向量的概念及其加減法運(yùn)算

1、教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)目標(biāo)（一）知識(shí)目標(biāo) 1、 理解向量的概念，理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念的概念 2 2、掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律（二）能力目標(biāo)（二）能力目標(biāo) 在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明單的幾何證明（三）情感目標(biāo)（三）情感目標(biāo) 通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)通過(guò)闡述向量

2、的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 向量的加減法的運(yùn)算法則及其應(yīng)用向量的加減法的運(yùn)算法則及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn) 向量的概念的理解以及運(yùn)算法則的推導(dǎo)向量

3、的概念的理解以及運(yùn)算法則的推導(dǎo)知識(shí)鏈接知識(shí)鏈接 在物理學(xué)中，研究物體在平面內(nèi)的位置和運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，一般忽略它的大小，把它看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用點(diǎn)表示它在平面內(nèi)的位置。如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b，如果我們不考慮質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線，只考慮點(diǎn)b相對(duì)于點(diǎn)a的“方向”和“直線距離”，這時(shí)，我們就說(shuō)質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)作了一次位移。問(wèn)題：位移和那些因素有關(guān)？如何確定位移？問(wèn)題：位移和那些因素有關(guān)？如何確定位移？ab位移的概念位移的概念一、向量的概念一、向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量注意：注意：（1）向量的兩要素：大小和方向）向量的兩要素：大小和方向請(qǐng)說(shuō)出下列一些量那些是數(shù)量那些是向量請(qǐng)說(shuō)出

4、下列一些量那些是數(shù)量那些是向量? 距離、位移、身高、力、質(zhì)量、時(shí)間、距離、位移、身高、力、質(zhì)量、時(shí)間、速度、加速度、面積速度、加速度、面積、電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度、溫度溫度.課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)（2）自由向量）自由向量 有些向量不僅有大小方向，還有作用點(diǎn)，有些向量不僅有大小方向，還有作用點(diǎn)，例如力；例如力；有些向量只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，有些向量只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，例如位移、速度等。例如位移、速度等。通常后一類向量叫做通常后一類向量叫做自由向量自由向量。以后我們學(xué)習(xí)的向量，無(wú)特別指明，指的都是以后我們學(xué)習(xí)的向量，無(wú)特別指明，指的都是自由向量。自由向量。（3）向量能否比較大??？）向量能

5、否比較大??？ 以以a a為起點(diǎn)、為起點(diǎn)、b b為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的向量向量記作：記作：ab 有向線段的有向線段的長(zhǎng)度長(zhǎng)度表示向量的大小，表示向量的大小， 箭頭所指的箭頭所指的方向方向表示向量的方向表示向量的方向ab用一條有向線段來(lái)表示用一條有向線段來(lái)表示字母表示法字母表示法： 或用或用 、 、 等小寫字母表示；等小寫字母表示；二、向量的二、向量的表示方法：表示方法： 幾何表示法：幾何表示法：abca特殊向量：特殊向量：零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的.長(zhǎng)度為的向量叫長(zhǎng)度為的向量叫零向量零向量，記為，記為0長(zhǎng)度為個(gè)單位的向量叫長(zhǎng)度為個(gè)單位的向量叫單位向量單位向量三、向量的模：三、向量的模：

6、例如向量例如向量 的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度記作：記作： ab| |ab向量的長(zhǎng)度叫做向量的模。向量的長(zhǎng)度叫做向量的模。四、兩種特殊關(guān)系：四、兩種特殊關(guān)系：相等向量相等向量: 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量. 記作：記作： ba , 與它們起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)與它們起點(diǎn)位置無(wú)關(guān).ba共線向量共線向量: 通過(guò)有向線段的直線，叫做通過(guò)有向線段的直線，叫做向量的基線向量的基線如果向量的基線互相平行或者重合，則稱這些如果向量的基線互相平行或者重合，則稱這些向量共線向量共線或平行或平行。向量向量a平行于平行于b,記作記作ba/規(guī)定：零向量與任一向量平行規(guī)定：零向量與任一向量平行.五、用向量表示點(diǎn)的位置五、用

7、向量表示點(diǎn)的位置任給一定點(diǎn)任給一定點(diǎn)o和向量和向量a，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)o作有向線段作有向線段 ，則點(diǎn)則點(diǎn)a相對(duì)于點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)o的位置被向量的位置被向量a所唯一確定，所唯一確定，這時(shí)向量這時(shí)向量 ，又常叫做點(diǎn)，又常叫做點(diǎn)a 相對(duì)于點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)o的的位置向量位置向量。oaoaoaa例如，例如，在談到天津相對(duì)于北京的位置時(shí)，我們說(shuō)，在談到天津相對(duì)于北京的位置時(shí)，我們說(shuō)，“天津位于北京東偏南天津位于北京東偏南50，114km”如圖所示，如圖所示，北京北京天津天津50點(diǎn)點(diǎn)o表示北京的位置，點(diǎn)表示北京的位置，點(diǎn)a表示天津的位置，表示天津的位置，那么向量就表示了天津相對(duì)于北京的位置。那么向量就表示了天津相對(duì)于北京的位

8、置。 例例1 1判斷下列命題真假或給出問(wèn)題的答案：判斷下列命題真假或給出問(wèn)題的答案： （1 1）平行向量的方向一定相同）平行向量的方向一定相同 （2 2）不相等的向量一定不平行）不相等的向量一定不平行 （3 3）與零向量相等的向量是什么向量？）與零向量相等的向量是什么向量？ （4 4）存在與任何向量都平行的向量嗎？）存在與任何向量都平行的向量嗎？ （5 5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定 是什么向量？是什么向量？ （6 6）兩個(gè)非零向量相等的條件是什么？）兩個(gè)非零向量相等的條件是什么？ （7 7）共線向量一定在同一直線上）共線向量一定在同一直

9、線上 零向量零向量零向量零向量平行向量（共線向量）平行向量（共線向量） 模相等且方向相同模相等且方向相同 例例21. 如圖如圖,設(shè)設(shè)o是正六邊形是正六邊形abcdef的中心的中心,分別寫出分別寫出 圖中與向量圖中與向量 、 、 相等的向量相等的向量.問(wèn)題問(wèn)題:(1) 與與 相等嗎相等嗎? (2) 與與 相等嗎相等嗎? (3) 與與 長(zhǎng)度相等的向量有幾個(gè)長(zhǎng)度相等的向量有幾個(gè)? (4) 與與 共線的向量有哪幾個(gè)共線的向量有哪幾個(gè)?oaoaoaoaobobocfeafbafedco例3 3. .把把所所有有相相等等的的向向量量平平移移到到同同一一起起點(diǎn)點(diǎn)后后，這這些些向向量量的的終終點(diǎn)點(diǎn)將將落落在在

10、a a. .同同一一個(gè)個(gè)圓圓上上b b. .同同一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)上上c c. .同同一一條條直直線線上上d d. .以以上上都都有有可可能能b1.下列說(shuō)法正確的是下列說(shuō)法正確的是 ( ) a) 方向相同或相反的向量是平行向量方向相同或相反的向量是平行向量. b) 零向量是零向量是0 . c)長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量. d) 共線向量是在一條直線上的向量共線向量是在一條直線上的向量.a2.已知已知a、b是任意兩個(gè)向量是任意兩個(gè)向量,下列條件下列條件: a=b; |a|=|b|; a與與b的方向相反的方向相反; a=0或或b=0; a與與b都是單位向量都是單位向量.其中是向

11、量其中是向量a與與b平行的有平行的有_.練習(xí)練習(xí) 由由于大陸和臺(tái)灣沒有直航，因此于大陸和臺(tái)灣沒有直航，因此20032003年年春節(jié)探親，乘飛機(jī)要先從臺(tái)北到香港，再?gòu)南愀鄣酱汗?jié)探親，乘飛機(jī)要先從臺(tái)北到香港，再?gòu)南愀鄣缴虾?，這上海，這兩次位兩次位移移之和是什么？之和是什么？ 引例二：引例二：臺(tái)北臺(tái)北香港香港上海上海baaaaaabbcbaba+b作法：bbcaabac a + b(1) 同向(2)反向baacbaac又如何作出來(lái)?ba為共線向量時(shí),b, a當(dāng)向量ababcababcaa00a注：向量和的特點(diǎn)：向量和的特點(diǎn)：（1）兩個(gè)向量的）兩個(gè)向量的和和仍是仍是一個(gè)向量一個(gè)向量（2 2）當(dāng)向量當(dāng)向

