函數(shù)與初等函數(shù)

1、第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)一、鄰域一、鄰域二、函數(shù)二、函數(shù). 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).,( au記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),( axaxauxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點(diǎn)點(diǎn) a. ),( axxau0,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 一、鄰域一、鄰域)(au簡記為簡記為。因變量因變量自變量.)(,000處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfdx 函函數(shù)數(shù)值值全全體體組組成成的的數(shù)數(shù)集集數(shù)集數(shù)集 d 叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy 二、函數(shù)二、函數(shù)定義：

2、設(shè)定義：設(shè) x 和和 y 是兩個(gè)變量，是兩個(gè)變量，d 是一個(gè)給定的數(shù)集，是一個(gè)給定的數(shù)集，.),(稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域dxxfyyw ()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應(yīng)法則對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對應(yīng)法則對應(yīng)法則.xydw約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : d211xy 例如，例如，)1 , 1(: d定義定義: :),(),(dxxfyyxc 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集oxy),(yxxywd 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)

3、數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)則叫做多值函數(shù)例如，例如，222ayx .)(的的圖圖形形稱稱為為函函數(shù)數(shù)xfy (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1. 幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例xxx sgny1-1xo.(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y = x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)x

4、xxdy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg. 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).例例1 1.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3

5、 : fd故故m-myxoy=f(x)x有界有界無界無界m-myxox0 x,)(, 0,成立成立有有若若mxfxxmdx （1）函數(shù)的有界性）函數(shù)的有界性:.)(否則稱無界否則稱無界上有界上有界在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)xxf2 2、函數(shù)的特性、函數(shù)的特性（2）函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)的單調(diào)性:,)(didxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxi ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyi)(xfy )(1xf)(2xf

6、xyoi;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)ixf,)(didxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxi ),()()2(21xfxf 恒有恒有（3）函數(shù)的奇偶性）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱設(shè)設(shè),dxd )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對于對于關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱設(shè)設(shè),dxd )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy （4）函

7、數(shù)的周期性）函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如果存在一個(gè)不為零的如果存在一個(gè)不為零的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,dlxdxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl.恒成立恒成立例例2 2解解,01)( qxqxxd設(shè)設(shè).)().21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xdddd , 1)57( d, 0)21( d, 1)( xddoxy1單值函數(shù)單值函數(shù), 有界函數(shù)有界函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù),周期

8、函數(shù)周期函數(shù)(無最小正周期無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),0 x0y0 x0yxydw)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxydw)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o3 3、反函數(shù)、反函數(shù)對于任意的對于任意的 y w,在在 d 上至少可以確定一個(gè)上至少可以確定一個(gè) x 滿足滿足yxf )(若將若將 y 看作自變量看作自變量, x 看作因變量看作因變量, 得到一個(gè)新的函數(shù)得到一個(gè)新的函數(shù)稱為原函數(shù)稱為原函數(shù) y = f (x) 的反函數(shù)的反函數(shù), 記為記為 x = (y)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abq),(bap)(xy 反函數(shù)反函數(shù) （2） 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于

9、直線 y = x 對稱對稱.)()1(yx )(xy （3） 單值函數(shù)的反函數(shù)不一定是單值的單值函數(shù)的反函數(shù)不一定是單值的.第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)一、復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義:設(shè)設(shè)uyufy )(xxu )( )(xfy 因變量因變量中間變量中間變量自變量自變量注意注意: :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過多復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過多次

10、（或多層）復(fù)合構(gòu)成次（或多層）復(fù)合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv (1) 冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 二、二、 初等函數(shù)初等函數(shù)（一）基本初等函數(shù)（一）基本初等函數(shù)(2)、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (3)、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (4)、三角函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切

11、函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc (5)、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot arcxarcycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)（二）初等函數(shù)（二）初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算

12、由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子一個(gè)式子表示表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:d奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:d偶函數(shù)偶函數(shù).雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(:d有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)co

13、sh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(:d.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 :d y反雙曲余弦反雙曲余弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: d奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切tanharxytanh arxtanha

14、rx y思考題思考題1設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式. 解答解答設(shè)設(shè)ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf思考題思考題1設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式. 思考題思考題2 2).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè) 0102112).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè) 0102112解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)(

15、 xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若2251tttf , ,則則_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 則則)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的區(qū)間表示法是的區(qū)間表示法是_._. 4 4、設(shè)、設(shè)2xy , ,要使要使 ), 0( ux 時(shí)，時(shí)，)2 , 0(uy , , 須須 _._.練練 習(xí)習(xí) 題題二、證明二、證明xylg 在在), 0( 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. . 三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和. . 四、設(shè)四、設(shè))(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)， 且且 10, 001,)(2xxxxf, ,試在試在),( 上繪出上繪出 )(xf的圖形的圖形. . 五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