常微分方程模型課件

1、第第7 7章章 微分方程模型微分方程模型7.1 傳染病模型傳染病模型7.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型7.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)7.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除7.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)模型模型 描述對(duì)象特征隨時(shí)間描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài)預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài) 研究控制對(duì)象特征的手段研究控制對(duì)象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)根據(jù)建模目的和

2、問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程7.1 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設(shè)假設(shè)ttititti)()()(若有效接觸的是病

3、人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtd

4、i 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時(shí)刻傳染病高潮到來時(shí)刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無(wú)免疫性傳染病無(wú)免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期

5、感染期 一個(gè)感染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長(zhǎng)按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)健康者人數(shù)不超過病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)

6、降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ss

7、x2xx 03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時(shí)當(dāng)BKK,1/000勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)增長(zhǎng)dZ/dt03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件dtdyyfdtdZ107.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因

8、增援而增加兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙方的增援率為甲乙雙方的增援率為u

9、(t), v(t)f, g 取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假設(shè)假設(shè)模型模型)()(tvybxytuxayx正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)xxprbbxg, 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=ry py, ry 射擊率，射擊率， py 命中率命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)

10、爭(zhēng)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論而在相平面上討論 x 與與 y 的關(guān)系的關(guān)系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時(shí)平方律平方律 模型模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝乙方勝游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxx

11、dxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率c = ry pyry射擊率射擊率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活動(dòng)面積甲方活動(dòng)面積sry 乙方射擊有效面積乙方射擊有效面積)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時(shí)000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線性律線性律 模型模型甲方勝 0m平局 0mcddxdy)(ty)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方

12、為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力設(shè)設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=0.1(km2), sry=1(m2)7.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除 藥物進(jìn)入機(jī)體形成藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度血藥濃度( (單位體積血液的藥物量單位體積血液的藥物量) ) 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計(jì)給藥方案設(shè)計(jì) 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程藥物

13、在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 藥物動(dòng)力學(xué)藥物動(dòng)力學(xué) 建立建立房室模型房室模型藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟 房室房室機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布分布( (血藥濃度為常數(shù)血藥濃度為常數(shù)) )，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論本節(jié)討論二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、腎等心、肺、腎等) )和和周邊室周邊室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 中心室中心室周邊室周邊室給藥給藥排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假

14、設(shè)模型假設(shè) 中心室中心室(1)和周邊室和周邊室(2), ,容積不變?nèi)莘e不變 藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比與該室血藥濃度成正比 藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移相互轉(zhuǎn)移, ,從中心室排出體外從中心室排出體外模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率0f2211122)(xkxktxtttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2

15、, 1),()(itcVtxiii線性常系數(shù)線性常系數(shù)非齊次方程非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解模型建立模型建立)()()()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf幾種常見的給藥方式幾種常見的給藥方式1. .快速靜脈注射快速靜脈注射t=0 瞬時(shí)注射劑量瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室的藥物進(jìn)入中心室, ,血血藥濃度立即為藥濃度立即為D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk給藥速率給藥速率 f0(t) 和

16、初始條件和初始條件12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速靜脈滴注恒速靜脈滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDt

17、x0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物相當(dāng)于藥物( 劑量劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)測(cè)得

18、測(cè)得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大設(shè)t ,由較大的由較大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由較小的由較小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除進(jìn)入中心室的藥物全部排除 過濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系過濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系 人體吸入的毒物量與哪些

19、因素有關(guān)，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型模型分析分析 分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過程，建立分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)想一個(gè)設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。問題問題7.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用模型模型假設(shè)假設(shè)定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1煙草長(zhǎng)，煙草長(zhǎng)， l2過濾嘴長(zhǎng)，過濾嘴長(zhǎng)， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，

20、密度w0=M/l12）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a, a +a=13）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的毒物的(單位時(shí)間單位時(shí)間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v uQ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量vxlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，點(diǎn)燃香煙，點(diǎn)燃香煙0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度1) 求求q(x,0)=q(x)lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwt