2022年初中圓題型總結(jié),推薦文檔2

1、圓的基本題型縱觀(guān)近幾年全國(guó)各地中考題， 圓的有關(guān)概念以及性質(zhì)等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10 分15 分左右，圓的有關(guān)性質(zhì)，如垂徑定理，圓周角，切線(xiàn)的判定與性質(zhì)等綜合性問(wèn)題的運(yùn)用一般以計(jì)算證明的形式考查；利用圓的知識(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)如代數(shù)函數(shù)，方程等相結(jié)合作為中考?jí)狠S題將會(huì)占有非常重要的地位， 另外與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，閱讀理解題， 探索存在性問(wèn)題仍是熱門(mén)考題，應(yīng)引起注意. 下面究近年來(lái)圓 的有關(guān)熱點(diǎn)題型，舉例解析如下。一、圓的性質(zhì)及重要定理的考查基礎(chǔ) 知識(shí)鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關(guān)系.(3) 圓周角定理及推論（4）圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)

2、【例 1】 （江蘇鎮(zhèn)江）如圖， ab 為o直徑， cd 為弦，且 cdab ，垂足為 h （1）ocd 的平分線(xiàn) ce交o于 e ，連結(jié) oe 求證： e 為弧 adb的中點(diǎn)；（2）如果 o的半徑為 1，3cd，求 o到弦 ac 的距離；填空：此時(shí)圓周上存在個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn) ac 的距離為12【解析】 （1）ocoeq，eoce又ocedce ，edce oecd又cdab ，90aoeboeoe 為弧 adb的中點(diǎn)（2）cdabq， ab為o的直徑，3cd，1322chcd又1oc，332sin12chcoboc60cobo，30baco作opac 于 p，則1122opoa3. a b d e

3、o c h 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數(shù)求解問(wèn)題的能力. 運(yùn)用垂徑定理時(shí)，需添加輔助線(xiàn)構(gòu)造與定理相關(guān)的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距, 本題的弦心距就是指線(xiàn)段od的長(zhǎng). 在圓中解有關(guān)弦心距半徑有關(guān)問(wèn)題時(shí), 常常添加的輔助線(xiàn)是連半徑或作出弦心距, 把垂徑定理和

4、勾股定理結(jié)合起來(lái)解題. 如圖, o的半徑為r, 弦心距為 d , 弦長(zhǎng) a之間的關(guān)系為2222ard. 根據(jù)此公式 , 在 a、r、d 三個(gè)量中 , 知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量 . 平時(shí)在解題過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這個(gè)基本圖形. 【例 2】 （安徽蕪湖）如圖，已知點(diǎn)e是圓 o上的點(diǎn)，b、c分別是劣弧 ad 的三等分點(diǎn)，46boco，則aed的度數(shù)為【解析】由 b、c分別是劣弧 ad 的三等分點(diǎn)知，圓心角 aob= boc= cod, 又46boco，所以aod=138 o. 根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半。從而有aed69o. 點(diǎn)評(píng)本題根據(jù)同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系?！緩?qiáng)化

5、練習(xí)】【1】. 如圖，o是 abc 的外接圓，60bac，ad ，ce分別是 bc ，ab上的高，且 ad ，ce交于點(diǎn) h，求證： ah=ao (1) 如圖，在 o中，弦 ac bd ， oe ab ，垂足為e，求證： oe=12cd(2) 如圖， ac ，bd是 o的兩條弦，且acbd ， o的半徑為12，求 ab2cd2的值。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 23 頁(yè) -

6、- - - - - - - -【2】 （第 25 題）如圖，o 是 abc 的外接圓， 弦 bd 交 ac 于點(diǎn) e，連接 cd，且 ae=de ，bc=ce （1）求 acb 的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn) o 作 ofac 于點(diǎn) f，延長(zhǎng) fo 交 be 于點(diǎn) g，de=3 ，eg=2，求 ab 的長(zhǎng)二、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有三種: 如果一條直線(xiàn)與一個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn), 那么就說(shuō)這條直線(xiàn)與這個(gè)圓相離. 如果一條直線(xiàn)與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn), 那么就說(shuō)這條直線(xiàn)與這個(gè)圓相切, 此時(shí)這條直線(xiàn)叫做圓的 切線(xiàn), 這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) . 如果一條直線(xiàn)與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn), 那么就說(shuō)這條

