D第4章 時間序列預測方法3

1、管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法第4章時間數列預測方法博克斯詹尼斯預測法n概述n分析時間序列特性的方法工具n時間序列特性分析n模型及其改進n隨機時序模型的建立n時序模型預測n預測實例管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法24.1概述博克斯詹尼斯法，常常稱方法，實際是一大族模型的總稱，可以分為三種基本的模式：自回歸(Autoregressive)模型，簡稱模型；移動平均(MovingAverage)模型，簡稱模型；自回歸移動平均(AutoregressiveMovingAverage)模型，簡稱ARMA模型。博克斯詹尼斯法，目前在國外被譽稱為時間序列預測方法中最復雜最高

2、級的模型。這種方法實際上在20世紀30年代由尤爾(G.U.Yule)和瓦爾德(H.Wold)研究過。尤爾(G.U.Yule)于1926年第一次提出自回歸模型（AR），維爾克（Walker）于1934年把它加以推廣。后來，1937年斯盧茨基（Slutzky）第一次使用了移動平均模型（MA），1938年瓦爾德(H.Wold)的著作對AR、MA、ARMA模型的參數進行了分析和估計，并應用到時間序列的季節(jié)分析上，為混合自回歸移動平均模型(ARMA)方法奠定了理論基礎，并把ARMA模型看成為一種最有實用價值的預測方法。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法但是由于計算過于復雜，研究沒有進展。隨

3、著計算機技術的應用，美國威斯康辛大學的博克斯（G.E.P.Box）和英國的統(tǒng)計學家詹尼斯法(G.m.Jenkins)又開始了這一研究，1970年二位學者將各種模型有機地組合在一起，使之成為一種綜合的預測方法，研究成果發(fā)表后，這種時序分析和預測方法受到了人們的重視和實際應用，并因此得以用這二位學者的名字命名。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法4 一、方法的基本思想一、方法的基本思想運用博克斯詹尼斯法的前提條件是，用來建立模型的時間序列應該是一個零均值的平穩(wěn)隨機過程。所謂隨機過程就是一族隨時間變化的隨機變量。而平穩(wěn)隨機過程的主要特點是過程的隨機性質具有時間上的不變性，既隨機過程是在一

4、個不變的平均水平（均值）上波動，過程中偏離這個平均水平的概率，在時間的各個點上是相同的。簡言之，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的移動而變化。用博克斯詹尼斯法的基本思想則是：除極個別的情況外，幾乎所有的時間序列中按照時間順序排列的觀察值之間具有依賴關系或自相關性，這種自相關性體現了變量發(fā)展的延續(xù)性，所以，一旦時間序列的這種自相關性被各種方式用定量的方法描述出來，就可以根據時間序列的過去值預測其將來值。為此，根據隨時間變化而又互相關聯(lián)的數字序列，用相應的數學模型加以近似描述。并通過對相應數學模型的分析研究，認識動態(tài)數據內在結構和復雜特性，從而達到最小方差意義下的最佳預測。t管理工程學院管理預測與決

5、策方法管理預測與決策方法二、方法的基本模型（一）模型（一）模型 1、建模、建模根據多元回歸分析預測方法我們知道，如果預測對象的影響因素有多個，并且各個影響因素之間相互獨立，可以建立的多元線性回歸模型為：eXbXbXbbYkk22110tktkttteYbYbYbbY22110管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法6這里，形式上與上式一樣，都是回歸模型，但是，這里影響因變量的自變量不是來自外界的因素，而是因變量本身，是時間序列在不同滯后時期的序列。因此這里的模型就稱為自回歸模型，簡稱為模型。它的一般形式為，tptptttteYYYY2211管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方

6、法7管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法tktkttteebebebbY22110該方程可以顯示出各個誤差之間的關系，被稱為移動平均(MovingAverage)模型，簡稱模型；它的一般形式寫為，qtqttttteeeeY2211 2、特點：、特點：這里的移動平均與指數平滑法中的移動平均有所不同，這里的移動平均是對隨機時間序列而言的，涉及的是不同時期的時序誤差。 （三）模型（三）模型模型與模型有效地搭配形成隨機時序模型，就是模型。它的一般形式為，tqtqtttptpttteeeeYYYY22112211管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法9三、方法的基本分析程序管理工程

