高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（一）課件 北師大版選修1-1

1、第二章2拋物線2.2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等簡(jiǎn)單性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)思考1類比橢圓、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，結(jié)合圖像，你能說(shuō)出拋物線y22px(p0)中x的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？范圍x0，關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0).答案思考2參數(shù)p對(duì)拋物線開(kāi)口大小有何影響？因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)f且垂直于對(duì)稱軸的弦的長(zhǎng)度是2p，所以p越大，開(kāi)口越大.答案標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形梳理梳理性質(zhì)范圍x0，y

2、rx0，yrxr，y0 xr，y0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)_離心率e_(0，0)1知識(shí)點(diǎn)二焦點(diǎn)弦設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y22px(p0)|ab|x1x2py22px(p0)|ab|p(x1x2)x22py(p0)|ab|y1y2px22py(p0)|ab|p(y1y2)題型探究類型一拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用例例1已知拋物線的焦點(diǎn)f在x軸上，直線l過(guò)f且垂直于x軸，l與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若oab的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解答由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，所以|ab|2|m|.因?yàn)閛ab的面積為4，引申探究引申探究等腰直角三角

3、形aob內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，o為拋物線的頂點(diǎn)，oaob，則aob的面積是_.4p2答案解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接aob為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線ab與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線oa與x軸的夾角為45.所以易得a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p，2p)和(2p，2p).把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)開(kāi)口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開(kāi)口，關(guān)鍵是明確二次項(xiàng)是x 還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù).(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸.(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤

4、訓(xùn)練1已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸距離分別為10和6，求拋物線的方程.解答設(shè)拋物線的方程為y22ax(a0)，點(diǎn)p(x0，y0).因?yàn)辄c(diǎn)p到對(duì)稱軸距離為6，所以y06.因?yàn)辄c(diǎn)p到準(zhǔn)線距離為10，因?yàn)辄c(diǎn)p在拋物線上，所以362ax0， 所以所求拋物線的方程為y24x或y236x.類型二拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題例例2已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y26x的焦點(diǎn)f，且與拋物線相交于a、b兩點(diǎn).(1)若直線l的傾斜角為60，求|ab|的值；解答設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2).則x1x25.(2)若|ab|9，求線段ab的中點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離.解答所以x1x26，所以線段ab

5、的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)是3.(1)拋物線的焦半徑反思與感悟定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段焦半徑公式p(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，f為焦點(diǎn).若拋物線y22px(p0)，則|pf|x0 ；若拋物線y22px(p0)，則|pf| x0；若拋物線x22py(p0)，則|pf|y0 ；若拋物線x22py(p0)，則|pf| y0(2)過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求解方法設(shè)過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab|x1x2p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2 直線l過(guò)拋物線y2

6、4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，若|ab|8，則直線l的方程為_(kāi).答案解析xy10或xy10拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，若l與x軸垂直，則|ab|4，不符合題意.所以可設(shè)所求直線l的方程為yk(x1).所以所求直線l的方程為xy10或xy10.類型三與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題解答例例3設(shè)p是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，f為拋物線的焦點(diǎn).(1)求點(diǎn)p到點(diǎn)a(1，1)的距離與點(diǎn)p到直線x1的距離之和的最小值；如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為f(1，0)，準(zhǔn)線方程是x1.由拋物線的定義知，點(diǎn)p到直線x1的距離等于點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離.于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)p，使點(diǎn)p到點(diǎn)a(1，1)的距離與點(diǎn)p

7、到f(1，0)的距離之和最小.解答(2)若點(diǎn)b的坐標(biāo)為(3，2).求|pb|pf|的最小值.過(guò)點(diǎn)b作bq垂直于準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)q，交拋物線于點(diǎn)p1，連接p1f.此時(shí)，由拋物線定義知，|p1q|p1f|.所以|pb|pf|p1b|p1q|bq|314，即|pb|pf|的最小值為4.拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對(duì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等.反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3已知點(diǎn)p是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)p到點(diǎn)a(0，2)的距離與點(diǎn)p到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和

8、的最小值為答案解析如圖，由拋物線定義知|pa|pq|pa|pf|，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|pa|pf|的最小值，則當(dāng)a、p、f三點(diǎn)共線時(shí)，|pa|pf|取得最小值.(|pa|pf|)min|af|當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)ab垂直于對(duì)稱軸時(shí)，|ab|取最小值，此時(shí)ab為拋物線的通徑，長(zhǎng)度等于2p.1.設(shè)ab為過(guò)拋物線y22px (p0)的焦點(diǎn)的弦，則|ab|的最小值為a. b.pc.2p d.無(wú)法確定答案解析234512.設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)p到該拋物線焦點(diǎn)的距離是a.4 b.6 c.8 d.1223451由拋物線的定義可知，點(diǎn)p到拋物線焦點(diǎn)的距離是426.答案解析234513.已知拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則此拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最小值為a.1 b.2 c.3 d.4由題意知拋物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短，故最小值為2.答案解析234514.過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為a.8 b.16 c.32 d.61答案解析由y28x得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，由此直線方程為yx2，設(shè)交點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，由方程知x1x212，弦長(zhǎng)|ab|x1x2p12416.5.正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22px(p0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng).解答23451如圖oab為正三角形