7、直線(xiàn)與這個(gè)圓相交, 此時(shí)這條直線(xiàn)叫做圓的 割線(xiàn), 這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn) . 2、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定；3、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；4. 和圓有關(guān)的比例線(xiàn)段（1）相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等；（2）推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)；（3）切割線(xiàn)定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)， 切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；（4）推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)， 這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。5. 三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓

8、、圓的外切多邊形；6、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -【例 1】（甘肅蘭州）如圖， 四邊形 abcd內(nèi)接于 o ， bd 是o的直徑，aecd ，垂足為 e ， da 平分bde （1）求證： ae 是o的切線(xiàn)；（2）若301cmdbcdeo，求 bd 的長(zhǎng)【解析】 （1）證明：連接 oa，daq平分bde ，b

9、daeda oaododaoadq，oadedaoaceaedeq，9090aedoaedeaoo，aeoaae 是o的切線(xiàn)（2）bdq是直徑，90bcdbado3060dbcbdcooq，120bdeodaq平分bde ，60bdaedao30abdeado在rtaed中，90302aedeadaddeoo，在 rtabd中，903024badabdbdaddeoo，deq的長(zhǎng)是 1cm ，bd 的長(zhǎng)是 4cm 【點(diǎn)評(píng)】證明圓的切線(xiàn)，過(guò)切點(diǎn)的這條半徑為必作輔助線(xiàn). 即經(jīng)過(guò)半徑的外端且d e c b o a d e c b o a 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

10、 - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -oedcbaofcba垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn). 【例 2】 （廣東茂名）如圖， o是abc 的外接圓，且 ab =ac ，點(diǎn) d在弧 bc上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) d作 de bc ，de交 ab的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) e，連結(jié) ad 、bd （1）求證： adb =e；（2）當(dāng)點(diǎn) d運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， de是o的切線(xiàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）當(dāng) ab =5，bc =6 時(shí)，求 o的半

11、徑 （4 分）【解析】 （1）在abc中， ab =ac ，abc =c de bc ， abc =e，e=c又 adb =c ，adb =e（2）當(dāng)點(diǎn) d是弧 bc的中點(diǎn)時(shí)， de是o的切線(xiàn)理由是：當(dāng)點(diǎn) d是弧 bc的中點(diǎn)時(shí)，則有 ad bc ，且 ad過(guò)圓心 o 又de bc ， ad ed de是o的切線(xiàn)（3）連結(jié) bo 、ao ，并延長(zhǎng) ao交 bc于點(diǎn) f，則 af bc ，且 bf=21bc =3又ab =5，af =4設(shè)o的半徑為r，在 rtobf中，of =4r，ob =r，bf =3，r232（4r）2解得r825， o的半徑是825【點(diǎn)評(píng)】本題綜合運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)，圓

12、的切線(xiàn)判定，解題最關(guān)鍵是抓住題中所給的已知條件，構(gòu)造直角三角形，探索出不同的結(jié)論. 【例 4】 已知：如圖 7，點(diǎn) p是半圓 o的直徑 ba延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)， pc切半圓于 c點(diǎn)，cd ab于 d點(diǎn)，若 pa ：pc 1：2，db 4，求 tan pca及 pc的長(zhǎng)。oedcba精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -圖 7 證明：連結(jié) cb p

