同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-6極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

1、第六節(jié)第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限一一 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則二二 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則I. I.數(shù)列的數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則一 極限存在準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列xn、yn及及zn滿足下列條件滿足下列條件 )3 , 2 , 1() 1 (nzxynnnaxnnlim則則,lim,lim)2(azaynnnn,max21NNN 取取上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立,恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn nya ,成立成立即即 axn.limaxnn 證證0 ,limaznn 使使得得, 01 Naynn lim時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)1Nn , ayn, ayan即即使使

2、得得, 02 N時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)2Nn , azn, azan即即, azn nx00(, )xU x Mx 如果當(dāng)如果當(dāng)) )時(shí)有時(shí)有( (或或準(zhǔn)則準(zhǔn)則I. .函數(shù)的函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則),()()()1(xhxfxg ,)(lim,)(lim)2()()(00AxhAxgxxxxxx Axfxxx )(lim)(0則則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則. .II利用夾逼準(zhǔn)則，我們可以求一些困難的極限。利用夾逼準(zhǔn)則，我們可以求一些困難的極限。方法是：方法是： 使得使得)(| )(|xgxf ,)(lim)(limAxhxg 將將 適當(dāng)縮小為適當(dāng)縮小為 ，再適當(dāng)放大為，再適當(dāng)放大為

3、 ，)(xg)(xf)(xh（極限要容易求得）（極限要容易求得）Axf )(lim則則0)(lim xg0)(lim xf常見(jiàn)形式：常見(jiàn)形式： 例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得. 1)12111(lim222 nnnnn證明)0(2212 xxxx)0(222 xxxx2)2(lim0 xx=2lim0 x 由夾逼準(zhǔn)則，得.22lim0 xxx練習(xí)練習(xí)2.2lim0 xxx證明證明?2lim0 xxx收斂數(shù)列一定有界數(shù)列，收斂數(shù)

4、列一定有界數(shù)列，但有界數(shù)列不一定收斂。但有界數(shù)列不一定收斂。有界的單調(diào)數(shù)列一定收斂有界的單調(diào)數(shù)列一定收斂. .單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .準(zhǔn)則(單調(diào)有界準(zhǔn)則)= =最小上界值最小上界值單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .準(zhǔn)則(單調(diào)有界準(zhǔn)則)= =最小上界值最小上界值單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .準(zhǔn)則(單調(diào)有界準(zhǔn)則)= =最小下界值最小下界值例例2 2證明數(shù)列證明數(shù)列 的極限存在的極限存在 解解: :1n當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)221x2kx, ,設(shè)設(shè)，則，則 22221kkxx112222xxkkxx111222kkkkxxxxnnnnxx2limlim1AA22A

5、又又設(shè)設(shè)， 則則 nx 單增有上界，從而必有極限。單增有上界，從而必有極限。 Axnnlim設(shè)設(shè)02 A，則，則 由由得得 222 nx并求此極限；并求此極限； 1、1sinlim0 xxx二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 圓扇形AOB的面積證證 xsin21x21xtan21 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，xxsin故只需證AOB 的面積的面積AOC 的面積的面積( 利用利用準(zhǔn)則準(zhǔn)則 )因?yàn)?sinlim0 xxxAC 121 h121CxoDBA)20(tansin xxxx)20( x取倒數(shù)得去乘不等式得去乘不等式得用用xsin1, 1sincos xxx, 1coslim0 xx, 11lim

6、0 x10 xxxsinlimxxxcos1sin1 1sinlim0 xxx該極限的特點(diǎn)該極限的特點(diǎn): :;00)1(型未定式型未定式.sin)2(形形式式一一致致與與分分?jǐn)?shù)數(shù)線線另另一一側(cè)側(cè)的的變變量量1sinlim0 xxx 一般有)(x )(x 0)(x sinlim. 1第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限1sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非0 正確 xxxsinlim 20cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxx(x)0) 例3 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsin

7、lim00 xxxxx 解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解 例4 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxx

8、xxxx 例例5 5. 1arcsinlim0 xxx求求解解,arcsin xy 設(shè)xxxarcsinlim0, 0,0yx時(shí)當(dāng),sin yx 則1sinlim0yyy思考:2limsin?nnn 2limsinnnn 1.公式計(jì)算2 . 2sini2l mnnn 觀察：數(shù)列是單調(diào)增加并且有界觀察：數(shù)列是單調(diào)增加并且有界e e 是個(gè)無(wú)理數(shù)，它的值是是個(gè)無(wú)理數(shù)，它的值是e=e=2.718281828459045 2.718281828459045 根據(jù)準(zhǔn)則根據(jù)準(zhǔn)則IIII，數(shù)列，數(shù)列 x x n n 必有極限必有極限可以證明數(shù)列可以證明數(shù)列 x x n n 是單調(diào)增加并且有界是單調(diào)增加并且有界

9、這個(gè)極限我們用這個(gè)極限我們用e e 來(lái)表示來(lái)表示nn11 設(shè)x n ，ennn )11(lim第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限exxx )11(limxxx10)1(lim 例例e)1(lim10 xxxexxx )11(lim2424 “以以1 1加非零無(wú)窮小為底加非零無(wú)窮小為底, , 該極限的特點(diǎn)該極限的特點(diǎn): :;1 型型 這個(gè)重要極限應(yīng)靈活的記為這個(gè)重要極限應(yīng)靈活的記為: :一般有一般有e11 lim 倒數(shù)倒數(shù), , 指數(shù)是無(wú)窮小的指數(shù)是無(wú)窮小的其極限為數(shù)其極限為數(shù)e ”e ”. .)(x )(x )(x e1 lim )(x 0)(x )(1x e)1(lim10 xxxexxx )11

10、(lim例6.)11(limxxx 求求解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式e1 1 e例例7 7exxx )11(lim1)11(lim exxx2)21(limexxx ?)1(lim xxxk問(wèn)：?jiǎn)枺阂话阌幸幌轮匾剑阂话阌幸幌轮匾剑簁xxexk )1(limkllxxexk )1(limkxxekx 10)1(limklxlxekx )1(lim0例8xxxx 21lim xlim2ee xx 11xx 21.e3 )1( 解：xxxx 21limxxbxax limbaee ba ennn211lim .e2 練習(xí)12 n nn11lim)1( nnn211lim 解:xxx 321lim xx321lim.e32 x2332)1( xxx 321lim練習(xí)2解:xxx20)sin1(lim .e2 xxxsin10sin1limxxsin2)1( xxx20)sin1(lim 練習(xí)3解:練習(xí)練習(xí)4：.)23(lim2x