7、學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法4.2分析時間序列特性的方法工具n自相關n自相關系數的抽樣分布n偏自相關n相關分析圖運用博克斯詹尼斯法建立模型，首先需要熟悉模型的種類以及每一種模型的特性，同時也必須要掌握所分析的時間序列的特性，通過時間序列的特性與模型特性的比較，才可以選擇比較適當的模型。這里先介紹分析時間序列特性的方法。分析時間序列特性最有效的工具就是自相關分析。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法一、自相關nttnktkttkYYYYYYr121管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法12管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法13根據公式有，1016

8、.11101tiYY管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法二、自相關系數的抽樣分布管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法15管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法三、偏自相關計算公式計算公式：，kk11krkk11, 111, 11kjjjkkjjkjkkrrr, 3 , 2kjkkkkjkjk, 1, 1, 3 , 2k1, 2 , 1kj管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法17管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法四、相關分析圖為了方便對時間序列的特性進行分析，以及進行時間序列模型進行識別，常常將時間序列的自相關系數，偏自相關系數繪制成圖

9、，并標出一定的置信區(qū)間，被稱為相關分析圖。利用SPSS軟件計算自相關系數、偏相關系數以及繪制相關分析圖的主要步驟如下：1、錄入數據。這里以某省國內生產總值指數為例。2、點擊工具“Graphs”“Timeseries”“Autocorrelations”，得如下對話框，管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法193、在“variables”中輸入“gdpi”，滯后期數在“Options”中輸入，并對顯示結果項以及數據轉換項作出選擇。滯后期的選擇，點擊“Options”，輸入16，點擊“Continue”。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法204、“ok”得結果如下：自相關系

10、數及自相關圖圖中左邊為相關系數，右邊為相關系數圖。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法21偏自相關系數與偏自相關圖圖中左邊為相關系數，右邊為相關系數圖。由自相關系數圖可以看出，有兩個自相關系數落在了隨機區(qū)間外，所以該序列為非純隨機序列。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法4.3時間序列特性分析n隨機性的測定n平穩(wěn)性的測定n時間序列的季節(jié)性博克斯詹尼斯法建立模型，要根據所分析的時間序列的特性與模型特性的比較，才可以選擇比較適當的模型。這里我們利用時間序列特性分析工具，具體來分析時間序列特性。時間序列的特性是指時間序列的隨機性、平穩(wěn)性、季節(jié)性。根據時間序列特性配合相應的模型

11、管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法一、隨機性的測定n隨機性的涵義。時間序列的隨機性就是指時間序列各項之間沒有任何相關關系的特性。測定時間序列的隨機性的目的在于判定該時間序列的是否為純隨機序列，即由一列隨機數字構成的時間序列。直到目前，純隨機序列是無法建立模型的。n測定工具與原則。時間序列分析中測定時間序列的隨機性主要運用的是自相關系數及自相關分析圖。測定的原則是，如果時間序列的自相關系數基本都落入隨機區(qū)間內，則該時序為純隨機序列；有較多自相關系數落入隨機區(qū)間外，時序就是非純隨機序列。如下圖就是一個純隨機序列的自相關系數圖，而第二節(jié)中的自相關系數圖則表明的為非純隨機序列。管理工程學

12、院管理預測與決策方法管理預測與決策方法243、時間序列的隨機性在方法中的應用。測定時間序列的隨機性在方法中主要是在建模后鑒定殘差序列（原始序列與預測模型之間的誤差序列）的隨機性，以便鑒定所建立的模型是否適合于預測。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法二、平穩(wěn)性的測定管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法而下圖，則為非平穩(wěn)時間序列的自相關系數圖管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法3、時間序列平穩(wěn)性在方法中的應用。在方法中，只有平穩(wěn)時間序列才能直接建立模型，因此判定時間序列的平穩(wěn)性是應用方法的第一步。4、對時間序列非

13、平穩(wěn)性的消除。現實生活中，真正平穩(wěn)的時間序列是不多的，而非平穩(wěn)性的時間序列又不可以直接建立模型，為此需要對模型進行改進，在方法中，改進后的模型是可以適用于非平穩(wěn)時間序列的，但是卻要求該時間序列能夠通過處理達到平穩(wěn)化。這種處理就是對時間序列進行差分。差分可以實現時間序列非平穩(wěn)性的消除。非平穩(wěn)性能夠消除的時間序列稱為齊次非平穩(wěn)時間序列。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法對上述非平穩(wěn)的序列進行一階差分管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法由于自相關系數在=1后，基本都落入的隨機區(qū)間，所以，經過一階差分后，序列變換為平穩(wěn)序列。k管

