函數(shù)的極值與導數(shù)(上課)

1、 函數(shù)的函數(shù)的極值與導數(shù)極值與導數(shù) （一）（一）觀察下圖中觀察下圖中p點附近圖像從左到右的變化趨點附近圖像從左到右的變化趨勢、勢、p點的函數(shù)值以及點點的函數(shù)值以及點p位置的特點位置的特點o oax1x2x3x4bxyp(x1,f(x1)y=f(x)q(x2,f(x2)33r(x ,f(x )44s(x ,f(x )1 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在 等點的函數(shù)值與這些點附近的等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？函數(shù)值有什么關(guān)系？2 y=f(x)在這些點的導數(shù)值是多少？在這些點的導數(shù)值是多少？3 這些點附近，這些點附近，y=f(x)的導數(shù)的符號有什么規(guī)律？的導數(shù)的符號有什么規(guī)律？1234,x

2、x xx 一般地，設函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)在在點點x0附近有定義附近有定義，如果對如果對x0附近的所有的點附近的所有的點,都有都有f(x)f (x0),我們就說我們就說f (x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個的一個極大值極大值,記記作作y極大值極大值= f (x0)；如果對如果對x0附近的所有的點附近的所有的點,都有都有f(x)f (x0)，我們就說我們就說f (x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作的一個極小值，記作y極小值極小值=f (x0). 極大值與極小值同稱為極值極大值與極小值同稱為極值. 函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義o oax1x2x3x4bxyp(x1,f(x1)y=f(

3、x)q(x2,f(x2)33r(x ,f(x )44s(x ,f(x )（1 1）極值是某一點附近的小區(qū)間而言的極值是某一點附近的小區(qū)間而言的, ,是函數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)的局部性質(zhì), ,不是整體的最值不是整體的最值; ;（2 2）函數(shù)的極值不一定唯一函數(shù)的極值不一定唯一, ,在整個定義區(qū)間內(nèi)在整個定義區(qū)間內(nèi)可能有多個極大值和極小值；可能有多個極大值和極小值；（3 3）極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可能比極小值還小能比極小值還小. . （4 4）極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值; ;（5 5）函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的

4、內(nèi)部，區(qū)間的函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點端點不能成為極值點. .觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)關(guān)系觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)關(guān)系的研究方法的研究方法,看極值與導數(shù)之間有什么關(guān)系看極值與導數(shù)之間有什么關(guān)系?o a x0 b x yo a x0 b x y xx0 0左側(cè)左側(cè) x0 x0 0右側(cè)右側(cè) f (x) f(x) xx0 0左側(cè)左側(cè) x0 x0 0右側(cè)右側(cè) f (x) f(x) ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx 增增增增減減減減極大值極大值極小值極小值v若尋找若尋找可導函數(shù)可導函數(shù)極值點極值點,可否只由

5、可否只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ?思考思考探索探索: x =0是否為函數(shù)是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點的極值點?x yof ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 當f (x)=0時，x =0，而x =0不是該函數(shù)的極值點.f (x0) =0 =0 x0 是可導函數(shù)是可導函數(shù)f(x)的極值點的極值點 x0左右側(cè)導數(shù)異號左右側(cè)導數(shù)異號 x0 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值點的極值點 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件函數(shù)函數(shù)y=f(x)的導數(shù)的導數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系

6、為( )a、導數(shù)、導數(shù)y/由負變正由負變正,則函數(shù)則函數(shù)y由減變?yōu)樵鲇蓽p變?yōu)樵?且有極大值且有極大值b、導數(shù)、導數(shù)y/由負變正由負變正,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值c、導數(shù)、導數(shù)y/由正變負由正變負,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極小值且有極小值d、導數(shù)、導數(shù)y/由正變負由正變負,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值d31443f(x)xx求求函函的的極極值值數(shù) 解解: : f (x)=x2- 4,由由f (x) =0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.當當x變化時變化時, , f (x) 、 f(x)的變化情況如下表：的變化

7、情況如下表： f(x) f (x) x 當當x=-2=-2時時, ,y極大值極大值=28/3=28/3；當當x= =2 2時時, , y極小值極小值=-4/3=-4/3. .(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 00 0- -+ +28/3- 4/31yxxxx1+0-0+極大值極大值極小值極小值( )fx( )f x所以，當所以，當x=-1是，函數(shù)的極大值是是，函數(shù)的極大值是-2，當，當x=1時，函數(shù)的時，函數(shù)的極小值是極小值是22221,011( )1( )01xxxxfxfxxxxx 解：f(x)=所以，時，當 變化時，f(x),f(

