 ，故選 D2338總結(jié)：本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)型法解決外接球問題可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進(jìn)而補(bǔ)型成正方體解決二、填空題：本題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13. 曲線 y3( x2x)ex 在點(diǎn) (0,0) 處的切線方程為【答案】 3xy0 .【分析】本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程【詳解】詳解：y/3(2 x 1)ex3( x2x)ex3( x23x1)ex ,所以

17、， k y/ |x 0 3所以，曲線 y3( x2x)ex 在點(diǎn) (0,0) 處的切線方程為y3x ，即 3x y 0 總結(jié)：準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)算錯誤求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求n為等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和若 a1125=14.記S3， a4a6 ，則 S【答案】 121.3【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比 q 的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到 S5 題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q ，由已知 a11 , a42a6，所以 (1 q3 ) 21 q5 ,

18、 又 q0 ，13335所以 q 3, 所以S5a1 (1q5 )3(13 )1211q1337總結(jié)：準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤15. 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主 ”設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為 0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4 1 獲勝的概率是【答案】 0.216.【分析】本題應(yīng)注意分情況討論， 即前五場甲隊(duì)獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式求解題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)

19、知識、基本計(jì)算能力及分類討論思想的考查【詳解】前五場中有一場客場輸時，甲隊(duì)以4:1 獲勝的概率是 0.630.5 0.5 20.108,前五場中有一場主場輸時，甲隊(duì)以4:1 獲勝的概率是0.40.620.5230.108,綜上所述，甲隊(duì)以4:1 獲勝概率是 q00.1080.1080.216.總結(jié)：由于本題題干較長，所以，易錯點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點(diǎn)之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以4:1 獲勝的兩種情況；易錯點(diǎn)之三是是否能夠準(zhǔn)確計(jì)算16. 已知雙曲線 C： x2y21(a0,b0) 左、右焦點(diǎn)分別為F1， F2，過 F1 的直線與 C 的兩條漸近線分a2b2uuur

20、uuuruuuruuur別交于 A， B 兩點(diǎn)若 F1 AAB ， F1B F2 B 0 ，則 C 的離心率為【答案】 2.【分析】本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸進(jìn)線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題【詳解】如圖，uuuruuur由 F1AAB,得 F1AAB.又 OF1OF2 , 得 OA 是三角形 F1 F2 B中位線，即BF2uuur uuuur0 ，得 F1BF2 B,OAF1A, 則 OB OF1 OF2, 有/ /OA, BF2 2OA. 由 F B FB1 g2OBF2BF2O 2OBF12OF1B, AOBAOF1 又 OA 與 O

21、B 都是漸近線，得0b0BOF2AOF1 , 則BOF2的60又漸近線OB斜率為atan603，所以該雙曲線離心率為 ec1 ( b )21(3)22 aa總結(jié)：此題若不能求出直角三角形的中位線的斜率將會思路受阻，即便知道雙曲線漸近線斜率和其離得到漸近線的傾斜角為00的BOF2AOF1BOA260,即心率的關(guān)系，也不能順利求解，解題需要結(jié)合幾何圖形，關(guān)鍵得到60, 從而突破問題障礙三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考8題，每個試題考生都必須作答。第22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17. V ABC 的內(nèi)角 A

22、，B， C 的對邊分別為a，b， c，設(shè) (sin Bsin C )2sin 2 Asin B sin C （ 1）求 A；（ 2）若2ab2c ，求 sinC【答案】（1）A622.；（ ） sin C43【分析】（ 1）利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得：b2c2a2bc ，從而可整理出cosA ，根據(jù) A0, 可求得結(jié)果；（ 2）利用正弦定理可得2 sin AsinB2sinC ，利用 sin B sinA C 、兩角和差正弦公式可得關(guān)于 sin C 和 cosC 的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.【詳解】（1） sin Bsin C22 B 2sin B sin Csin2

23、 C sin2 A sin B sin Csin即： sin2 Bsin 2 Csin 2 Asin B sin C由正弦定理可得：b2 c2 a2 bcb2c2a21cos A2bc2Q A0, A =3（ 2）Q 2 ab 2c ，由正弦定理得：2 sinAsin B2sinC又 sin BsinACsin AcosCcos Asin C ， A32331sin C2sin C2cosC22整理可得： 3sinC63cosCQ sin2 C cos2 C2213sin C63 1sin C解得： sin C642 或624因?yàn)?sin B 2sin C2 sin A2sin C60 所以

24、sin C6 ，故 sin C62 .244（ 2）法二： Q2ab2 c ，由正弦定理得：2 sin AsinB2sin C又 sin BsinACsin AcosCcos Asin C ， A32331sin C2sin C2cosC22整理可得： 3sinC63cosC，即 3sin C3cosC23 sin C66sin C2C511212或6129Q A且 AC5C312sinC5sinsincoscos62sin66sin4124464總結(jié)：本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡，

25、得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.18. 如圖，直四棱柱 ABCD A1B1C1D 1 的底面是菱形， AA 1=4，AB=2， BAD =60°， E， M， N 分別是 BC ，BB1，A1D 的中點(diǎn)（ 1）證明： MN 平面 C1DE；（ 2）求二面角 A-MA 1-N 的正弦值【答案】（1）見解析；（ 2）10 .5【分析】（ 1）利用三角形中位線和AD/ /BC可證得 ME/ /ND ，證得四邊形MNDE為平行四邊形，進(jìn)而證得11MN / /DE ，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形 ABCD 對角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系， 通過取 AB 中點(diǎn) F ，可證

26、得 DFuuur平面 AMA1 ，得到平面 AMA1 的法向量 DF ；再通過向量法求得平r.面 MAN1 的法向量 n ，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值【詳解】（1）連接 ME ， B 1CQ M ， E 分別為 BB1， BC中點(diǎn)ME為B1 BC 的中位線ME/ /BC且 ME1B1C12為 A DND1 B C又N中點(diǎn)，且AD/ /BCND/ /BC且111112ME/ /ND四邊形 MNDE 為平行四邊形MN / / DE ，又 MN平面 C1DE ， DE ì平面 C1DEMN / / 平面 C1DE10（2）設(shè) ACIBDO， A

27、C I BDO11111由直四棱柱性質(zhì)可知：OO1 平面 ABCDQ 四邊形 ABCD 為菱形 AC BD則以 O 為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則： A3,0,0 ， M0,1,2 ， A13,0, 4， D（ 0，-1,0） N3 ,1 ,222取 AB中點(diǎn) F ，連接 DF ，則 F3,1,022Q 四邊形 ABCD 為菱形且BAD60oBAD 為等邊三角形DF AB又 AA1平面ABCD，DF平面ABCDDF AA1 DF 平面 ABB1 A1 ，即 DF 平面 AMA1uuuruuur33DF 為平面 AMA1 的一個法向量，且DF2, ,02ruuuur3, 1,2uu

28、uur33,0設(shè)平面 MAN 的法向量 nx, y, z ，又 MA1， MN,122uuuuvr3xy2z0nMA1rruuuuv33y，令 x3，則 y1 ， z1n3,1,1nMNx202ruuur ruuur315uuurrcosDFn10DF , nuuurr155sin DF , nDFn5A1N10二面角MA的正弦值為：5.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)總結(jié)：本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19. 已知拋物線C： y2=3 x 的焦點(diǎn)為 F，斜率為3 的直線 l 與 C 的交點(diǎn)為 A， B，與 x 軸的交點(diǎn)為 P2（ 1）若 |AF|+|BF |=4，求 l 的方程；uuuruuur（ 2）若 AP3PB ，求 |AB|11【答案】（1） 12 x8 y70 ；（2