2022年放縮法技巧全總結(jié)(非常精辟,是尖子生解決高考數(shù)學(xué)最后一題之瓶頸之

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載2021 高考數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而布滿摸索性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查同學(xué)的潛能與后繼學(xué)習(xí)才能，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材；這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀看所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深化剖析其特點，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項放縮例 1.1求n22k 1 4k的值;2 求證:1n15 .2k 1 k3解析:1由于24n 212n21 2n112n11n22n1,所以n22k 1 4 k1112 n12n2 n12由于 114211,所以112 111125

2、12nn 2144n 212n12n1k 1 k352n12 n133奇巧積存 :1 1n 244 n244n21122n112n121c 1 c22n1nn11nn11nn13 tr 1r1cnn rn. r . n1r .nr11r .r r1n 1n1r11 r2r4 151 nn1111121321115n n12(6) 1n2n2n 2 n12n12nn27 2n1n 91k n1kn12n111kknn11,n1 nn811 k212n12n311k1 nn12 n2 n11 k11 2 n 12 n13 2 n10 nn1 .1n .n11 .111n2 2n12n12 22n

3、12n 12n1n122nnn11222n2nnnn2n 1nn 111n 1nn22121 2121 2221 212121121 n 311nn1 n1n n1nn1n1n1n11n11n1n n211111n1n113 2 n 1n12 nn2 23n1 232nnnn321221312 n2n1314k. kk21.k2.1k1 .1k2 .151n n1nn1n222222222(15) i1j1ijij1ijij i1j1i1j1例 2.1 求證:11132522 求證: 111 2n171 26111n22 2n114(3) 求證: 116361 31 3 54n 224n1 3

4、 5 2n12n112(4) 求證：2 42 n2 4 6111122 4 6113n2n2 2n11解析:1由于12 n122n11 2n 1112 2n 112n 1,所以ni 1 2i11 211 12 312n 111 12 312n 12 1114163611 11224n4211 1112n4n(3) 先運用分式放縮法證明出1 3 52n11, 再結(jié)合1進(jìn)行裂項 ,最終就可以得到答案2 4 62n2n1n2nn 2(4) 第一 1n2 n1n2n1n,所以簡單經(jīng)過裂項得到2 n11111123n再 證12 2 n 1n2 n 12 22n12n12n1n2而 由 均 值 不 等 式

5、 知 道 這 是 顯 然 成 立 的 ， 所 以121112312n2n11例 3. 求證: n6n1115211 2n149n3解析:一方面 :由于 1n 21n 21444 n21122n112n1, 所以n11k2k 1另一方面 :1112 11351112 n1112n1112533111n49n 22334nn1n1n1當(dāng) n3 時,nn16 nn1 2n,當(dāng) n11 時,n6n1111 ,1 2n149n2當(dāng) n2 時, n6n6n1111 2n149111121 ,所以綜上有n25 n12n149n3例 4.2021 年全國一卷 設(shè)函數(shù)f xxx ln x . 數(shù)列a 滿意 0a

6、1 . af a . 設(shè) b a，1，整數(shù)a1b . 證明: ak 1b .n1n 1n1ka1 ln b解析:由數(shù)學(xué)歸納法可以證明an是遞增數(shù)列 ,故存在正整數(shù) mk, 使amb ,就ak 1akb ,否就如 ambmk ,就由 0a1amb 1 知am ln ama1 ln ama1 ln b0 , ak 1akak ln akka1am ln amm 1,由于kam ln amm 1k a1 ln b ,于是 ak 1a1k | a1 ln b |a1ba1b例 5.已知 n, mn , x1, sm1m2m3mnm , 求證:nm 1m1 snn1m 11 .解析:第一可以證明 : 1

7、x n1nxnm 1nm 1 n1 m 1n1m 1n2 m 11m 10n km 1k 1 k1 m1 所以要證nm 1m1sn n1 m 11 只要證 :n k m 1k 1k1m 1 nm1k m k 1n1m 11 n1m 1nm 1nm 1n1m 12 m 11 m 1n kk 11 m 1km 1 故只要證n k m 1k 1k1m 1nm1k m k 1n kk 11m 1k m 1 ,即等價于k m 1 k1 m 1m1k mk1m 1k m ,即等價于 1m1k11 m ,1m11kk11 m 1k而正是成立的 ,所以原命題成立 .n例 6. 已知 a4n2n ,tn2na1

8、a2,求證: t1ant241t34 n 213.tn22 n 4t解析:n4142434 n21222n 14123 4n12 12 n 所以tn4 4n32n12 12n 4 n 132 n422n 132n4n 12332 n 14n 13 2n3 2n 123 2n2 2 2n 23 2 n1322t從而 1t22 n2 n1 2n1t3tn312 2n13112312n 11113712 n1132n 112x例 7. 已知 x11,nnn2k1, kz ,求證:14 x2 x3n14 x4 x51n2k, kz 14 x2n x2 n 12 n11nn *證明:41x2n x2n

9、14 2n112n114 4n2114 4n 212n22 ,由于n2 nn所以n1 ,所以41112x2n x2 n 12 n12nn2 n2 111nn1n n *4 x2x34 x4 x54 x2 nx2 n 1*二、函數(shù)放縮例 8.求證：ln 2n2ln 33ln 44ln 3nn3n35n6 n6n .解析:先構(gòu)造函數(shù)有l(wèi)n x1 , 從而 ln 2ln 3ln 4ln 3n111ln xx 11xx234313n233n1111111123456789由于 111233 n533993n 13n 1111nnn22135n66所以 ln 229ln 3318ln 4427ln 3n

10、n32 3n 13n13n5n3 n665n66例 9.求證 :12, ln 22ln 33ln n n2n22 nn1 n21解析:構(gòu)造函數(shù)ln x , 得到 ln nln n 2 ,再進(jìn)行裂項ln n 21111,求和后可以得到答案f x函數(shù)構(gòu)造形式 :xln xnn2x1, ln nn2n12n 2nn1例 10.求證 : 11231ln n1111n12n解析:提示: ln n函數(shù)構(gòu)造形式 :1ln xln n1nnn1x, ln x11 x2ln n11nlnnn1ln 2當(dāng)然此題的證明仍可以運用積分放縮學(xué)習(xí)必備歡迎下載y如圖,取函數(shù)f x1 ,xabcfn第一: s1x,從而, 1

11、 in1ln x |nnnxiln nln nide取i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,fcabon-inx所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2 , ,1nln nln n1 ,1n1ln n1) ln n ,相加后可以得到 :11231ln n1n1n另一方面 s1 ,從而有1in 1ln x |nln nln niabdexnixn in in i取i1有,1 n1ln nln n1 ,所以有l(wèi)n n 11121 ,所以綜上有 11n231ln n1111n12n例 11.求證 : 11 11 2.3.11 n.e 和 11 11 98111 e .32 n解析:

12、構(gòu)造函數(shù)后即可證明例 12.求證 : 112 1231n n1e2 n 3解析:ln n n 1 132nn 1,疊加之后就可以得到答案1函數(shù)構(gòu)造形式 :ln x 123 x0x 11 ln1 x x3 xx 1加強命題 0例 13.證明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nn *, n13解析:構(gòu)造函數(shù)4f x5ln xn 11 x411x1 ,求導(dǎo),可以得到 :f ' x121x 1xx ,令1f ' x0有 1x2 , 令f ' x0 有 x2 ,所以 f xf 20 ,所以 ln x1x2 ,令 xn21 有, ln n2n21所以 ln nn 1,

