復(fù)變函數(shù)與積分變換21

1、第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)1、復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性、復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性2、解析函數(shù)的概念、解析函數(shù)的概念3、函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件、函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件4、初等函數(shù)、初等函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的概念一、定義一、定義 定義定義2.1 設(shè)設(shè)e是一個復(fù)數(shù)是一個復(fù)數(shù)z=x+iy的集合的集合, 如如果有一個確定的法則存在果有一個確定的法則存在, 按照這一法則按照這一法則, 對于集合對于集合e中的每一個復(fù)數(shù)中的每一個復(fù)數(shù)z, 就有一個或就有一個或幾個復(fù)數(shù)幾個復(fù)數(shù)w=u+iv與之對應(yīng)與之對應(yīng), 則稱復(fù)變數(shù)則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)的函數(shù)(簡稱簡稱復(fù)變函數(shù)復(fù)變函

2、數(shù))。 記作記作 w=f(z) 如果如果z的一個值對應(yīng)著的一個值對應(yīng)著w的一個值的一個值, 則則函數(shù)函數(shù)f(z)是單值的是單值的; 否則就是多值的否則就是多值的. 集合集合e稱為稱為f(z)的的定義集合定義集合, 對應(yīng)于對應(yīng)于e中所有中所有z對對應(yīng)的一切應(yīng)的一切w值所成的集合值所成的集合g或或f(e), 稱為稱為函函數(shù)值集合數(shù)值集合.設(shè)設(shè) z = x+iy, w = u+iv ,wf zf xiyu x yiv x y其確定了自變量為其確定了自變量為x和和y的兩個二元實(shí)變函數(shù)的兩個二元實(shí)變函數(shù) u ,v .例如例如, 考察函數(shù)考察函數(shù) w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv

3、, 則則u+iv = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy ,因而函數(shù)因而函數(shù) w = z2 對應(yīng)于兩個二元函數(shù)對應(yīng)于兩個二元函數(shù):u = x2- -y2, v = 2xy 在以后的討論中在以后的討論中, e常常是一個平面區(qū)域常常是一個平面區(qū)域, 并且并且, 如無如無特別聲明特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).二、二、 映射的概念映射的概念 函數(shù)函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把在幾何上可以看做是把 z平面上的一個點(diǎn)平面上的一個點(diǎn)集集e(定義集合定義集合)變到變到 w平面上的一個點(diǎn)集平面上的一個點(diǎn)集g (函數(shù)值集合函數(shù)值集合)的的映射映射(或或變換變換

4、). 如果如果 e 中的點(diǎn)中的點(diǎn) z 被映射被映射 w=f (z) 映射成映射成 g中的點(diǎn)中的點(diǎn) w, 則則 w 稱為稱為 z 的的象象(映象映象), 而而 z 稱為稱為 w 的的原象原象.xuegzzww=f(z)vyw設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w = z =x iy ; u=x , v=-yxyouvoabcz1z2abcw1w2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy , 有有 u = x2- -y2, v = 2xyxyouvoz1z2w2z3w3w1123121ziziz -1231341wwiw - - 假定函數(shù)假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為的定義集合為z平

5、面上的平面上的集合集合e, 函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為w平面上的集合平面上的集合g, 則則g中的每個點(diǎn)中的每個點(diǎn)w必將對應(yīng)著必將對應(yīng)著e中的一個中的一個(或幾個或幾個)點(diǎn)點(diǎn). 按照函數(shù)的定義按照函數(shù)的定義, 在在g上就確上就確定了一個單值定了一個單值(或多值或多值)函數(shù)函數(shù)z=j j(w), 它稱它稱為函數(shù)為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù)的反函數(shù), 也稱為映射也稱為映射w=f(z)的逆映射的逆映射. 函數(shù)函數(shù)(映射映射)w=f(z)與它的反函數(shù)與它的反函數(shù)(逆映逆映射射)z=j j(w)都是單值的都是單值的, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(映映射射)w=f(z)是一一的是一一的. 此時(shí)此時(shí), 我們也稱集合我們也稱

