2022年數(shù)列知識(shí)點(diǎn)所有性質(zhì)總結(jié),推薦文檔

1、- 1 - 一、等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的定義：daann1（d為常數(shù)）（2n） ；2等差數(shù)列通項(xiàng)公式：*11(1)()naanddnad nn，首項(xiàng):1a，公差 :d ，末項(xiàng) :na推廣：dmnaamn)(從而mnaadmn；3等差中項(xiàng)（1）如果a，a，b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項(xiàng)即：2baa或baa2（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列na是等差數(shù)列)2(211 -naaannn212nnnaaa4等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n2anbn（其中 a、b是常數(shù)，所以當(dāng)d0時(shí)， sn是關(guān)于 n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)

2、21n時(shí)，1na是項(xiàng)數(shù)為2n+1 的等差數(shù)列的中間項(xiàng)12121121212nnnnaasna（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5等差數(shù)列的判定方法（1） 定義法：若daann1或daann 1( 常數(shù)nn)na是等差數(shù)列（2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列na是等差數(shù)列)2(211-naaannn212nnnaaa數(shù)列na是等差數(shù)列bknan（其中bk,是常數(shù)）。（4）數(shù)列na是等差數(shù)列2nsanbn, （其中 a、b是常數(shù)）。6等差數(shù)列的證明方法定義法：若daann1或daann 1( 常數(shù)nn)na是等差數(shù)列7. 提醒 ：（1） 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5 個(gè)元素：1a、

3、d、n、na及ns，其中1a、d稱作為基本元素。只要已知這5 個(gè)元素中的任意3 個(gè)，便可求出其余2 個(gè)，即知3 求 2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)1(1)naand奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，2 , ,2ad ad a ad ad（公差為d） ；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，3 ,3ad ad ad ad, （ 注意；公差為2d）8. 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差0d時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式11(1)naanddnad是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和211(1)()222nn nddsnadnan是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. （2）若公差0d，則為遞增等差數(shù)列，若公差0d，則為遞減等差數(shù)列

4、，若公差0d，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)mnpq時(shí), 則有qpnmaaaa，特別地，當(dāng)2mnp時(shí)，則有2mnpaaa. 注：12132nnnaaaaaa，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - 2 - （4）若na、nb為等差數(shù)列，則12nnnabab，都為等差數(shù)列(5) 若na是等差數(shù)列，則232,nnnnnsssss，也成等差數(shù)列（6）數(shù)列na為

5、等差數(shù)列 ,每隔 k(k*n)項(xiàng)取出一項(xiàng) (23,mm kmkmkaaaa)仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列na是等差數(shù)列， d 為公差，奇s是奇數(shù)項(xiàng)的和，偶s是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，ns是前 n 項(xiàng)的和1. 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)n2時(shí)，121135212nnnn aasaaaana奇22246212nnnn aasaaaana偶11nnnnssnanan aa偶奇11nnnnsnaasnaa奇偶2、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)12n時(shí)，則21(21)(1)1nsssnasnasnssasnasnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1 的等差數(shù)列的中間項(xiàng)） （8） 、nb的前n和分別為na、nb，且(

6、 )nnaf nb，則2121(21)(21)(21)nnnnnnanaafnbnbb. （9）等差數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和msn，前 m 項(xiàng)和nsm，則前 m+n 項(xiàng)和m nsmn(10) 求ns的最值法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)， 故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性*nn。法二： （1） “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng)，001da由001nnaa可得ns達(dá)到 最大值 時(shí)的n值（2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng)，001da由001nnaa可得ns達(dá)到 最小值 時(shí)的n值或求na中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接

7、利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，ns取最大值（或最小值） 。若s p = s q則其對(duì)稱軸為2pqn注意：解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于1a和d的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量二、等比數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 6 頁(yè) - -

8、 - - - - - - - 3 - 1. 等比數(shù)列的定義：*12,nnaq qnnna0且，q稱為 公比2. 通項(xiàng)公式：11110,0nnnnaaa qqa baqa bq，首項(xiàng)：1a；公比：q推廣：nmnmaa q，從而得n mnmaqa或nn mmaqa3. 等比中項(xiàng)（1）如果,a a b成等比數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項(xiàng)即：2aab或aab注意： 同號(hào)的 兩個(gè)數(shù) 才有 等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè) （兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列na是等比數(shù)列211nnnaaa4. 等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和ns公式：(1) 當(dāng)1q時(shí)，1nsna(2) 當(dāng)1q時(shí)，11111nnnaqaa qs

9、qq1111nnnaaqaa ba baqq（,a b a b為常數(shù)）5. 等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對(duì)任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaq qaa或?yàn)槌?shù)，na為等比數(shù)列（2） 等比中項(xiàng)：211nnnaaa（11nnaa0）na為等比數(shù)列（3） 通項(xiàng)公式：0nnaa ba bna為等比數(shù)列（4） 前 n 項(xiàng)和公式：,nnnnsaa bsa baa b a b或?yàn)槌?shù)na為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若*12,nnaq qnnna0且或1nnaqana為等比數(shù)列7. 注意（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5 個(gè)元素：1a、q、n、na及ns，其中1a、q

