函數(shù)值域的求法大全

1、函數(shù)值域的求法大全函數(shù)值域的求法大全題型一求函數(shù)值：特別是分段函數(shù)求值例1已知f(x)(xr，且x1)，g(x)x22(xr).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求fg(3)的值.解(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，fg(3)f(11).反思與感悟求函數(shù)值時(shí)，首先要確定出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f的具體含義，然后將變量代入解析式計(jì)算，對于fg(x)型的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進(jìn)行，要注意fg(x)與gf(x)的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x).(1)求f(2)；(2)求ff(1).解(1)f(x)，f(2).(2) f(1)，ff(1)f().

2、5.已知函數(shù)f(x)x2x1.(1)求f(2)，f()；(2)若f(x)5，求x的值.解(1)f(2)22215，f()1.(2)f(x)x2x15，x2x60，x2，或x3.(3)4.函數(shù)f(x)對任意自然數(shù)x滿足f(x1)f(x)1，f(0)1，則f(5)_.答案6解析f(1)f(0)1112，f(2)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16.二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）圖象法（數(shù)形結(jié)合） （3）函數(shù)單調(diào)性法 （4）配方法 （5）換元法 （包括三角換元）（6）反函數(shù)法（逆求法） （7）分離常數(shù)法

3、 （8）判別式法 （9）復(fù)合函數(shù)法 （10）不等式法 （11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。 求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)閞，值域?yàn)閞；反比例函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，值域?yàn)閥|y0；二次函數(shù)的定義域?yàn)閞，當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?例1 求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(-1x1) （記住圖像） 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5略 當(dāng)x>0，=，當(dāng)x<0時(shí)，=值域是2，+).（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例2 求下列函

4、數(shù)的最大值、最小值與值域：； ； ； 解：，頂點(diǎn)為(2,-3)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2. 拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域r，x=2時(shí)，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是y|y-3 .頂點(diǎn)橫坐標(biāo)23,4，當(dāng)x=3時(shí)，y= -2；x=4時(shí)，y=1； 在3,4上，=-2，=1；值域?yàn)?2，1.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 0,1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=1時(shí)，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域?yàn)?2，1.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 0,5，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=2時(shí)，y=-3, x=5時(shí)，y=6,在0,1上，=-3，=6；值域?yàn)?3，6.注：對于二次函數(shù),若定義域?yàn)閞時(shí)， 當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最小值； 當(dāng)a<

5、0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最大值;若定義域?yàn)閤 a,b,則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間a,b. 若a,b,則是函數(shù)的最小值（a>0）時(shí)或最大值（a<0）時(shí)， 再比較的大小決定函數(shù)的最大（?。┲? 若a,b,則a,b是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲?；當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.練習(xí)：1、求函數(shù)y=3+的值域 解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知0，故3+3。函數(shù)的值域?yàn)? 2、求函數(shù) 的值域 解： 對稱軸 1 單調(diào)性法例3 求函數(shù)y=4x(x1/3)的值域。設(shè)f(x)=

6、4x,g(x)= ,(x1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x-在定義域?yàn)閤1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閥|y4/3。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+的值域。(答案：y|y3)2 換元法例4 求函數(shù) 的值域 解：設(shè)，則 點(diǎn)評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求

7、函數(shù)y=的值域。（答案：y|y3/4 求的值域；例5 （三角換元法）求函數(shù)的值域解： 設(shè) 小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設(shè) （2）若題目中含有則可設(shè)，其中（3）若題目中含有，則可設(shè)，其中（4）若題目中含有，則可設(shè)，其中 （5）若題目中含有，則可設(shè)其中3 平方法例5 （選）求函數(shù) 的值域解：函數(shù)定義域?yàn)椋?4 分離常數(shù)法 例6 求函數(shù) 的值域由 ，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?；如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來求值域。練習(xí)求函數(shù) 的值域 求函數(shù) 的值域01 求函數(shù) y=的值域；（y(-1，1)）

8、 -10134-4xy例7 求 的值域解法一：（圖象法）可化為 如圖， 觀察得值域解法二：（不等式法） 同樣可得值域練習(xí)：的值域 例8 求函數(shù) 的值域解：（換元法）設(shè) ，則 原函數(shù)可化為 例9求函數(shù) 的值域 解：（換元法）令，則10xy 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域?yàn)?例10 求函數(shù) 的值域解：（圖象法）如圖，值域?yàn)?（換元法）設(shè) ，則 例13 函數(shù) 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（換元法）設(shè) ，則 解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為 1） 時(shí) 不成立2） 時(shí)，綜合1）、2）值域解法四：（三角換元法）設(shè)，則 原函數(shù)的值域?yàn)?0例14 求函數(shù)的值域5解法一：（判別式法）化為1）時(shí)，不成

9、立2）時(shí)，得綜合1）、2）值域解法二：（復(fù)合函數(shù)法）令，則 所以，值域例15 函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）1）當(dāng)時(shí)，2） 時(shí)，綜合1）2）知，原函數(shù)值域?yàn)槔?6 (選) 求函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故值域?yàn)槔?7 （選） 求函數(shù)的值域解：（換元法）令 ，則原函數(shù)可化為。小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)