13、c切半圓 o于 c點(diǎn)， pca b pp， pac pcb ac ：bc pa ：pc ab是半圓 o的直徑， acb 90又cd ab ab ad db 5 【例 5】 已知：如圖 8，在 rtabc 中，b90，a的平分線(xiàn)交 bc于點(diǎn) d，e為 ab上的一點(diǎn)， de dc ，以 d為圓心， db長(zhǎng)為半徑作 d 。求證：（ 1）ac是d的切線(xiàn)；（2）ab eb ac 分析：（1）欲證 ac與 d相切，只要證圓心 d到 ac的距離等于 d的半徑 bd 。因此要作 df ac于 f （2） 只要證 ac af fc ab eb ， 證明的關(guān)鍵是證be fc ， 這又轉(zhuǎn)化為證 ebdcfd 。證明

14、：（ 1）如圖 8，過(guò) d作 df ac ，f為垂足ad是bac的平分線(xiàn)， db ab ，db df 點(diǎn) d到 ac的距離等于圓 d的半徑ac是d的切線(xiàn)（2）ab bd ，d的半徑等于 bd ，ab是d的切線(xiàn)， ab af 在 rtbed和 rtfcd中，ed cd ，bd fd bed fcd ，be fc ab be af fc ac 小結(jié)：有關(guān)切線(xiàn)的判定，主要有兩個(gè)類(lèi)型，若要判定的直線(xiàn)與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線(xiàn)與已知圓的公共點(diǎn)沒(méi)有給出，可采用“過(guò)圓心作垂線(xiàn)，證垂線(xiàn)段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類(lèi)【例 6】 已知：如圖 9，ab為o的弦， p為 ba

15、延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)， pe與o相切于點(diǎn) e，c為中點(diǎn)，連 ce交 ab于點(diǎn) f。求證：分析：由已知可得pe2pa pb ，因此要證 pf2pa pb ，只要證 pe pf 。即證 pfe pef 。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -證明一：如圖 9，作直徑 cd ，交 ab于點(diǎn) g ，連結(jié) ed ，ced 90點(diǎn) c為的中點(diǎn)， cd ab ，

16、 cfg d pe為o切線(xiàn)， e為切點(diǎn)pef d ， pef cfg cfg pfe ， pfe pef ，pe pf pe2pa pb ，pf2pa pb 證明二：如圖 91，連結(jié) ac 、ae 圖 91 點(diǎn) c是的中點(diǎn)， cab aec pe切o于點(diǎn) e， pea c pfe cab c，pef pea aec pfe pef ，pe pf pe2pa pb ，pf2pa pb 【例 7】 （1）如圖 10，已知直線(xiàn) ab過(guò)圓心 o ，交 o于 a、b，直線(xiàn) af交o于 f（不與 b重合），直線(xiàn) l 交o于 c、d，交 ba延長(zhǎng)線(xiàn)于 e，且與 af垂直，垂足為 g ，連結(jié) ac 、ad 圖

17、 10 圖 101 求證： bad cag ；ac ad ae af （2）在問(wèn)題（ 1）中，當(dāng)直線(xiàn) l 向上平行移動(dòng)，與 o相切時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)你在圖 101 中畫(huà)出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D10 標(biāo)記字母；問(wèn)題（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。證明：（ 1）連結(jié) bd ab是o的直徑， adb 90agc adb 90又acdb 是o內(nèi)接四邊形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

18、- - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -acg b， bad cag 連結(jié) cf bad cag ，eag fab dae fac 又adc f， ade afc ，ac ad ae af （2）見(jiàn)圖 101 兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下：連結(jié) bc ，ab是直徑， acb 90acb agc 90gc 切o于 c ， gca abc bac cag （即 bad cag ）連結(jié) cf cag bac ，gcf gac ，gcf cae ，acf acg gfc ，eacg cae acf e， acf aec ，ac2ae af（即 ac ad a

19、e af ）說(shuō)明：本題通過(guò)變化圖形的位置， 考查了學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖的能力，并通過(guò)探究式的提問(wèn)加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注?！緩?qiáng)化練習(xí)】【1】 （第 22 題）如圖， o 的直徑 ab 為 10cm，弦 bc 為 5cm，d、e 分別是 acb 的平分線(xiàn)與 o，ab 的交點(diǎn)， p 為 ab 延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且pc=pe（1）求 ac、ad 的長(zhǎng)； （2）試判斷直線(xiàn)pc 與 o 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由【2】（第 23 題）如圖，在abc 中， c=90 ， abc 的平分線(xiàn)交ac 于點(diǎn) e，過(guò)點(diǎn) e 作be 的垂線(xiàn)交ab 于點(diǎn) f， o 是 bef 的外接圓（1）求證