8、x)變化如下表導函數(shù)的正負是交替出現(xiàn)的嗎？不是不是求可導函數(shù)極值的步驟：求可導函數(shù)極值的步驟：2333(1) ( )62(2) ( )27(3) ( )6 12(4) ( )3f xxxf xxxf xxxf xxx求下列函數(shù)的極值1、極值的判定方法、極值的判定方法2、極值的求法、極值的求法注意：注意：1、f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件2、要想知道、要想知道 x0是極大值點還是極小值點就必是極大值點還是極小值點就必須判斷須判斷 f (x0)=0=0左右側(cè)導數(shù)的符號左右側(cè)導數(shù)的符號. 函數(shù)的函數(shù)的極值與導數(shù)極值與導數(shù) （二）（二）題型題型 1 1：

9、圖像與函數(shù)的極值：圖像與函數(shù)的極值12 導函數(shù)導函數(shù)y=f(x)的圖像如圖，試找出函數(shù)的圖像如圖，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點，并指出那些是極大值點，的極值點，并指出那些是極大值點，那些是極小值點？那些是極小值點？xyoax1x2x3x4x5x6by=f(x)x2,x4為極值點為極值點x2為極大值點為極大值點x4為極小值點為極小值點3 導函數(shù)導函數(shù)y=f(x)的圖像如圖，在標記的的圖像如圖，在標記的點中哪一點處點中哪一點處（1）導函數(shù)）導函數(shù)y=f(x)有極大值？有極大值？（2）導函數(shù)）導函數(shù)y=f(x)有極小值？有極小值？（3）函數(shù)）函數(shù)y=f(x)有極大值？有極大值？（4）函數(shù)）函數(shù)y=

10、f(x)有極小值？有極小值？x1x2x3x4y=f(x)xyox2x4x3x5x54 4 已知汽車在筆直的公路上行駛：已知汽車在筆直的公路上行駛：（1 1）如果函數(shù)）如果函數(shù)y=y=f(xf(x) )表示時刻表示時刻t t時汽車與起點的距時汽車與起點的距離，請標出汽車速度等于離，請標出汽車速度等于0 0的點的點（2 2）如果函數(shù)）如果函數(shù)y=y=f(xf(x) )表示時刻表示時刻t t時汽車的速度，那時汽車的速度，那么（么（1 1）中標出點的意義是什么？）中標出點的意義是什么？y=f(t)5 以下圖形分別表示一個三次函數(shù)及其導數(shù)在以下圖形分別表示一個三次函數(shù)及其導數(shù)在同一坐標系中的圖像，其中一

11、定不正確的序同一坐標系中的圖像，其中一定不正確的序號是（號是（ ）xyoxyoxyoxyo(1)(2)(3)(4)a (3)(4) b (1)(3) c (2)(4) d(1)(2)a分析：如果函數(shù)有極大值又有極小值，說明函數(shù)的導數(shù)的符分析：如果函數(shù)有極大值又有極小值，說明函數(shù)的導數(shù)的符號有從正變到負和從負變到正的時候，也就是說到導函數(shù)有號有從正變到負和從負變到正的時候，也就是說到導函數(shù)有兩個相異的實根兩個相異的實根2 若不等式若不等式 對任意實數(shù)對任意實數(shù)x都都成立，求實數(shù)成立，求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍4342xxa分析：由不等式可以知道分析：由不等式可以知道 ,則要求則要求a的范圍，只

12、要的范圍，只要a 大于函數(shù)大于函數(shù) 的最大的最大值即可，問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值即可，問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f(x)的最值的最值3442axx34( )42f xxx1 通過圖像來觀察函數(shù)的極值點2 利用極值與導數(shù)的關(guān)系來求函數(shù)中參數(shù)的范圍 函數(shù)的函數(shù)的極值與導數(shù)極值與導數(shù) （三）（三）目標：目標： 根據(jù)函數(shù)的極值與函數(shù)的導數(shù)關(guān)系來求解函數(shù)的解析式 數(shù)形結(jié)合來解決問題例1若函數(shù)若函數(shù) 在在x=-1和和x=3時有極時有極值，則值，則a=_,b=_3227yxaxbx-3-9a=-3,b=-9,c=2,極小值為極小值為-25 ( (2006年年北京卷北京卷) )已知函數(shù)已知函數(shù)32( )f xaxbxcx在點在點 處取得極大值處取得極大值5,其導函數(shù)其導函數(shù) 的圖像