13、所以 ln 2ln 3ln 4ln nnn1) nn *, n1n 12345n 14例 14. 已知11 證明 ae2 .a11,an 11 an.nn2n2n解析:an 111nnan11n121n n 11,2 n a n然后兩邊取自然對數(shù),可以得到ln an 1ln11n n 11n ln an2然后運用ln1xx 和裂項可以得到答案 放縮思路：a n 111 n2n1n a n2ln an 1ln 11n 2n1n ln an2ln an1n 2n1 ；于是2 nln a n 1ln an1n 2n1 ，2n1 n 1n 1ln a i 1ln ai n 11 i 2i12 i ln

14、 anln a11 1 12n11122 .n2ni 1n即 ln aln a1i 12an12e2 .注：題目所給條件 ln1xx （ x0 ）為一有用結(jié)論，可以起到提示思路與探究放縮方向的作用；當(dāng)然，此題仍可用結(jié)論2 nnn1n2) 來放縮：an 111nna n11nn1an 111 111n n an 11n 1n 111，lnan 11lnan1ln1n n 1.nn 1 ln ai 1i 21ln ai1i 2i i1ln an1ln a2111n學(xué)習(xí)必備歡迎下載即 ln an11ln 3an3e1e2 .例 15.2021 年廈門市質(zhì)檢 已知函數(shù)f x 是在 0, 上到處可導(dǎo)的函

15、數(shù) ,如xf 'xf x 在 x0 上恒成立 .(i) 求證：函數(shù)g xf x x在0,上是增函數(shù)；(ii) 當(dāng) x10, x20時,證明 :f x1 f x2 f x1x2 ；(iii) 已知不等式ln1xx在x1且x0 時恒成立，求證：1 ln 22221 ln 32321 ln 4 24 21n 1 2ln n1 22nn1 n2nn* .解析:ig ' xf ' x xx 2f x0 ,所以函數(shù)g xf x x在 0 ,上是增函數(shù)ii 由于g xf x x在 0,上是增函數(shù) , 所以f x1 x1f x1x1f x 2 x2x2 x2f x1x1f x1 x2

16、x2x1f x2 x1f x1x2x 2x1x2x2 f x1x2 兩式相加后可以得到f x1 f x2 f x1x2 3f x1 x1f x1x2x1x 2xn xnf x1x1x1x2f x1x 2xnxn f x2 x2xf xn nf x1x2x1x 2xxf x1x212xn x nxxn nx 2f x2 x1x2xxnxnf x 12f x1x2xnxf x1x2nx nxn 相加后可以得到 :f x1 f x2 f xn f x1x 2xn 所以x1 ln x1x 2 ln x 2x3 ln x3xn ln xn x1x2xn lx1nx2 xn 令1,有xn1 n 22 23

17、21112232421122321 ln 221 ln 321 ln 42421n12lnn121n1 2ln1112232ln11 n 1211n 122 13 2 n 1n111n12n22nn1 n2所以 122 2 ln 21 ln 3232124 2 ln 41 n1 2 ln n1 22nn 1n nn2* .方法二 ln n 12ln n 1 2ln 4ln 411n 1 2 n 1 n2n 1 n2n 1n2所以 1ln 2 21 ln 321 ln 421ln n12ln 4 11nln 422又 ln 41324 21,所以 121 n 1 22122n2122n2n*n1

18、2 ln 222 ln 332 ln 442 ln n1n12 nn1n2 n .例 16.2021 年福州市質(zhì)檢 已知函數(shù)f xx ln x.如a0, b0, 證明 : f a a b ln 2f a bf b.解析:設(shè)函數(shù)g xf xf kx, k0f xg xxln x,x ln x kx lnkx,0xk.g xln x1 ln kx1lnx,kx令g x0, 就有 x1kx2xk0kxkxk. 2函數(shù)g x 在 k2）上單調(diào)遞增，在,k 0,k 上單調(diào)遞減 .2 g x 的最小值為kg 2，即總有g(shù)xg k. 2而 g k 2kf 2kf k2kk ln2kln kln 2f kk

19、ln 2,g xf kk ln 2,即 f xf kxf kk ln 2.令 xa, kxb, 就ka b.f af bf abab ln 2.f a ab ln 2f abf b .三、分式放縮姐妹不等式 : bab m bama 0,m0 和 bab m aamb0, m0記憶口訣 ”小者小 ,大者大 ”說明:看 b,如 b 小,就不等號是小于號 , 反之.例 19. 姐妹不等式 : 11111135112n12n1 和11 121 114611 2n12n1也可以表示成為2 4 62n和 1 3 5 2n111 3 5 2n 12 n 12 4 62n2n1解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)b

20、bm baama0, m0 可得 2 461 352n 22n12n1即 11111135112n12n12462n35 72n11352n11352n124 62n2462n2n1.例 20.證明 : 1111 11 47113n23 3n1.解析: 運用兩次次分式放縮 :2 5 83 n13 6 93n. 加 11 4 73n22 5 83n12583n14 7 10.3n11473n23 693n加 2相乘,可以得到 :2583n14 . 7103n11473n21473n22 583n12583n123n1所以有 11111147113n23 3n1.四、分類放縮例 21.求證 :11

21、1231n2 n12解析: 1112311nnbn22112n11211n n22 11 11442323nn11n222112323 例 22.2004 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,y 軸正半軸上的點列與曲線any2 x （ x 0）上的點列滿n足 oaob n1 ，直線nan bn 在 x 軸上的截距為an .點 bn 的橫坐標(biāo)為bn , nn .(1) 證明an >an 1 >4， nn ; 2證明有 n0n ，使得對 n都有 b2b3n0b1b2bnbn 1bn 1 <n bn2021 .n解析:1 依題設(shè)有： a0, 1, bb ,2b

22、, b0 ，由 ob1 得：nnnnnnn211* ,又直線a b 在 x 軸上的截距為a 滿意b 2b, b1 1,nnn nnnnn2nn2nna02b1n0 1b0 abn2n2 b1 n2 b 21n0,b2nnn1n 2bnnnnn 2 bbnbn 1n2bn1211212an22bn22bn4an1 1221n2bn12n bnn bnn bnnn明顯，對于 11nn 10 ，有 anan 14, nn *c(2) 證明：設(shè)nbn 1* ，就1, nn bn1111n2n 1 21111 12cn2nn1n2n 1 211n21 1n21n 1 212n 111 1n 22n 11

23、12n 1n1 21n 1 22122 n 1221221nn2n1n222 n1n0,cn1, nn *n2n12n設(shè)sccc, nn * ，就當(dāng) n2k21 kn * 時，s1111111111n342k12k34221232k 112k12 22212232k 112kk1 ；2所以，取 n0240092 ，對nn 都有：01b2b11b3b21bn 1bnsnsn40171022021故有 b2b3b1b2bnbn 1bn 1 < nbn2021成立；*例 23.2007 年泉州市高三質(zhì)檢 已知函數(shù)f xx 2bxcb1, cr ，如f x 的定義域為 1， 0 ，值域也為 1，

24、 0.如數(shù)列 bn 滿意 bn你的結(jié)論；f nn3 nn ，記數(shù)列 bn 的前 n 項和為tn ，問是否存在正常數(shù)a，使得對于任意正整數(shù)n 都有 ta ？并證明n解析:第一求出f xx22 x ,bnf n n3n22n1 n3n tnb1b2b311bn11 , 11211 , 1111411 , 23n3442 56788211k 1k 121221k 112kk221 , 故當(dāng) n2k 時, tn2k1,2因此，對任何常數(shù) a ，設(shè) m 是不小于 a 的最小正整數(shù)，2就當(dāng) n22m時,必有2m2.tn1ma2t故不存在常數(shù) a 使na 對全部 n2 的正整數(shù)恒成立 .例 24.2021

