7習題課2二階微分方程的解法及應用jsp

1、二階微分方程的 習題課 (二)二、微分方程的應用二、微分方程的應用 解法及應用 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 第十二章 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解 2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法 歐拉方程yx 2yxpyq)(xftdextdd,令qpddd ) 1(y)(tef練習題

2、練習題: p327 題 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8解答提示解答提示p327 題題2 求以xxececy221為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為,2,121rr故特征方程為,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程為023 yyyp327 題題3 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 則方程變?yōu)?01dd2 pyppyyypppd1d2即特征根:xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齊次方程通解:)2sin2cos(21xcxceyx令非齊次方程特解為xbxay

3、2sin2cos*代入方程可得174171,ba思思 考考若 (7) 中非齊次項改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxbxay2sin2cos*故d原方程通解為xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xcxceyx特解設法有何變化 ?p327 題題4(2) 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 則方程變?yōu)?ddpaxp積分得,11cxap利用100 xxyp11c得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常數(shù).2c思考思考若問題改為求解0321 yy,00 xy10 xy則求解過程中得,112xp問開方時正負號如何確定正負號如何確定

4、?p327 題題8 設函數(shù)222, )(zyxrrfu在 r 0內滿足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二階可導, 且,1) 1 () 1 ( ff試將方程化為以 r 為自變量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用對稱性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 歐拉方程歐拉方程 )原方程可化為0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值問題:,ddtd 記則原方程化為 02) 1(fddd02fdd即通解: teccrf21)(

5、rcc121利用初始條件得特解: xxcxcysincos21特征根 :,2 , 1ir例例1. 求微分方程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2時當x故通解為)(sin2xxxy2,04 xyy滿足條件2x在解滿足xyy ,00 xy00 xy處連續(xù)且可微的解.設特解 :,baxy代入方程定 a, b, 得xy , 0, 000 xxyy利用得2x由處的銜接條件可知,2時當x04 yy,122xy12xy解滿足故所求解為y,sinxx 2221,2cos)1 (2sinxxx2xxcxcy2cos2sin21其通解:定解問題的解:2221,2cos)1 (2sinxxxy例例2

6、.,)(二階導數(shù)連續(xù)設xf且滿足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf則xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx問題化為解初值問題:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(思考思考: 設, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 對積分換元 ,uxt 令則有xxttex0d)()()()(xexx 解初值問題: xexx )()(,0)0(1)0(答案:xxexex41) 12(41)(的解.

7、例例3.設函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的函數(shù)是xyyyxxy內具有連續(xù)二階導(1) 試將 xx( y) 所滿足的微分方程 變換為 yy(x) 所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數(shù), 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對 x 求導, 得: (1) 由反函數(shù)的導數(shù)公式知(03考研考研)0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的對應齊次方程的通解為 xxececy21設的特解為 ,sincosxbx

8、ay代入得 a0,21b,sin21xy故從而得的通解: xececyxxsin2121由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121cc故所求初值問題的解為 xeeyxxsin21二、微分方程的應用二、微分方程的應用 1 . 建立數(shù)學模型 列微分方程問題建立微分方程 ( 共性 )利用物理規(guī)律利用幾何關系確定定解條件 ( 個性 )初始條件邊界條件可能還要銜接條件2 . 解微分方程問題3 . 分析解所包含的實際意義 例例4. 解解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其擺脫地球 引力, 初始速度應不小于第二宇宙速度, 試計算此速度.設人造地球衛(wèi)星質量為 m , 地球質量為 m , 衛(wèi)星的質心

9、到地心的距離為 h , 由牛頓第二定律得: 222ddhmmgthm00dd,vthrht,0v為(g 為引力系數(shù))則有初值問題: 222ddhmgth又設衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑51063r),(ddhvth設,dddd22hvvth則代入原方程, 得2ddhmghvvhhmgvvdd2兩邊積分得chmgv221利用初始條件, 得rmgvc2021因此rhmgvv112121202221limvhrmgv12120注意到 為使,0v應滿足0vrmgv20因為當h = r (在地面上) 時, 引力 = 重力, )sm81. 9(22ggmhmmg即,2grmg故代入即得81. 9106322

10、50grv) s(m102 .113這說明第二宇宙速度為 skm2 .11求質點的運動規(guī)例例5. 上的力 f 所作的功與經過的時間 t 成正比 ( 比例系數(shù),00vs初始速度為初始位移為).(tss 律提示提示:,d0tksfss由題設兩邊對 s 求導得:stkfdd牛頓第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 ctmk為 k), 開方如何定開方如何定 + ?已知一質量為 m 的質點作直線運動, 作用在質點例例6. 一鏈條掛在一釘子上 , 啟動時一端離釘子 8 m ,另一端離釘子 12 m , 如不計釘子對鏈條所產生的摩擦 力, 求鏈條滑下

11、來所需的時間 .解解: 建立坐標系如圖. 設在時刻 t , 鏈條較長一段xox下垂 x m , 又設鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條受力fgxgx)20(gx)10(2由牛頓第二定律, 得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22101 . 021 . 01tgtgececx由初始條件得, 121 cc故定解問題的解為解得24)10(1021 . 0 xxetg), 1(舍去另一根左端當 x = 20 m 時,(s)625ln(10gt微分方程通解: 101 . 01 . 0tgtgeex思考思考: 若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 , 定解問題的數(shù)學模型是什么

12、?摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 時的數(shù)學模型為xox不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此時鏈條滑下來所需時間為yoy練習題練習題從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測要求, 需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函數(shù)關系. 設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉, 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設儀器質量為 m,體積為b , 海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正 比 , 比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立 y 與 v 所滿足的

13、微分方程, 并求出函數(shù)關系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐標系如圖.質量 m體積 b由牛頓第二定律b22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意: bgmvkbgmkbgmmvkmyln)(2vkbgmyvvmdd初始條件為00yv用分離變量法解上述初值問題得yoy質量 m體積 b得備用題備用題 )()(xfyxy 有特,1xy 解而對應齊次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入將xx1)(得代入再將xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所給二階非

14、齊次方程為331xyxy ),(xpy 令方程化為331xpxp1. 設二階非齊次方程一階線性非齊次方程331xpxp故py xxed1xcx121再積分得通解2211cxcxy)(1211cc1d13d3cxexxx)()(xfyxpycxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(復習: 一階線性微分方程通解公式 2. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 驗證函數(shù))(x滿足微分方程;xeyyy (2) 利用(1)的結果求冪級數(shù)! )3(30nxnn的和.解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn(02考研考研)!0nxn