20、： ac 是 o 的切線(xiàn)（2）過(guò)點(diǎn) e 作 ehab 于點(diǎn) h，求證： cd=hf精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -【3】 （第 25 題）如圖，在 o 中， ab，cd 是直徑， be 是切線(xiàn)， b 為切點(diǎn)，連接ad ，bc，bd（1）求證： abd cdb ；（2）若 dbe=37 ，求 adc 的度數(shù)【4】 （第 24 題）如圖，

21、 ab 為 o 的直徑， pd 切 o 于點(diǎn) c，交 ab 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)d，且d=2 cad （1）求 d 的度數(shù)；（2）若 cd=2，求 bd 的長(zhǎng)【5】 （第 27 題）如圖， rt abc 中， abc=90 ，以 ab 為直徑作半圓o 交 ac 與點(diǎn) d，點(diǎn) e 為 bc 的中點(diǎn)，連接de（1）求證： de 是半圓 o 的切線(xiàn)（2）若 bac=30 ，de=2，求 ad 的長(zhǎng)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

22、 - - - - - 第 9 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -三、圓與圓的位置關(guān)系的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn) , 那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離 , 如圖(1) 、 (2) 、(3) 所示其中 (1) 又叫做外離 ,(2) 、(3) 又叫做內(nèi)含 (3) 中兩圓的圓心相同 , 這兩個(gè)圓還可以叫做同心圓如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn), 那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切 , 如圖(4) 、 (5) 所示 其中(4)又叫做外切 ,(5) 又叫做內(nèi)切如果兩個(gè)圓只有兩個(gè)公共點(diǎn), 那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交, 如圖(6) 所示【例 1】（甘肅蘭州）如圖是北京奧運(yùn)會(huì)自行車(chē)比賽項(xiàng)目標(biāo)志，則圖中兩輪所在圓的位置關(guān)

23、系是（）a內(nèi)含b相交c相切d外離【解析】圖中的兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的所有點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，故兩圓外離，選 d. 【點(diǎn)評(píng)】圓與圓的位置關(guān)系有五種: 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含其關(guān)系可以用圓與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判定, 也可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示圓與圓的位置關(guān)系：如果設(shè)兩圓的半徑為1r、2r, 兩圓的圓心距為d, 則圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系如下表【例 2】 （赤峰市）如圖（ 1） ，兩半徑為r的等圓 o1和o2相交于 mn，兩點(diǎn)，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - -

24、 -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -且o2過(guò)點(diǎn)1o過(guò) m 點(diǎn)作直線(xiàn) ab垂直于 mn ，分別交 o1和o2于 ab，兩點(diǎn)，連結(jié) nanb，（1）猜想點(diǎn)2o與o1有什么位 置關(guān)系，并給出證明；（2）猜想nab的形狀，并給出證明；（3）如圖（2） ，若過(guò) m 的點(diǎn)所在的直線(xiàn) ab 不垂直于 mn ，且點(diǎn) ab，在點(diǎn)m 的兩側(cè)，那么（ 2）中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)給出證明【解析】解：（1）2o在1oe上證明： o2過(guò)點(diǎn)1o，12o or又o1的半徑也是r，點(diǎn)2o在o1上（2）nab

25、是等邊三角形證明：mnabq，90nmbnmaobn 是o2的直徑， an 是o1的直徑，即2bnanr ，2o在 bn 上，1o在 an 上連結(jié)12o o，則12o o是nab的中位線(xiàn)1222abo orabbnan ，則nab是等邊三角形（3）仍然成立證明：由（ 2）得在 o1中弧 mn 所對(duì)的 圓周角為60o在o2中弧 mn 所對(duì)的圓周角為60o當(dāng)點(diǎn) ab，在點(diǎn) m 的兩側(cè)時(shí)，在 o1中弧 mn 所對(duì)的圓周角60mano，在 o2中弧 mn所對(duì)的圓周角o2 o1 nmba圖（ 1）o2 o1 nmba圖（ 2）o2 o1 nmba圖（ 1）o2 o1 nmba圖（ 2）精品學(xué)習(xí)資料 可選

26、擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -60mbno，nab是等邊三角形注： （2） ， （3）是中學(xué)生猜想為等腰三角形證明正確給一半分【點(diǎn)評(píng)】相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦，又且o2過(guò)點(diǎn)1o，構(gòu)建對(duì)稱(chēng)性知，o1過(guò) o2，再證 nab 是等腰 三角形；（2）1 是的基礎(chǔ)上發(fā)散探究，具有一定的開(kāi)放性四、圓與多邊形的計(jì)算考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、圓與正多邊形的關(guān)系

27、的計(jì)算；2、弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計(jì)算. 【例 1】 （贛州）小芳隨機(jī)地向如圖所示的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是【解析】設(shè)圓的半徑為1，則圓的面積為，易算得正方形的邊長(zhǎng)為2，正方形面積為 2，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何概率， 解題的關(guān)鍵是圓與圓內(nèi)接正方形的面積，根據(jù)古典概型，可轉(zhuǎn)化為面積之比. 【例 2】?jī)赏膱A，大圓半徑為，小圓半徑為，則陰影部分面積為【解析】根據(jù)大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8，圖中的陰影面積為圓環(huán)面積的一半 4. 【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)面積計(jì)算問(wèn)題， 不難發(fā)現(xiàn)， 一些不規(guī)則的

28、圖形可轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形計(jì)算，本題就較好的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化方法和整體思想. 五、圓的綜合性問(wèn)題的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：圓的有關(guān)知識(shí)與三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等綜合應(yīng)用。【例 1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓m經(jīng)過(guò)原點(diǎn) o ，且與x軸、 y 軸分別相精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -交于8 006ab， 、，兩點(diǎn)（1）求出直線(xiàn) ab的函數(shù)解析

29、式；（2）若有一拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行于y 軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn) m ，頂點(diǎn) c在m上，開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) b，求此拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；（3）設(shè)（ 2）中的拋物線(xiàn)交x軸于 d、e 兩點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)p，使得abcpdess101？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 （1）設(shè) ab的函數(shù)表達(dá)式為.bkxy,6,0,0 ,8ba.6,80bbk. 6,43bk直線(xiàn) ab的函數(shù)表達(dá)式為364yx（2） 設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與m相交于一點(diǎn)，依題意知這一點(diǎn)就是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)c。又 設(shè) 對(duì) 稱(chēng) 軸 與x軸 相 交 于 點(diǎn)n ， 在 直 角 三 角 形aob 中 ，.10682222obaoab因?yàn)?/p>

30、m 經(jīng)過(guò) o 、a、b三點(diǎn)，且為abaob,90m 的直徑，半徑ma=5 ，n為 ao的中點(diǎn) an=no=4，mn=3 cn=mc-mn=5-3=2 ，c 點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4 ，2） 設(shè)所求的拋物線(xiàn)為cbxaxy2則.6, 4,21.6,4162, 42cbaccbaab所求拋物線(xiàn)為21462yxx（3）令，0.64212xx得 d、e 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 d （-6，0） 、e（-2，0） ，所以de=4 又 ac=,54,52bc直角三角形的面積.20545221?abcs假設(shè)拋物線(xiàn)上存在1,2010121101,?yydessyxpabcpde，即使得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

31、- - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -當(dāng).641;241xyxy時(shí)，當(dāng)時(shí)，故滿(mǎn)足條件的存在它們是123442,1 ,42,1 ,46, 1 ,46,1pppp【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)與圓的綜合性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)數(shù)的方法求出解析式；【例 2】 （第 27題）如圖，在o的內(nèi)接 abc中，acb=90 ， ac=2bc ，過(guò) c作 ab的垂線(xiàn)