6、集合e與集合與集合g是一一對應(yīng)的是一一對應(yīng)的.2. 復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義函數(shù)的極限定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) w = f (z)定義在定義在 z0的去心鄰域的去心鄰域 0|z- -z0|0, 相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)d d (e e) (0 d d r), 使得當(dāng)使得當(dāng) 0 |z- -z0|d d 時(shí)時(shí)有有| f (z)- -a |0, 相應(yīng)地相應(yīng)地有一個有一個d d0, 使得當(dāng)使得當(dāng)0| z|d d時(shí)時(shí), 有有0)(lim),()()()()()()(0000000-zzfzzfzzfzzfzzfzzfze則令連續(xù)在即所以0000)(),()(limzzfzfzzfz

7、由此得f(z0+z)-f(z0)=f (z0)z+(z)z可導(dǎo)可導(dǎo) 連續(xù)。連續(xù)。例例3 討論討論2)(zzfw的可導(dǎo)性。的可導(dǎo)性。-zzfzzfzw)()(解：解：zzzz-22zzzzzzz-)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw-所以2)(zzfw在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)解析函數(shù)在一點(diǎn)解析在該點(diǎn)可導(dǎo)。在該點(diǎn)可導(dǎo)。 反之不一定成立。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：在區(qū)域內(nèi)：解析可導(dǎo).例如例如 f (z) = z2 在整個復(fù)平面上解析；在整個復(fù)平面上解析；2)(zzfw

8、僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個復(fù)平面上不解析；僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個復(fù)平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個復(fù)平面上不解析。在整個復(fù)平面上不解析。定義定義2.52.5解析：在0)(zzf0( )f zz在 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo).稱為解析點(diǎn)，0z否則稱為奇點(diǎn)否則稱為奇點(diǎn) 。內(nèi)解析：在區(qū)域dzf)( )f zd在 內(nèi)處處解析.例例 討論函數(shù)討論函數(shù) f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：210 ,dwzdzz -故 f (z)=1/z 除 z = 0外處處解析；z = 0 是它的一個奇點(diǎn)。是它的一個奇點(diǎn)。解析函數(shù)的性質(zhì)：解析函數(shù)的性質(zhì)：(1) 兩個解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；兩個解析函數(shù)

9、的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2) 兩個解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；兩個解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3) 一個解析函數(shù)不可能僅在一個點(diǎn)或一條曲線上解析；一個解析函數(shù)不可能僅在一個點(diǎn)或一條曲線上解析； 所所 有解析點(diǎn)的集合必為開集。有解析點(diǎn)的集合必為開集。 定理定理2.6 1)在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)解析的兩個函數(shù)內(nèi)解析的兩個函數(shù)f(z)與與g(z)的和的和,差差,積積,商商(除去分母為零的點(diǎn)除去分母為零的點(diǎn))在在d內(nèi)解析內(nèi)解析. 2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)h=g(z)在在z平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域d內(nèi)解析內(nèi)解析, 函數(shù)函數(shù)w=f(h)在在h平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域g內(nèi)解析內(nèi)解析. 如果對如果對d內(nèi)的

10、內(nèi)的每一個點(diǎn)每一個點(diǎn)z, 函數(shù)函數(shù)g(z)的對應(yīng)值的對應(yīng)值h都屬于都屬于g, 則復(fù)合則復(fù)合函數(shù)函數(shù)w=fg(z)在在d內(nèi)解析內(nèi)解析. 所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的, 任何一個任何一個有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)p(z)/q(z)在不含分母為零的點(diǎn)的區(qū)在不含分母為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)域內(nèi)是解析函數(shù), 使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn)使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn).問題問題：對函數(shù)對函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判別其解析（可導(dǎo)）性？如何判別其解析（可導(dǎo)）性？換句話說：換句話說：( ),f zu v的解析 可導(dǎo) 與的偏導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系？例: 設(shè)

11、二元函數(shù)f(x,y)=x2sin2y, 則22 sin22cos2fxyxfxyyiv)微分的概念微分的概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f(z)在在z0可導(dǎo)可導(dǎo), 則有則有 w=f(z0+ z)- -f(z0)=f (z0) z+ ( z) z, 0)(lim0zz其中 因此因此, | ( z) z|是是| z|的高階無窮小量的高階無窮小量, 而而f (z0) z是函數(shù)是函數(shù)w=f(z)的改變量的改變量 w的線性部的線性部分分, 稱為函數(shù)稱為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0的微分的微分, 記作記作 dw=f (z0) z (*) 如果函數(shù)在如果函數(shù)在z0的微分存在的微分存在, 則稱則稱函數(shù)函數(shù)f(z)在在z

12、0可微可微. dw=f (z0) z(*) 特別特別, 當(dāng)當(dāng)f(z)=z時(shí)時(shí), 由由(*)得得dz= z. 于是于是 dw=f (z)dz,即即|0dd)(zzzwzf 由此可見由此可見, 函數(shù)函數(shù)w=f(z)在在z0可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在z0可微是可微是等價(jià)的等價(jià)的. 如果如果f(z)在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微, 則稱則稱f(z)在在d內(nèi)內(nèi)可微可微.2.3 函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件 在工程中在工程中, 往往是要用復(fù)變函數(shù)來解決實(shí)際問題往往是要用復(fù)變函數(shù)來解決實(shí)際問題. 而而實(shí)際問題中遇到的復(fù)變函數(shù)實(shí)際問題中遇到的復(fù)變函數(shù), 通常都是某個實(shí)變函數(shù)延通常都是某個實(shí)變函數(shù)

13、延拓而來的拓而來的. 即即, 如果原來有一個實(shí)變函數(shù)如果原來有一個實(shí)變函數(shù)f(x), 自變量是自變量是實(shí)數(shù)實(shí)數(shù), 函數(shù)值也是實(shí)數(shù)函數(shù)值也是實(shí)數(shù), 則將則將x用一個復(fù)數(shù)代替用一個復(fù)數(shù)代替, 就產(chǎn)生就產(chǎn)生了一個自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)的復(fù)變函數(shù)了一個自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)的復(fù)變函數(shù). 事實(shí)上我們只關(guān)心這樣的復(fù)變函數(shù)事實(shí)上我們只關(guān)心這樣的復(fù)變函數(shù). 比如說：比如說：實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)f(x)=x2-x+1, 則相應(yīng)的延拓的復(fù)變函數(shù)就是則相應(yīng)的延拓的復(fù)變函數(shù)就是f(z)=z2-z+1. 經(jīng)常就是實(shí)變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成經(jīng)常就是實(shí)變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成的初等函數(shù)延拓到復(fù)變函數(shù)的初等函數(shù)延

14、拓到復(fù)變函數(shù). 假設(shè)假設(shè)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數(shù)是解析函數(shù), 我們也我們也可以將它看作是變量可以將它看作是變量x,y的二元函數(shù)的二元函數(shù), 則對則對x求偏導(dǎo)和對求偏導(dǎo)和對y求偏導(dǎo)求偏導(dǎo), 得兩個公式得兩個公式y(tǒng)yxxivuyyxviyyxuiyxf iivuxyxvixyxuiyxf),(),()(),(),()(yyiuviyxf-)(即yyxuxyxvyyxvxyxuuvvuyxyx-),(),(,),(),(及由此得,uvvuxyxy -稱cauchy-riemann為方程( )( , )( , )wf zu x yiv x yd即在 內(nèi)一點(diǎn) x,

15、y 解析u(x,y) 與與 v(x,y) 在該點(diǎn)可微在該點(diǎn)可微, 并且滿足并且滿足柯西柯西-黎曼黎曼(cauchy-riemann)方程。方程。定理定理3.8 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義域在其定義域d內(nèi)解析內(nèi)解析的充要條件是：的充要條件是： （1）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在d內(nèi)可微內(nèi)可微, （2）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在d內(nèi)內(nèi)滿足滿足cauchy-riemann方程方程.定理定理3.7 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域定義在區(qū)域d內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)z =x+iy 可導(dǎo)的充分必要條件是可導(dǎo)的充分必要條件是:

