2022年數(shù)學(xué)試題練習(xí)題考試題教案高一數(shù)學(xué)教案：蘇教版高一數(shù)學(xué)正弦定理余弦定理

1、精心整理歡迎下載第四課時正弦定理、余弦定理（二）教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握正、余弦定理應(yīng)用，進(jìn)一步熟悉三角函數(shù)公式和三角形中的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題；通過正、余弦定理在解三角形問題時溝通了三角函數(shù)與三角形有關(guān)性質(zhì)的功能，反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系及一定條件下的相互轉(zhuǎn)化教學(xué)重點：正、余弦定理的綜合運(yùn)用教學(xué)難點：1.正、余弦定理與三角形性質(zhì)的結(jié)合；2.三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系教學(xué)過程：.復(fù)習(xí)回顧上一節(jié)課，我們一起研究了正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在證明三角恒等式及判斷三角形形狀時的應(yīng)用，這一節(jié)，我們將綜合正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)

2、來求解三角形問題.首先，我們一起回顧正、余弦定理的內(nèi)容. .講授新課例 1在 abc 中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2 倍，求此三角形的三邊長 . 分析：由于題設(shè)條件中給出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角關(guān)系.其中 sin2 利用正弦二倍角展開后出現(xiàn)了cos ， 可繼續(xù)利用余弦定理建立關(guān)于邊長的方程，從而達(dá)到求邊長的目的. 解：設(shè)三角形的三邊長分別為x，x1，x2，其中 xn*，又設(shè)最小角為 ，則xsinx2sin2x22sin cos， cos x22x又由余弦定理可得x2（ x1）2（ x2）22（x1） （x2）cos將代入整理得x23x40 解之得 x1

3、4，x2 1（舍）所以此三角形三邊長為4，5，6. 評述： （1）此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長的方程；（2）在求解過程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)三角公式的工具性作用，以引起學(xué)生對三角公式的重視. 例 2如圖，在 abc 中， ab4 cm ，ac3 cm，角平分線ad 2 cm，求此三角形面積 . 分析：由于題設(shè)條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式sabc12ab ac sina，需求出sina，而 abc 面積可以轉(zhuǎn)化為s adc s adb，而sadc12ac adsina2，s adb12精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

4、 - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載ab ad sina2，因此通過sabcsadcsadb建立關(guān)于含有sina，sina2的方程，而sina2sina2cosa2，sin2a2cos2a21，故 sina 可求，從而三角形面積可求. 解：在 abc 中， s abcs adbs adc，12ab acsina12 ac ad sina212 ab adsina212 4 3sina12 3 2sina2， 6sina7sina212sina2cosa27sina2sina20 ， cosa2712，又 0a ， 0

5、a22sina21cos2a29512，sina2sina2cosa279572，sabc12 4 3sina79512（cm2）. 評述：面積等式的建立是求sina 的突破口，而sina 的求解則離不開對三角公式的熟悉.由此啟發(fā)學(xué)生在重視三角形性質(zhì)運(yùn)用的同時，要熟練應(yīng)用三角函數(shù)的公式.另外，在應(yīng)用同角的平方關(guān)系sin2 cos2 1 時，應(yīng)對角所在范圍討論后再進(jìn)行正負(fù)的取舍. 例 3已知三角形的一個角為60 ，面積為 103 cm2，周長為 20 cm，求此三角形的各邊長 . 分析：此題所給的題設(shè)條件除一個角外，面積、周長都不是構(gòu)成三角形的基本元素，但是都與三角形的邊長有關(guān)系，故可以設(shè)出邊長

6、，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長為三個未知數(shù)， 所以需尋求三個方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60 角的余弦， 其二可用面積公式s abc12absinc 表示面積，其三是周長條件應(yīng)用. 解：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、 c，b60 ，則依題意得cos600a2c2b22ac12ac sin600 10 3 a bc20b2 a2c2ac ac40 abc 20 由式得b2 20（ ac） 2400a2c22ac40（ac）將代入得4003ac40（ac） 0 再將代入得ac 13 由ac40ac13，解得a15c18或a28c25精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

7、 - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載b17，b27 所以，此三角形三邊長分別為5 cm， 7 cm，8 cm. 評述：（1）在方程建立的過程中，應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應(yīng)用；（2）由條件得到的是一個三元二次方程組，要注意要求學(xué)生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運(yùn)算能力. 例 4在 abc 中， ab5，ac3，d 為 bc 中點，且ad4，求 bc 邊長 . 分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)bc 為 x 后，建立關(guān)于x 的方程 .而正弦定理涉及到兩個角，故

