同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-7無窮小的比較

1、1無窮小的比較無窮小的比較利用等價(jià)無窮小替換求極限利用等價(jià)無窮小替換求極限第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較2一、無窮小的比較一、無窮小的比較3無窮小無窮小+ +無窮小無窮小= =無窮小無窮小無窮小無窮小- -無窮小無窮小= =無窮小無窮小無窮小無窮小無窮小無窮小= =無窮小無窮小但：但： = =？無窮小無窮小無窮小無窮小xxx20limxxxsinlim020limxxx, 0 , 1 如如, ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x是無窮小是無窮小., x,2xxsin如何比較兩個(gè)無窮小？如何比較兩個(gè)無窮?。?x2x0.010.00010.10.010.0010.000001xxx20lim;002要快得多要

2、快得多比比 xx, 0 例例 考察考察 時(shí)，時(shí)， 趨于零的快慢趨于零的快慢0 xx2xxxxsinlim0;00sin快慢相仿快慢相仿與與 xx, 1 定義定義,lim)2( 如果如果, 0lim)1( 如如果果 是是比比就就說說);( o 記作記作是同一過程中的兩個(gè)無窮小是同一過程中的兩個(gè)無窮小,高階的無窮小高階的無窮小;低階的無窮小低階的無窮小; ,設(shè)設(shè). 0 且且 是比是比就說就說無窮小的比較無窮小的比較),0(lim)3( CC 如果如果是是與與就說就說 同階無窮小同階無窮小;6定義定義是是與與則稱則稱 . 記作記作是同一過程中的兩個(gè)無窮小是同一過程中的兩個(gè)無窮小,等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小

3、, ,設(shè)設(shè). 0 且且無窮小的比較無窮小的比較Ck lim)4(如如果果的的是是關(guān)關(guān)于于就就說說 ),0, 0( kC k 階無窮小階無窮小., 1lim)5( 如果如果7所以當(dāng)所以當(dāng)x 0時(shí)，時(shí)，3x 2是比是比x 高階的無窮小，高階的無窮小，即即3x 2 o(x)( ( x 0) ) 因?yàn)?3lim20 xxx，例例 比較無窮?。罕容^無窮?。?(112 nnn， 因?yàn)?11limnnn，所以當(dāng) n 時(shí)，所以當(dāng) n 時(shí)，n1是比21n低階的無窮小所以當(dāng)所以當(dāng)x 0時(shí)，時(shí)，1- -cos x 與與x2 的同階無窮小。的同階無窮小。 因?yàn)?1cos1lim20-xxx，當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，時(shí)，1- -

4、cos x 是是x 的二階無窮小。的二階無窮小。910111 12)1)(1(1lim211 - - - - - -tttttnnntnn1 1 1314二、利用等價(jià)無窮小替換求極限二、利用等價(jià)無窮小替換求極限定理定理1 1 ).( o 即即 兩個(gè)等價(jià)無窮小的差一定是一個(gè)更高兩個(gè)等價(jià)無窮小的差一定是一個(gè)更高階的無窮小，反之亦然。階的無窮小，反之亦然。 原因？原因？他們太接近了，所以它們的差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于他們太接近了，所以它們的差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于它們之中的任何一個(gè)。它們之中的任何一個(gè)。定理定理1 1 ).( o 15定理定理1 1證證, - -lim - - 1lim lim ,0 ).( o 即即),( o

5、 lim. )(limo )(1limo, 1 因此因此設(shè)設(shè)則則1- -因此因此 - - ),( o設(shè)設(shè)則則 ).( o 16例例 xsin - -xcos1,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,sinxx,tanxx,21cos12xx- -所以所以時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)0 x xtan所以所以時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)0 x所以所以時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)0 x),(xox ),(xox ).(2122xox 所以所以時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)0 x,arcsinxx xarcsin),(xox 17定理定理2 2, 設(shè)設(shè)證證 lim lim( lim).(lim 或或A ),(lim 或或且且A lim則則 ) lim lim ).(lim 或或A ( (

6、等價(jià)無窮小替換定理等價(jià)無窮小替換定理) )定理定理2 2, 設(shè)設(shè)),(lim 或或且且A lim則則 ).(lim 或或A ( (等價(jià)無窮小替換定理等價(jià)無窮小替換定理) ) limlim替換意義？替換意義？復(fù)雜復(fù)雜簡單簡單19將常用的等階無窮小列舉如下: xx sinxx tan2cos12xx-xx )1ln( mxxm11-211xx -nxxn1)1 (-xex1-axaxln1-2sintan3xxx -xx arcsinxx arctan 當(dāng) x 0 時(shí) , , , 0 .mnNa其中20例例2 2.5sin2tanlim0 xxx求求解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 原式原式,22tanxx,

7、55sinxx xxx52lim0.5221231x221x-.1cos1)1 (lim3120-xxx解解: :,0時(shí)當(dāng)x1)1 (312- x231x1cos-x221x-0limx原式32-例例3 求求223221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx練習(xí)練習(xí)解解23例例4 4xxxx2sinsintanlim30- -求求解解 原式原式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x - -xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,tanxx,sinxx30)2(limxxxx- -)cos1(tanxx- -330)2(21

8、limxxx注：注：加、減項(xiàng)加、減項(xiàng)的無窮小不要用等價(jià)無窮小代換的無窮小不要用等價(jià)無窮小代換.24例例5.) cos1(2sin lim20 xxarcx- -求求解解 ) cos1(2sin lim20 xxarcx- -) cos1(2lim20 sin arcxxxxx- - ) cos)(1 cos1(2lim0 xxxx - - xxxxx cos11lim) cos1(2lim00 - - ) cos1lim(1lim020 x cos1221xxxxxx - -25xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例例6 6解26000coslim11 coslimlimxxxxxexxexxx-0coslimxxexx-求1例例7 7解27練習(xí)練習(xí).cos12tanlim20 xxx- -求求解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 原原式式. 8 ,21cos12xx- -.22tanxx22021)2(limxxx281. 無窮小的比較無窮小的比較2. 等價(jià)無窮小的替換等價(jià)無窮小的替換 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注