16、（1） u(x,y)與與v(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)可微可微, （2）u(x,y)與與v(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y) 滿足滿足cauchy-riemann方程方程 。推論推論 ：,( , )u vx ycr-若在處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿足方程,( )f zuivzxiy則在處可導(dǎo).例題例題1 ,u v解析 可導(dǎo)可微且滿足c-r方程 222f zxyi xyuivfz-已知，求解：解： 2222xxfzuivxi yxiyz例題2 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析:1);2)re( )wzwzz2222yyviuxiyxiyz-解：1),wzxiy-由 得 ux, v-y, 所以1,0,0,1

17、xyxyxyyxuuvvuv uv - -在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo), 處處不解析；處處不解析；wz故2) 由w = z re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以2 ,0,xyxyuxuvyvx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x = y = 0時(shí)時(shí),xyyxuvuv -因而函數(shù)僅在因而函數(shù)僅在z = 0可導(dǎo)可導(dǎo), 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析解析.例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析:)re()3);sin(cose)()2;) 1zzwyiyzfzwx1,0,0, 1-yvxvyuxu 解 1) 因?yàn)閡=x, v=-y,可知柯西

18、-黎曼方程不滿足, 所以w=z在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo), 處處不解析2) 因?yàn)閡=excos y, v=exsin y,yyvyxvyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose- 柯西-黎曼方程成立, 由于上面四個偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的, 所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo), 處處解析, 且根據(jù)(2.2.2)式有f (z)=ex(cos y+isin y)=f(z) 今后將知道這個函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.3) 由w=zre(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以 容易看出, 這四個偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù), 但僅當(dāng)x=y=0時(shí), 它們才滿足柯西-黎曼方程, 因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo), 但在復(fù)平面

19、內(nèi)任何地方都不解析.xyvyxvyuxxu,0,2例2 設(shè)函數(shù)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 問常數(shù)a,b,c,d取何值時(shí), f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,vx=2cx+dy, vy=dx+2y從而要使ux=vy, uy-vx,只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy-ax-2by.因此, 當(dāng)a=2, b-1, c-1, d=2時(shí), 此函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析, 這時(shí) f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z22.4 初等函數(shù)3.1 指數(shù)函數(shù) 定義： )sin(

20、cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性質(zhì)： (1)0zzee 定義在全平面上，且 (2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zei是以為基本周期的周期函數(shù)(0,cossin00)xiyzeeyiye22(cos2sin2,)zk izk izzee eekike kz(5)lim.zze不存在( lim, lim0 )zzz xz xee - 3.2 三角函數(shù)定義： ,2sinieeziziz-,2cosizizeez-性質(zhì)：(1)euler 公式仍然成立： zizeizsincos(2)全平面解析

21、函數(shù)，zzzzsincos,cossin-且(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z為奇函數(shù)，cos z為偶函數(shù)(5)2以為基本周期的周期函數(shù)：sin2sin ,cos2sin .()zkzzkz kz(6) sincoszz與的?？梢源笥谝簧踔翢o界：例如11cos1,2eei-cos.2yyeeiyy- (7)定義其他的三角函數(shù)：.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz3.3 雙曲函數(shù)定義： eeeech, sh.22zzzzzz- （1）全平面解析函數(shù)： ,.shzchzchzshz（2）以2i為基本周期的周期函數(shù)：2

22、,2.sh zk ishz ch zk ichz（3）chz為偶函數(shù), shz為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關(guān)系：shsin ,izizchcosizzsinsh ,izizcosch ,izz例題1解方程sin1.zish解：sinsinsin coscos sinzxiyxiyxiysincos1xchyixshyish sin01cos12xchyxshysh :0sin0,chyxxkkz由 1 因 211kshysh -代入11ykyk -為偶數(shù)為奇數(shù)2.21niznzni-3.4 對數(shù)函數(shù)定義： :(0),wwez z若 滿足ln(0).wzz則,wuiv記：izreu ivuiviee erelnlnarg2uerurzvargzzklnarg2wlnzzizklnarg2ln2zizi kzk i 多值性多值性lnlnargzziz-主值支主值支例如：iki2)