25、年中學(xué)教學(xué)參考 設(shè)不等式組x0,表示的平面區(qū)域為d ,設(shè)d 內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點的個數(shù)為an .設(shè)nny0,ynx3nns1an11an 21 ,a2 n當(dāng)n2 時,求證: 11117n11 .a1a2a3a2 n36n解析:簡單得到 a3n, 所以,要證 11117n11 只要證11s2n 117nn11 ,由于ns11111a1111 a2a31a n3621123212223456782n 112n 122 n111ttt37 n17n11,所以原命題得證 .22221 n五、迭代放縮2n 121212例 25. 已知 xx4n, x1, 求證:當(dāng) n2 時, nx1n 11n| xi2 |22

26、i 1解析:通過迭代的方法得到xn212n 1,然后相加就可以得到結(jié)論例 26. 設(shè)sin 1.sin 2.sin n. ,求證:對任意的正整數(shù) k,如 kn 恒有:|sn+k sn|<1sn12解析: | s2 2s | | sin n1.2 nsin n2.sin nnk |n kn2 n 12n 22n k| sinn2 n 11. | sin n2 n2.|2| sin nk |2 n k12 n 112n 212 n k1 11ccc2n 2221 111 12k2 n2k2n又 2 n11n01nn 所以| s n k11sn |n2nnnn六、借助數(shù)列遞推關(guān)系例 27.求證

27、 : 121 31 3 52 42 4 61 3 52 4 6 2n12n2n21a解析: 設(shè)n1 3 52 4 6 2n2n1) 就an 12n1an2 n12 n1) an 12nanan ,從而an2 n1 an 12 nan , 相加后就可以得到a1a2an2n1 an 12a12n11所以11 31 3 51 352n122 42 4 624 62 n2n31 2n2 2n21112n2例 28. 求證 : 11 322 41 3 52 4 61 3 52 4 62n12n2n11a解析: 設(shè)n1 3 52 4 62n1 就2nan 12n1 a2n1 n 2n11an 1 2n1a

28、nan 1,從而an 1 2 n11an 12n1 an ,相加后就可以得到a1a2an2n1a n 13a1 2n 1132n122n11例 29. 如 a11, a n 1 ann1,求證: 11a1a212 nan1 1a解析:n 2an 1n2anan 111an 1an 2ann七、分類爭論所以就有 11a1a211ana1an 1a na2a12 an 1a na22 n12例 30.已知數(shù)列 an 的前 n 項和sn 滿意 sn2an 1 ,n1. 證明：對任意的整數(shù)m4 ，有 11a4a517am8解析:簡單得到 an2 2n 23 1 n 1 .,由于通項中含有1 n，很難直

29、接放縮，考慮分項爭論：當(dāng) n3 且 n 為奇數(shù)時 1an1an 13 12 2n 2112n 1132 22n2 n 232n 12n 12n 213 2n2222 n2n 133 122n 21 2n 1（減項放縮），于是當(dāng) m4 且 m 為偶數(shù)時11a4a511 11 ama4a5a611 am 1a m13 1122 232412m 2 13 1 122 411372m 4 288 .當(dāng) m4且 m 為奇數(shù)時由 得證；1111111 （添項放縮）由 知 11117a4a5ama4a 5ama m 1a4a5a mam 18.八、線性規(guī)劃型放縮例 31. 設(shè)函數(shù)f x2x1 .如對一切 xr，3x22af xb3 ，求 ab 的最大值；解析: 由1x2 2 x12 知1即1 f x f 1 122 x 22 2 f x f 1 102f x 12由此再由f x 的單調(diào)性可以知道f x 的最小值為1 ，最大值為 12因此對一切 xr， 3af xb3 的充要條件是，13ab3 23ab3即 a ， b 滿意約束條件a b3，a b31 a b321 a b 32由線性規(guī)劃得，ab 的最大值為 5 九、均值不等式放縮例 32.設(shè) sn1 22 3nn1 . 求證 n n