10、化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。利用判別式求值域時(shí)應(yīng)注意的問題用判別式法求值域是求函數(shù)值域的常用方法，但在教學(xué)過程中，很多學(xué)生對用判別式求值域掌握不好。一是不理解為什么可以這樣做，二是學(xué)生對哪些函數(shù)求值域可以用判別式法，哪些函數(shù)不能也比較模糊。本人結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剬Ρ緝?nèi)容的一點(diǎn)體會。一、判別式法求值域的理論依據(jù)例1、 求函數(shù)的值域象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。解：由得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中顯然y1,故式是關(guān)于x的一元二次方程用判別式法求函數(shù)的值域是求值域的一種重要的方法，但在用判別式法求值域時(shí)經(jīng)常出錯，因此在用判別式求值域時(shí)應(yīng)注意以下

11、幾個(gè)問題：一、要注意判別式存在的前提條件，同時(shí)對區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求要進(jìn)行檢驗(yàn)例：求函數(shù)的值域。錯解：原式變形為 （），解得。故所求函數(shù)的值域是錯因：把代入方程（）顯然無解，因此不在函數(shù)的值域內(nèi)。事實(shí)上，時(shí)，方程（）的二次項(xiàng)系數(shù)為0，顯然不能用“”來判定其根的存在情況。正解：原式變形為 （）（1）當(dāng)時(shí)，方程（）無解；（2）當(dāng)時(shí)，解得。綜合（1）、（2）知此函數(shù)的值域?yàn)槎?、注意函?shù)式變形中自變量的取值范圍的變化例2：求函數(shù)的值域。錯解：將函數(shù)式化為（1）當(dāng)時(shí)，代入上式得，故屬于值域；（2）當(dāng)時(shí)， ，綜合（1）、（2）可得函數(shù)的值域?yàn)?。錯因：解中函數(shù)式化為方程時(shí)產(chǎn)生了增根（與雖不在定義域內(nèi)，但是方

12、程的根），因此最后應(yīng)該去掉與時(shí)方程中相應(yīng)的值。所以正確答案為，且。三、注意變形后函數(shù)值域的變化例3：求函數(shù)的值域。錯解：由已知得 ，兩邊平方得 整理得，由，解得。故函數(shù)得值域?yàn)?。錯因：從式變形為式是不可逆的，擴(kuò)大了的取值范圍。由函數(shù)得定義域?yàn)橐字?，因此函?shù)得最小值不可能為。時(shí)，故函數(shù)的值域應(yīng)為。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性例4：求函數(shù)的值域。錯解：令，則，由及得值域?yàn)椤ｅe因：解法中忽視了新變元滿足條件。設(shè)，。故函數(shù)得值域?yàn)?。綜上所述，在用判別式法求函數(shù)得值域時(shí)，由于變形過程中易出現(xiàn)不可逆得步驟，從而改變了函數(shù)得定義域或值域。因此，用判別式求函數(shù)值域時(shí)，變形過程必須等價(jià)，必須考慮

13、原函數(shù)得定義域，判別式存在的前提，并注意檢驗(yàn)區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求。 練習(xí)：1 、；解：x0，y11.另外，此題利用基本不等式解更簡捷：(或利用對勾函數(shù)圖像法)2 、0<y5.3 、求函數(shù)的值域； 解：令0,則,原式可化為,u0，y，函數(shù)的值域是（-，.解：令 t=4x-0 得 0x4 在此區(qū)間內(nèi) (4x-)=4 ，(4x-) =0函數(shù)的值域是 y| 0y24、求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法2：函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-1，2的距離之和，易見y的最小值是

14、3，函數(shù)的值域是3，+. 如圖 5、求函數(shù)的值域解：設(shè) 則 t0 x=1-代入得 t0 y46、（選）求函數(shù)的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 當(dāng) y¹1時(shí) xÎr =(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得 (5y+1)0檢驗(yàn) （有一個(gè)根時(shí)需驗(yàn)證）時(shí) （代入求根）2 Ï 定義域 x| x¹2且 x¹3 再檢驗(yàn) y=1 代入求得 x=2 y¹1綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?y| y¹1且 y¹方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù) (x¹2) 由此可得 y¹1， x=2

15、時(shí)即 函數(shù)的值域?yàn)?y| y¹1且 y¹函數(shù)值域求法十一種 1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是： 例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（1）當(dāng)時(shí)，解得：（2）當(dāng)y=1時(shí)，而故函數(shù)的值域?yàn)?例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由

16、，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集r有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由 求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)?。可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。 4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕蠛瘮?shù)的值域?yàn)椋?5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客

17、為主來確定函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域?yàn)?例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域?yàn)?6. 函數(shù)單調(diào)性法 例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?例10. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)?7. 換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最

18、主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域?yàn)?例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)?例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)p（x）到定點(diǎn)a（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)p在線段ab上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)p在線段ab的延長線或反向延長線上時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)p為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點(diǎn)a（3，2）到點(diǎn)p（x，0）的距離與定點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差。即：由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)p在x軸上且不是直線ab與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)p恰好為直線ab與x