10、稱作為基本元素。只要已知這5 個(gè)元素中的任意3 個(gè)，便可求出其余2 個(gè)，即知3 求 2。（2） 為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；11nnaa q如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，22, ,aaa aq aqqq（公比為q，中間項(xiàng)用a表示） ；8. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 當(dāng)1q時(shí)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - 4 - 等比數(shù)列通項(xiàng)

11、公式1110nnnnaaa qqa ba bq是關(guān)于 n 的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底為公比q前 n 項(xiàng)和1111111111nnnnnnaqaa qaasqaa ba baqqqq，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q(2) 對(duì)任何 m,n*n,在等比數(shù)列na中,有n mnmaa q,特別的 ,當(dāng) m=1 時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此 ,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t*n),則nmstaaaa.特別的 ,當(dāng) n+m=2k 時(shí),得2nmkaaa注：12132nnnaaaaa a(4) 列na,nb為等比數(shù)列 ,則數(shù)列

12、nka,nk a,kna,nnk abnnab(k 為非零常數(shù) ) 均為等比數(shù)列. (5) 數(shù)列na為等比數(shù)列 ,每隔 k(k*n)項(xiàng)取出一項(xiàng) (23,mm kmkmkaaaa)仍為等比數(shù)列(6) 如果na是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 ,則數(shù)列l(wèi)ogana是等差數(shù)列(7) 若na為等比數(shù)列 ,則數(shù)列ns，2nnss，32,nnss，成等比數(shù)列(8) 若na為等比數(shù)列 ,則數(shù)列12naaa, 122nnnaaa, 21223nnnaaa成等比數(shù)列(9) 當(dāng)1q時(shí)，當(dāng)1q0時(shí)，1100nnaaaa，則為遞增數(shù)列，則為遞減數(shù)列, 1100nnaaaa，則為遞減數(shù)列，則為遞增數(shù)列當(dāng) q=1 時(shí),該數(shù)列為常

13、數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當(dāng) q0 時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列 . (10)在等比數(shù)列na中, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為 2n (n*n)時(shí),1ssq奇偶,.(11)若na是公比為 q 的等比數(shù)列 ,則nn mnmssqs三、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較等差數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列性質(zhì)1、定義n+1na-a =d(n1)；nn-1a -a=d(n2)n+1na=q(n1)a,nn-1a=q(n2)a2、通項(xiàng)公式1(1)naand() (,)nmaanmd n mnqaaqaamnmnnn11精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - -

14、- - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - 5 - 3、前 n 項(xiàng)和dnnnnasaasnnn2)1(2)(11n1n11nnq=1 , s =na ;a (1-q )a -a qq1,s = =1-q1-q4、中項(xiàng)a、 a、b 成等差數(shù)列a=a+b2；na是其前 k 項(xiàng)n-ka與后 k 項(xiàng)n+ka的等差中項(xiàng)，即：na=n-kn+ka+a2a、a、b 成等比數(shù)列abaa（不等價(jià)于2a =ab，只能）; na是其前 k 項(xiàng)n-ka與后 k 項(xiàng)n+ka的等比中項(xiàng)，即：2nn-k

15、n+ka =aa5、下標(biāo)和公式若 m+n=p+q,則aaaaqpnm特別地 , 若 m+n=2p,則aaapnm2若 m+n=p+q,則aaaaqpnm特別地 , 若m+n=2p,則aaapnm26、首尾項(xiàng)性質(zhì)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第 k 項(xiàng)的和等于首尾兩項(xiàng)的和 , 即：aaaaaaknknn)1(121等比數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k 項(xiàng)的積等于首尾兩項(xiàng)的積, 即：aaaaaaknknn)1(1217、結(jié)論an 為等差數(shù)列 , 若 m,n,p 成等差數(shù)列 , 則aaapnm,成等差數(shù)列an 為等比數(shù)列 , 若 m,n,p 成等差數(shù)列 ,則aaapnm,成等比數(shù)列（兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列）等差

16、數(shù)列 an,bn的公差分別為ed,則數(shù)列bann仍為等差數(shù)列，公差為ed（兩個(gè)等比數(shù)列的積仍是等比數(shù)列）等比數(shù)列 an,bn的公比分別為qp,則數(shù)列 bann仍為等比數(shù)列，公差為pq取出等差數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為d2取出等比數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為q2若mna =n,a =m(mn),則0m na無(wú)此性質(zhì)；若mns =n,s =m(mn),則)m nsmn（無(wú)此性質(zhì)；若0),(sssmmnmnm則無(wú)此性質(zhì)；,232sssssmmmmm成等差數(shù)列，公差為dm2,232sssssmmmmm成等差數(shù)列，公比為qm當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)n2時(shí)

17、，ndss奇偶當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)n2時(shí)，qss奇偶當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)12n時(shí)，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - 6 - aassnn1偶奇當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)12n時(shí)，ass中偶奇asnn中) 12(12，1nnss偶奇sasq偶奇18、等差 ( 等比 )數(shù)列的判斷方法定義法：12nnaadn等差中項(xiàng)概念；1122nnnaaan函數(shù)法：(, 為常數(shù) )napnq p q關(guān)于 n 的一次函數(shù)數(shù)列na是首項(xiàng)為p+q，公差為p0的等差數(shù)列；數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和形如2nsanbn(a，b 為常數(shù) )，那么數(shù)列an是等差數(shù)列，定義法：1nnaqa等差中項(xiàng)概念；221(