同濟大學高等數學第七版1-6極限存在準則與兩個重要極限

1、第六節(jié)第六節(jié)極限存在準則與兩個重要極限極限存在準則與兩個重要極限一一 極限存在的兩個準則極限存在的兩個準則二二 兩個重要極限兩個重要極限準則準則I. I.數列的數列的夾逼準則夾逼準則一 極限存在準則 如果數列如果數列xn、yn及及zn滿足下列條件滿足下列條件 )3 , 2 , 1() 1 (nzxynnnaxnnlim則則,lim,lim)2(azaynnnn,max21NNN 取取上兩式同時成立上兩式同時成立,恒有恒有時時當當,Nn nya ,成立成立即即 axn.limaxnn 證證0 ,limaznn 使使得得, 01 Naynn lim時有時有當當1Nn , ayn, ayan即即使使

2、得得, 02 N時有時有當當2Nn , azn, azan即即, azn nx00(, )xU x Mx 如果當如果當) )時有時有( (或或準則準則I. .函數的函數的夾逼準則夾逼準則),()()()1(xhxfxg ,)(lim,)(lim)2()()(00AxhAxgxxxxxx Axfxxx )(lim)(0則則準則準則 和和準則準則 稱為稱為夾逼準則夾逼準則. .II利用夾逼準則，我們可以求一些困難的極限。利用夾逼準則，我們可以求一些困難的極限。方法是：方法是： 使得使得)(| )(|xgxf ,)(lim)(limAxhxg 將將 適當縮小為適當縮小為 ，再適當放大為，再適當放大為

3、 ，)(xg)(xf)(xh（極限要容易求得）（極限要容易求得）Axf )(lim則則0)(lim xg0)(lim xf常見形式：常見形式： 例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準則得由夾逼準則得. 1)12111(lim222 nnnnn證明)0(2212 xxxx)0(222 xxxx2)2(lim0 xx=2lim0 x 由夾逼準則，得.22lim0 xxx練習練習2.2lim0 xxx證明證明?2lim0 xxx收斂數列一定有界數列，收斂數

4、列一定有界數列，但有界數列不一定收斂。但有界數列不一定收斂。有界的單調數列一定收斂有界的單調數列一定收斂. .單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限. .準則(單調有界準則)= =最小上界值最小上界值單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限. .準則(單調有界準則)= =最小上界值最小上界值單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限. .準則(單調有界準則)= =最小下界值最小下界值例例2 2證明數列證明數列 的極限存在的極限存在 解解: :1n當當時時221x2kx, ,設設，則，則 22221kkxx112222xxkkxx111222kkkkxxxxnnnnxx2limlim1AA22A

5、又又設設， 則則 nx 單增有上界，從而必有極限。單增有上界，從而必有極限。 Axnnlim設設02 A，則，則 由由得得 222 nx并求此極限；并求此極限； 1、1sinlim0 xxx二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 圓扇形AOB的面積證證 xsin21x21xtan21 是偶函數，是偶函數，xxsin故只需證AOB 的面積的面積AOC 的面積的面積( 利用利用準則準則 )因為1sinlim0 xxxAC 121 h121CxoDBA)20(tansin xxxx)20( x取倒數得去乘不等式得去乘不等式得用用xsin1, 1sincos xxx, 1coslim0 xx, 11lim

6、0 x10 xxxsinlimxxxcos1sin1 1sinlim0 xxx該極限的特點該極限的特點: :;00)1(型未定式型未定式.sin)2(形形式式一一致致與與分分數數線線另另一一側側的的變變量量1sinlim0 xxx 一般有)(x )(x 0)(x sinlim. 1第一個重要極限第一個重要極限1sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非0 正確 xxxsinlim 20cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxx(x)0) 例3 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsin

7、lim00 xxxxx 解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解 例4 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxx

8、xxxx 例例5 5. 1arcsinlim0 xxx求求解解,arcsin xy 設xxxarcsinlim0, 0,0yx時當,sin yx 則1sinlim0yyy思考:2limsin?nnn 2limsinnnn 1.公式計算2 . 2sini2l mnnn 觀察：數列是單調增加并且有界觀察：數列是單調增加并且有界e e 是個無理數，它的值是是個無理數，它的值是e=e=2.718281828459045 2.718281828459045 根據準則根據準則IIII，數列，數列 x x n n 必有極限必有極限可以證明數列可以證明數列 x x n n 是單調增加并且有界是單調增加并且有界

9、這個極限我們用這個極限我們用e e 來表示來表示nn11 設x n ，ennn )11(lim第二個重要極限第二個重要極限exxx )11(limxxx10)1(lim 例例e)1(lim10 xxxexxx )11(lim2424 “以以1 1加非零無窮小為底加非零無窮小為底, , 該極限的特點該極限的特點: :;1 型型 這個重要極限應靈活的記為這個重要極限應靈活的記為: :一般有一般有e11 lim 倒數倒數, , 指數是無窮小的指數是無窮小的其極限為數其極限為數e ”e ”. .)(x )(x )(x e1 lim )(x 0)(x )(1x e)1(lim10 xxxexxx )11

10、(lim例6.)11(limxxx 求求解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式e1 1 e例例7 7exxx )11(lim1)11(lim exxx2)21(limexxx ?)1(lim xxxk問：問：一般有一下重要公式：一般有一下重要公式：kxxexk )1(limkllxxexk )1(limkxxekx 10)1(limklxlxekx )1(lim0例8xxxx 21lim xlim2ee xx 11xx 21.e3 )1( 解：xxxx 21limxxbxax limbaee ba ennn211lim .e2 練習12 n nn11lim)1( nnn211lim 解:xxx 321lim xx321lim.e32 x2332)1( xxx 321lim練習2解:xxx20)sin1(lim .e2 xxxsin10sin1limxxsin2)1( xxx20)sin1(lim 練習3解:練習練習4：.)23(lim2x