12、量a a與向量與向量b b不共線時(shí)不共線時(shí)，a a+ +b b的方向與的方向與a a，b b都都不不 同向，且同向，且| |a a+ +b b|b|a|b|，則，則a+ba+b的方向與的方向與a a相同，且相同，且|a+b|=|a|-|b|a+b|=|a|-|b|；若若|a|b|a|b|，則，則a+ba+b的方向與的方向與b b相同，且相同，且|a+b|=|b|-|a|a+b|=|b|-|a| baba: ba 以以ab,adab,ad為鄰邊做為鄰邊做平行四邊形平行四邊形abcdabcdab)cb(ac)ba( : abc結(jié)合律結(jié)合律baaa a a a a a a abbbbbadacba+

13、b(1)(1)在平面內(nèi)取一點(diǎn)在平面內(nèi)取一點(diǎn)a a以點(diǎn)以點(diǎn)a a為起點(diǎn)以向量為起點(diǎn)以向量a a、b b為鄰邊作平行四為鄰邊作平行四邊形邊形 abcd.abcd.（3 3）則以點(diǎn)）則以點(diǎn)a a為起點(diǎn)的對(duì)角線為起點(diǎn)的對(duì)角線acaca+ba+b作法作法: :3、向量求和的多邊形法則、向量求和的多邊形法則 已知已知n n個(gè)向量，依次把這個(gè)向量，依次把這n n個(gè)向量首尾相連，異個(gè)向量首尾相連，異第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第n n個(gè)向量的終點(diǎn)為個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這終點(diǎn)的向量叫做這n n個(gè)向量的和向量個(gè)向量的和向量。abcdaebcdaedecdbcababc0cabcaba

14、bcdefo1(2)(3)oabcdefoa ocbcfeoa fe 已知 為正六邊形的中心，作出下列向量3（）例 ：;1obocoa）解：（;2adfebc）（. 03 feoa）（例例4 4: : 求向量求向量 之和之和. a ab b + + d df f + + c cd d + + b bc c + + f fa a解解: : = = a ab b + + b bc c + + c cd d + + d df f + + f fa a = = a ac c+ +c cd d+ +d df f+ +f fa a = = a ad d + + d df f + + f fa a = =

15、a af f + + f fa a= = 0 0 ab+df+cd+bc+faa ab b + + d df f + + c cd d + + b bc c + + f fa a = = 0 0引例三引例三f2ff11f f 2f 已知：兩個(gè)已知：兩個(gè)力的合力為力的合力為求：另一個(gè)力求：另一個(gè)力 其中一個(gè)力為其中一個(gè)力為 相反向量及其性質(zhì)相反向量及其性質(zhì) 與與a長(zhǎng)度相等長(zhǎng)度相等,方向相反的向量方向相反的向量,叫做叫做a的的相反向量相反向量。 記作記作-a，a和和-a互為相反向量?；橄喾聪蛄?。規(guī)定：規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。性質(zhì)：性質(zhì)：-(-a)=a;-(-

16、a)=a; a+(-a)=(-a)+a=0; a+(-a)=(-a)+a=0;若若a a、b b是互為相反的向量，則有是互為相反的向量，則有 a=-b,b=-a,a+b=0. a=-b,b=-a,a+b=0. 向量減法的定義：向量減法的定義： 向量向量a加上加上b相反向量，叫做相反向量，叫做a與與b的差的差.即：即：a b = a + ( b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法向量的減法呢？作出根據(jù)減法的定義，如何已知baba,aboaabbbcdba, ,.a bbaab 方法：平移向量使它們起點(diǎn)相同，那么的終點(diǎn)指向 的終點(diǎn)的向量就是b=baoa o 即：baooaob

17、 由上述還可推知，一個(gè)向量等于它的終點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn) 位置向量減去它的始點(diǎn)的位置向量，或簡(jiǎn)記“終點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量”oaabbba如圖，已知如圖，已知a、b，求作求作a-b。例例5(1)ab(2)abab(3)ab(4)dbabadab acabadab 2、已知a、b是任意兩個(gè)向量,下列條件: a=b; |a|=|b|; a與b的方向相反; a=0或b=0; a與b都是單位向量.能判定向量a與b共線的是_.1、下列說(shuō)法正確的是 ( ) a) 方向相同或相反的向量是平行向量. b) 零向量是 . c)長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量. d) 共線向量是在一條直線上的向量.0達(dá)標(biāo)練習(xí)達(dá)標(biāo)練習(xí)4、 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) ( (a ab b- -c cdd) )- -( (a ac c- -b bd d) )3.已知已知oa=a, ob=b,若若|oa|=12,|ob|=5,且且 aob=90, 則則|ab|= . 5.5.一艘船以一艘船以 的速度和垂直于對(duì)岸的方向行駛，的速度和垂直