14、理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法三、時間序列的季節(jié)性三、時間序列的季節(jié)性n季節(jié)性的涵義。時間序列的季節(jié)性是指在某一個固定時間間隔上（如根據季節(jié)間隔），重復出現的某種特性。n季節(jié)性的測定工具與原則。對于時間序列季節(jié)性的測定原則是，如果一個月度或季度的時間序列無明顯趨勢性，它的自相關系數在時滯=12,24,36,48時與0有顯著不同，則時間序列存在著季節(jié)性，相反，若與0無顯著不同，則說明時間序列不存在季節(jié)性。如果時間序列存在著明顯的趨勢變化，則先進行差分從原始序列中剔除長期趨勢后，再利用上述原則測定時間序列的季節(jié)性。n例如管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法33顯然，在=

15、1，12，24處自相關系數顯然都存在著不顯著為0，說明序列存在季節(jié)性。k管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法34管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法35管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法4.4模型及其改進n模型的一般形式n序列的自相關和偏自相關函數n（p，q）模型的改進在上一節(jié)，我們討論了時間序列的特性，在此基礎上，我們進一步探討博克斯詹尼斯法中，各種模型的特征，以便通過數據、模型特征兩方面的比較，進行模型的識別。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法一、模型的一般形式管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法38),(),(21,21,2

16、121ntttntttxxxFxxxFrnrrn管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法39管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法40管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法41管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法42teteqtqtteee2211=管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法43tptptttteYYYY2211ptptttYYY2211qtqtteee2211te+ptpttttYYYY2211qtqtteee2211te+管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法44管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法45管理

17、工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法二、ARMA序列的自相關和偏自相關函數qkqkrqqkqkkk0112222111管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法MA（1）序列自相關函數圖MA（2）序列自相關函數圖管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法48MA（q）序列偏自相關函數圖管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法49管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法（p）序列自相關函數圖管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法52（1）序列偏自相關函數圖（2）序列偏自相關函數圖（p）序列自相關函數的拖

18、尾性，以及偏自相關函數截尾性，在博克斯詹尼斯法中也非常的重要，可以用于模型的識別，以及利用樣本偏自相關函數的截尾性識別自回歸過程的階數。管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法53ARMA（1，1）序列自相關和偏相關函數圖管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法54管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法三、（p，q）模型的改進n（p,d,q）模型n（p,d,q）（，）模型管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法56管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法57管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法58管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策

19、方法59管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法60管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法61管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法62管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法4.5隨機時序模型的建立管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法一、模型識別一、模型識別管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法66管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法二、參數估計n參數的初步估計n初步估計就是要設法找到參數的初始估計值。一般是利用序列的樣本自相關函數對模型參數進行初步估計或確定初始值（這種方法

20、又簡稱為矩估計法）。n參數的精確估計管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法68tptptttteYYYY2211kttktptptkttkttkttYeYYYYYYYY2211兩邊取均值)()()()()(2211kttktptptkttkttkttYeEYYEYYEYYEYYEpkptkkk2211pkptkkkrrrr2211管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法69ptppppptpptrrrrrrrrr22112211211211這是著名的Yule-Walker方程，系數矩陣為自相關系數矩陣組成。于是有pppppprrrrrrrrr21121211121111管理工

21、程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法70管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法71管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法72管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法73管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法74管理工程學院管理預測與決策方法管理預測與決策方法75 （3）ARMA模型參數的初步估計模型參數的初步估計ARMR參數的初步估計要比前述兩種模型參數的初步估計更為復雜。為此，為了簡便起見，建立ARMR時，不再進行初步估計，而是直接選擇某一組初始值，直接進行精確估計。 2、模型參數的精確估計、模型參數的精確估計模型參數的精確估計是在初步估計的基礎上，依據一定的估計準則進行的參數估計。ARMA模型參數估計最常用的準則是最小二乘法準則和極大似然估計準則。其中，又以應用最小二乘法的準則居多。對于AR模型，應用最小二乘法準則進行參數的精確估計時，類似于多元線性回歸模型參數估計的最小二乘法，主要采用的是線性最小二乘法估計方法。對于MA模型以及ARMA模型，應用最小二乘法進行參數估計則有所不同，只能采用非線性最小二乘法估計，其計算步驟是，從被估計參數的一組初始值出發(fā)，使參數依某種規(guī)律沿著殘差平方和減少的方向變化，得到平方和較小的點，再以此為新的出發(fā)點進行下一步的迭代，這種迭代一直進行到滿足預先給定的精