8、不可用.此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用.因為d 為bc 中點，所以bd、dc 可表示為x2，然后利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程. 解：設(shè) bc 邊為 x，則由 d 為 bc 中點，可得bddcx2，在adb 中， cosadbad2bd2ab22ad bd42（x2）2522 4x2在adc 中， cosadcad2dc2ac22ad dc42（x2）2322 4x2又 adb adc180cosadbcos（180 adc） cosadc . 42（x2）2522 4x242（x2）2322 4x2解得， x2 所以， bc 邊長為 2. 評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦

9、定理建立方程的功能，體會互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型. 另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sina，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得abacbddc53， 設(shè) bd5k， dc3k，則由互補(bǔ)角 adc、adb 的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出bc 后，再結(jié)合余弦定理求出cosa，再由同角平方關(guān)系求出sina. 為鞏固本節(jié)所學(xué)的解題方法，下面我們進(jìn)行課堂練習(xí). .課堂練習(xí)1.半徑為 1 的圓內(nèi)接三角形的面積為0.25，求此三角形三邊長的乘積. 解：設(shè) abc 三邊為 a，b，c. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

10、- - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載則 sabc12acsinbsabcabcacsinb2abcsinb2b又bsinb2r，其中 r 為三角形外接圓半徑sabcabc14rabc4rsabc4 1 0.251 所以三角形三邊長的乘積為1. 評述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：asinabsinbcsinc2r，其中 r 為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式sabc12acsinb 發(fā)生聯(lián)系，對abc 進(jìn)行整體求解 . 2.在abc 中，已知角b45 ，d 是 bc 邊上一點， ad5，ac7

11、，dc3，求 ab. 解：在 adc 中，coscac2dc2ad22ac dc7232522 7 31114，又 0c180 ， sinc5 314在abc 中，acsinbabsincabsincsinbac5 3142 75 62. 評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用. 3.在abc 中，已知 cosa35，sinb513，求 cosc 的值 . 解： cosa3522cos45 ，0 a45 a90 ， sina45sinb51312sin30 ，0b0 b30 或 150 b180若 b150 ，則 ba180 與題意不符

12、. 0 b30 cosb1213cos（a b） cosa cosbsina sinb351213455131665精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載又 c180 （ ab）. cosc cos180 （ ab） cos（ab）1665. 評述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較. .課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式

13、及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力. .課后作業(yè)1在三角形中，三邊長為連續(xù)自然數(shù)，且最大角是鈍角，那么這個三角形的三邊長分別為. 答案： 2，3，4 2已知方程a（1x2） 2bxc（1x2） 0 沒有實數(shù)根，如果a、b、c 是abc 的三條邊的長，求證abc 是鈍角三角形. 備課資料1.正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得sin2a sin2bsin2c2sinbsinccosa. 這是只含有三角形三個角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，下面舉

14、例說明之 . 例 1在 abc 中，已知sin2bsin2csin2a3 sinasinc，求 b 的度數(shù) . 解：由定理得sin2b sin2asin2c2sinasinccosb 2sinasinccosb3 sinasincsinasinc0 ， cosb32b150例 2求 sin210 cos240 sin10 cos40 的值 . 解：原式 sin210 sin250 sin10 sin50 在 sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa 中，令 b10 ，c50 ，則 a120 . sin2120 sin210 sin250 2sin10 sin50 cos120

15、sin210 sin250 sin10 sin50 （32）234. 例 3在 abc 中，已知2cosbsincsina，試判定 abc 的形狀 . 解：在原等式兩邊同乘以sina 得 2cosbsinasincsin2a，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載由定理得sin2asin2csin2bsin2a，sin2csin2b bc故abc 是等腰三角形. 2.一題多證例 4在 abc 中已知 a2bcosc，求證： abc 為等腰三角形. 證法一：欲證 abc

16、為等腰三角形 .可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù).由正弦定理得absinasinb2bcoscbsinasinb，即 2cosc sinbsinasin（bc） sinbcosccosbsinc. sinbcosc cosbsinc0，即 sin（b c） 0， bcn （ nz）. b、c 是三角形的內(nèi)角，bc，即三角形為等腰三角形. 證法二：根據(jù)射影定理，有abcoscccosb，又 a2bcosc 2bcoscbcoscccosbbcoscccosb，即bccosbcosc. 又bcsinbsinc. sinbsinccosbcosc，即 tanbt