32、 l 交o 于另一點(diǎn) d，垂足為 e設(shè) p是上異于 a，c的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線(xiàn) ap交 l 于點(diǎn) f，連接 pc與 pd ，pd交 ab于點(diǎn) g （1）求證： pac pdf ；（2）若 ab=5 ，=，求 pd的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn) p運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)=x，tanafd=y ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出 x 的取值范圍）圓的綜合題（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例因?yàn)轭}中因圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角dpf ，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對(duì)等角等知識(shí)易得 dpf= apc ，則結(jié)論易證（2）求 pd

33、的長(zhǎng)，且此線(xiàn)段在上問(wèn)已證相似的pdf中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則pd可求（3）因?yàn)轭}目涉及 afd與也在第一問(wèn)所得相似的pdf中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)化，afd= pca ，連接 pb得afd= pca= pbg ，過(guò) g點(diǎn)作 ab的垂線(xiàn)，若此線(xiàn)過(guò) pb與 ac的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形 abc相似可用 ag表示pbg 所對(duì)的這條高線(xiàn)但是“此線(xiàn)是否過(guò)pb與 ac的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫(huà)幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)p， 觀(guān)察我們的猜想驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的， 可是證明不能靠畫(huà)圖， 如何求證此線(xiàn)過(guò)pb與ac的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵常規(guī)作法不

34、易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線(xiàn)作法，先做垂線(xiàn)，得交點(diǎn)h，然后連接交點(diǎn)與b，再證明hbg= pca= afd 因?yàn)?c 、d關(guān)于 ab對(duì)稱(chēng)，可以延長(zhǎng)cg 考慮 p點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)根據(jù)等弧對(duì)等角，可得hbg= pca ，進(jìn)而得解題思路（1）證明：，dpf=180 apd=180 所對(duì)的圓周角 =180所對(duì)的圓周角=所對(duì)的圓周角 =apc 在pac和pdf中，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14

35、 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -pac pdf （2）解：如圖 1，連接 po ，則由，有 po ab ，且pab=45 ，apo 、aef都為等腰直角三角形在 rtabc中，ac=2bc ，ab2=bc2+ac2=5bc2，ab=5 ，bc=，ac=2，ce=ac?sin bac=ac? =2?=2，ae=ac?cos bac=ac? =2?=4，aef為等腰直角三角形，ef=ae=4 ，fd=fc+cd=（ef ce ）+2ce=ef+ce=4+2=6apo 為等腰直角三角形， ao=?ab= ，ap=pdf pac ，pd=（3）解：如圖 2，過(guò)點(diǎn) g作 gh ab

36、 ，交 ac于 h ，連接 hb ，以 hb為直徑作圓，連接 cg并延長(zhǎng)交o 于 q ，hc cb ，gh gb ，c 、g都在以 hb為直徑的圓上，hbg= acq ，c 、d關(guān)于 ab對(duì)稱(chēng)， g在 ab上，q 、p關(guān)于 ab對(duì)稱(chēng)，pca= acq ，hbg= pca pac pdf ，pca= pfd= afd ，y=tanafd=tan pca=tan hbg= 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

37、 - - 第 15 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -hg=tan hag?ag=tanbac?ag=，y=x本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問(wèn)思路還算簡(jiǎn)單，但最后一問(wèn)需要熟練的解題技巧需要長(zhǎng)久的磨練總結(jié)總體來(lái)講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過(guò)程，自己如何找到思路【例 3】 （第 24題）如圖，已知：在矩形abcd 的邊 ad上有一點(diǎn) o ，oa=，以 o為圓心， oa長(zhǎng)為半徑作圓，交 ad于 m ， 恰好與 bd相切于 h， 過(guò) h作弦 hp ab ，弦 hp=3 若點(diǎn) e是 cd邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)e與 c，d不重合） ，過(guò) e作直線(xiàn) ef bd交

38、 bc于 f，再把 cef 沿著動(dòng)直線(xiàn) ef對(duì)折，點(diǎn) c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 g 設(shè) ce=x ，efg與矩形 abcd 重疊部分的面積為 s（1）求證：四邊形 abhp 是菱形；（2）問(wèn)efg的直角頂點(diǎn) g能落在o 上嗎？若能，求出此時(shí)x 的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求 s與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出fg與o 相切時(shí)， s的值第 3 題圖考點(diǎn)： 圓的綜合題；含 30 度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；垂徑定理；切線(xiàn)的性質(zhì)；切線(xiàn)長(zhǎng)定理；軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值所有專(zhuān)題： 壓軸題分析： （1）連接 oh ，可以求出 hod=60 ，hdo=30 ，從而可以求出 ab=3 ，由

39、hp ab ，hp=3可證到四邊形 abhp 是平行四邊形，再根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得ba=bh ，即可證到四邊形 abhp 是菱形（2）當(dāng)點(diǎn) g落到 ad上時(shí)，可以證到點(diǎn)g與點(diǎn) m重合，可求出 x=2（3）當(dāng) 0 x2 時(shí)，如圖， s=segf，只需求出 fg ，就可得到 s與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) 2x3 時(shí)，如圖， s=sgefssgr，只需求出 sg 、rg ，就可得到s與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)fg與o 相切時(shí)，如圖，易得fk=ab=3 ，kq=aqak=2 2+x再由 fk=kq即可求出 x，從而求出 s解答： 解： （1）證明：連接 oh ，如圖所示四邊形 abcd 是矩形，adc

40、= bad=90 ， bc=ad ，ab=cd hp ab ，anh+ bad=180 anh=90 hn=pn=hp=精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -oh=oa= ，sin hon= =hon=60 bd與o 相切于點(diǎn) h，oh bd hdo=30 od=2ad=3bc=3bad=90 ，bda=30 tanbda=ab=3 h

41、p=3 ，ab=hp ab hp ，四邊形 abhp 是平行四邊形bad=90 ， am 是o 的直徑，ba與o 相切于點(diǎn) abd與o 相切于點(diǎn) h，ba=bh 平行四邊形 abhp 是菱形（2）efg的直角頂點(diǎn) g能落在o 上如圖所示，點(diǎn) g落到 ad上ef bd ，fec= cdb cdb=90 30=60，cef=60 由折疊可得： gef= cef=60 ged=60 ce=x ，ge=ce=x ed=dc ce=3 xcosged= =x=2ge=2 ，ed=1 gd=og=adao gd=3=og=om點(diǎn) g與點(diǎn) m重合此時(shí)efg的直角頂點(diǎn) g落在o 上，對(duì)應(yīng)的 x 的值為 2當(dāng)

42、efg的直角頂點(diǎn) g落在o 上時(shí)，對(duì)應(yīng)的 x 的值為 2（3）如圖，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -在 rtegf中，tanfeg=fg=xs=ge?fg=x? x=x2如圖，ed=3 x，re=2ed=6 2x，gr=geer=x （62x）=3x6tansrg= =，sg=（x2） ssgr=sg?rg=? （x2）?（3x6

43、） =（x2）2sgef=x2，s=sgefssgr=x2（x2）2=x2+6x6綜上所述：當(dāng) 0 x2 時(shí)，s=x2；當(dāng) 2x3 時(shí)，s=x2+6x6當(dāng) fg與o 相切于點(diǎn) t時(shí)，延長(zhǎng) fg交 ad于點(diǎn) q ，過(guò)點(diǎn) f 作 fk ad ，垂足為 k，如圖所示四邊形 abcd 是矩形，bc ad ，abc= bad=90 aqf= cfg=60 ot=，oq=2 aq=+2fka= abc= bad=90 ，四邊形 abfk是矩形fk=ab=3 ，ak=bf=3 xkq=aqak= （+2）（ 3x）=22+x在 rtfkq中，tanfqk=fk=qk 3=（22+x） 解得： x=3032，

44、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -s=x2=（3）2=6fg與o 相切時(shí)， s的值為6點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、垂徑定理、軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)【例 4】 （第 23 題）如圖 1，在o 中，e是弧 ab的中點(diǎn)，

45、c為o 上的一動(dòng)點(diǎn) （c與 e在 ab異側(cè)） ，連接 ec交 ab于點(diǎn) f，eb=（r 是o 的半徑） （1）d為 ab延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，若dc=df ，證明：直線(xiàn) dc與o 相切；（2）求 ef?ec 的值；（3）如圖 2，當(dāng) f是 ab的四等分點(diǎn)時(shí)，求ec的值圓的綜合題 . （1）連結(jié) oc 、oe ，oe交 ab于 h，如圖 1，由 e是弧 ab的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得到 oe ab ， 則hef+ hfe=90 ， 由對(duì)頂相等得 hfe= cfd ，則hef+ cfd=90 ，再由 dc=df 得cfd= dcf ，加上 oce= oec ，所以oce+ dce= hef+ cfd=9

46、0 ，于是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得直線(xiàn)dc與o 相切；（2） 由弧 ae= 弧 be ， 根據(jù)圓周角定理得到 abe= bce ，加上feb= bec ，于是可判斷 ebf ecb ，利用相似比得到ef?ec=be2=（r ）2=r2；（3）如圖 2，連結(jié) oa ，由弧 ae= 弧 be得 ae=be=r ，設(shè) oh=x ，則 he=rx，根據(jù)勾股定理，在rtoah 中有 ah2+x2=r2；在 rteah中由 ah2+（r x）2=（r）2，利用等式的性質(zhì)得x2（r x）2=r2（r）2，即得 x=r，則 he=rr=r ， 在 rtoah 中， 根據(jù)勾股定理計(jì)算出ah=， 由 oe ab得 a

47、h=bh ，而 f 是 ab的四等分點(diǎn)，所以hf=ah=，于是在 rtefh中可計(jì)算出ef=r，然后利用（ 2）中的結(jié)論可計(jì)算出ec （1）證明：連結(jié) oc 、oe ，oe交 ab于 h，如圖 1，e 是弧 ab的中點(diǎn)，oe ab ，ehf=90 ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -hef+ hfe=90 ，而hfe= cfd ，h

48、ef+ cfd=90 ，dc=df ，cfd= dcf ，而 oc=oe，oce= oec ，oce+ dce= hef+ cfd=90 ，oc cd，直線(xiàn) dc與o 相切；（2）解：連結(jié) bc ，e 是弧 ab的中點(diǎn)，弧 ae= 弧 be ，abe= bce ，而feb= bec ，ebf ecb ，ef ：be=be ：ec ，ef?ec=be2=（r ）2=r2；（3）解：如圖 2，連結(jié) oa ，弧 ae= 弧 be ，ae=be=r ，設(shè) oh=x ，則 he=rx，在 rtoah 中，ah2+oh2=oa2，即 ah2+x2=r2，在 rteah中，ah2+eh2=ea2，即 ah2

49、+（r x）2=（r）2，x2（r x）2=r2（r）2，即得 x=r，he=rr=r ，在 rtoah 中，ah=，oe ab ，ah=bh ，而 f 是 ab的四等分點(diǎn)，hf=ah=，在 rtefh中，ef=r ，ef?ec=r2，r?ec=r2，ec=r 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 23 頁(yè) - - - - - - - - -本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線(xiàn)的判定定理和圓周角定理；會(huì)利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算，利用相似三角形的知識(shí)解決有關(guān)線(xiàn)段等積的問(wèn)題【例 5】 （第 26 題 12 分）如圖， o1與o2外切與點(diǎn) d，直線(xiàn) l 與兩圓分別相切于點(diǎn) a、b，與直線(xiàn) o1o2 相交于點(diǎn) m ，且 tan am01=，md=4（1）求 o2的半徑；（2）求 adb 內(nèi)切圓的面積；（3） 在直線(xiàn) l 上是否存在點(diǎn) p， 使mo2p 相似于 m