17、ancb、c 在abc 中， bc abc 為等腰三角形. 證法三： cosca2b2c22ab及 cosca2b，a2b2c22aba2b，化簡后得b2c2. b c abc 是等腰三角形. 3.參考例題例 1在 abc 中，若cosacosbba，試判斷 abc 的形狀 . 解：由已知cosacosbba及正弦定理得cosacosbsinbsinasin2a=sin2b2a 2b 或 2a2b ，即 ab 或 a b2，故abc 為等腰三角形或直角三角形. 例 2已知 abc 的三個內(nèi)角a、b、c 依次成等差數(shù)列，又三邊a、 b、c 依次成等比數(shù)列，求證：該三角形為正三角形. 證法一： a

18、、 b、c 成等差數(shù)列，則2bac，又 abc180 ， 3b180 ， b60 ，再由 a、b、c 成等比數(shù)列，可得b2ac，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載因此用余弦定理b2a2c22accosb， aca2c22ac12，即（ ac）20， ac，ac又 b60 ， abc 為正三角形 . 證法二： a、 b、c 成等差數(shù)列，則2bac，又 abc180 ， 3b180 ， b60 ，再由 a、b、c 成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，于是 baq， caq2，cos

19、ba2 c2 b22ac，即12a2（ aq2）2（ aq）22a（aq2）整理得 q42q210，解得 q2 1，q1 q1，三邊長相等故三角形為正三角形. 例 3在 abc 中，若 a2tanb=b2tana，試判斷 abc 的形狀 . 解法一： a2tanb=b2tana，a2b2tanatanbsina cosbsinb cosa由正弦定理得sinasinbab由余弦定理得cosba2c2b22ac, cosab2c2a22bc, 把式代入式得a2b2aba2c2b22acb2c2a22bca2c2b2b2c2a2，整理得（ a2 b2） （c2a2b2） 0，ab 或 a2b2c2.

20、 abc 是等腰三角形或直角三角形. 解法二：由已知及正弦定理可得（ksina）2sinbcosb（ ksinb）2sinacosa，2sinacosa2sinbcosb sin2asin2b2a 2b 或 2a 2b即 ab 或 ab2精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載 abc 是等腰或直角三角形. 4.參考練習(xí)題1.在abc 中，若 sinasinbsinccosbcosc，試判斷 abc 的形狀 . 解： sinasinbsinccosbcosc， cosb

21、coscsinbsincsina，應(yīng)用正、余弦定理得a2c2b22aca2b2c22abb ca，b（a2c2b2） c（a2b2c2） 2bc（bc） ，a2（bc）（ bc） （b22bcc2） 2bc（bc）即 a2 b2 c2故abc 為直角三角形. 2.在abc 中，角 a、b、c 的對邊分別為a、b、c，求證：a2b2c2sin（ab）sinc. 證明：由a2b2c22bccosa. b2 a2 c2 2accosb兩式相減得a2b2c（acosbbcosa） ，a2b2c2acosbbcosac2. 又acsinasinc，bcsinbsinc，a2b2c2sinacosbsin

22、bcosasincsin（ab）sinc. 3.在abc 中，若（ abc） （bca）bc，并且 sina 2sinbcosc，試判斷 abc 的形狀 . 解：由已知條件（abc） （b ca） bc 及余弦定理得cosab2c2a22bc（ abc）（ b ca）2（a bc）（ bca）12a60又由已知條件sina2sinbcosc 得 sin（bc） sin（b c） sin（bc）sin（ cb） 0， bc于是有 abc60 ，故abc 為等邊三角形. 正弦定理、余弦定理精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11

23、頁 - - - - - - - - -精心整理歡迎下載1在 abc 中，已知 a1050，b300，b22 ，則 c 等于（）a.2 b.22 c.4 d.42 2一個三角形的三邊之長分別是3、5、7，則最大角為（）a.arccos1114b.150c.arccos1314d.1203在 abc 中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個解的是（）a.b10，a45， c70b.a60，c48，b60c.a7，b5，a80d.a14，b16，a454在 abc 中，若 sin2asin2bsin2c sinbsinc，則角 a 等于（）a. 3b. 23c. 34d. 565在 abc 中，若 ac

24、osabcosb，則 abc 的形狀是（）a.等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形6在 abc 中，已知c 102 ，c60， a2033，則 a. 7在 abc 中，已知三邊滿足（abc)(ab c) 3ab，則 c 等于. 8在 abc 中，若a2b2tanatanb，則 abc 是. 9在 abc 中，已知b135， c15， a5，那么此三角形的最大邊的長是. 10在 abc 中，已知a3 ，b2 ，b45，求 a，c 及 c. 11已知 abc 中， sinasinb sinc(3 1)(3 1)10 ，求最大角 . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -