B-知識講解-直線與雙曲線的位置關(guān)系(理)

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系【學習目標】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；2.能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題；3.能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.【知識網(wǎng)絡】雙曲線雙曲線的定義雙曲線的幾何直線與雙曲線的位雙曲線的綜合與標準方程性質(zhì)置關(guān)系問題雙曲線離心率雙曲線的弦問題及漸近線問題【要點梳理】要點一、雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義在平面內(nèi)， 到兩個定點F1 、 F2 的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a（ a 大于 0 且 2aF1 F2 ）的動點 P 的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點F1 、

2、 F2 叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.雙曲線的標準方程：焦點在 x 軸上的雙曲線的標準方程x2y2a2b21(a0, b0)說明：焦點是F 1(-c， 0)、 F2(c， 0)，其中 c2=a2-b2焦點在 y 軸上的雙曲線的標準方程y2x2a2b2 1(a 0,b 0)說明：焦點是F 1(0， -c)、 F2(0， c)，其中 c2=a2-b2要點詮釋： 求雙曲線的標準方程應從“定形 ”、“定式 ”和 “定值 ”三個方面去思考. “定形 ”是指對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，焦點在哪條坐標軸上；“定式 ”根據(jù) “形 ”設(shè)雙曲線方程的具體形式； “定量 ”是指用定義法

3、或待定系數(shù)法確定a,b 的值 .要點二、雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程x2y21(a 0, by2x21( a 0, b 0)a2b20)b2a2圖形焦點F1 ( c,0) ， F2 (c,0)F1 (0,c) ， F2 (0, c)焦距| F1F2 | 2c (ca2b2 )| F1F2 | 2c (ca2b2 )范圍 x x a或 xa ， y R y y a或ya ， x R對稱關(guān)于 x 軸、 y 軸和原點對稱性性質(zhì)頂點( a,0)(0,a)軸實軸長 = 2a ，虛軸長 = 2b離心ec ( e 1)率a漸近ybyaxx線方程ab要點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程

4、 ykx m 與雙曲線的方程x2y21(a 0, b 0) 聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于xa2b2或 y 的一元二次方程，其判別式為.(b2a2 k 2 ) x22a 2mkxa2 m2a2b20若 b2a2 k20, 即 kb ，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；a若 b2a2 k20, 即 kb ，a 0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點； 0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點； 0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線 ykx m 交雙曲線 x2y21 (a 0, b 0) 于點 P1 ( x1 , y1 ), P2 (

5、x2 , y2 ), 兩點，則a2b2|PP12|(x1 x2 ) 2( y1 y2 )2=( x1 x2 ) 2 1 ( y1y2 ) 2 = 1 k2 | x x|x1x212同理可得112|1k 2 | y1 y2 | (k 0)| PP這里 | x1x2 |, | y1y2|, 的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：| x1x2 |( x1x2 ) 24x1 x2| y1y2 |( y1y2 )24y1 y2雙曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“韋達定理 ”或 “點差法 ”求解 .在雙曲線 x2y21 (a 0, b 0) 中，以 P( x0 , y0 ) 為中點的弦所在直線的斜率kb

6、2 x0 ；a2b2a2 y0涉及弦長的中點問題，常用 “點差法 ”設(shè)而不求， 將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.要點四、雙曲線的實際應用與最值問題對于雙曲線的實際應用問題，我們要抽象出相應的數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型，一般要先建立直角坐標系，然后利用雙曲線定義，構(gòu)建參數(shù)a,b,c 之間的關(guān)系，得到雙曲線方程，利用方程求解雙曲線中的最值問題，按照轉(zhuǎn)化途徑主要有以下三種：（ 1）利用定義轉(zhuǎn)化（ 2）利用雙曲線的幾何

7、性質(zhì)（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值【典型例題】類型一：雙曲線的方程與性質(zhì)例 1.設(shè) F 1、 F2 是雙曲線 x2y21 1(a>0， b>0)的兩個焦點，點P 在雙曲線上，若 PF1 PF20 ，且a2b2PF1 PF22ac ，其中 ca2b2，求雙曲線的離心率【解析】由雙曲線定義知，|PF 1| |PF2|2a，222， |PF1| |PF2| 2|PF 1| |PF·2| 4a又 |PF 1|2 |PF2|2 4c2， |PF 1| ·|PF 2|2b2，又 PF1 PF22ac ， 2ac 2b2， b2 c2 a2 ac， e2 e 1 0， e 15 ，2

8、15即雙曲線的離心率為.2【總結(jié)升華】根據(jù)雙曲線的定義，幾何性質(zhì)，找到幾何量的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式 1】求下列雙曲線的標準方程(1)與橢圓x2y21共焦點，且過點 (2，10 )的雙曲線；1625x2y2(3 2 ， 2)的雙曲線(2)與雙曲線1 有公共焦點，且過點164【答案】 (1) 橢圓 x2y21的焦點為 (0， ±3)，1625所求雙曲線方程設(shè)為：y2x21 ，a29 a2又點 ( 2， 10)在雙曲線上， 10941 ，解得 a2 5 或 a2 18(舍去 ) a2a2所求雙曲線方程為y2y21 .54x2y25 ，0)，(2)雙曲線1 的焦點為 (

9、 ±2164設(shè)所求雙曲線方程為：x2y21 ，a220 a2又點 (32 ， 2)在雙曲線上， 184a21，解得 a2 12 或 30(舍去 )，a220x2y2所求雙曲線方程為1.128【變式 2】設(shè)雙曲線焦點在x 軸上，兩條漸近線為y ±1x，則該雙曲線的離心率為 ()2A 5B. 555C.D.24【答案】 C類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系例 2 已知雙曲線 x2y2=4，直線 l： y=k(x1) ，討論直線與雙曲線公共點個數(shù) .【思路點撥】直線與曲線恰有一個交點，即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解.【解析】聯(lián)立方程組yk (x1)x 2y 2消去 y，

10、并依 x 聚項整理得：42222(1k )·x+2k xk4=025 ，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個公k =0 即 k=±1 時，方程可化為2x=5 ，x=(1)當 12共點 (實質(zhì)上是直線與漸近線平行時的兩種情況，相交但不相切).k20時，即 k±1，此時有=4·(43k2)若 4 22 1)，(2)當 13k >0(k則 k23,1( 1,1)1,2 3，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點.332223 ，方程組有解，故直線與雙曲線有一個公共點(相切的情況 ).3k =0( k 1)，則 k=±(3)若 43(4)若 4

11、3k2<0 且 k2 1則 k2323，方程組無解，故直線與雙曲線無交點.,4,3綜上所述，當k=±1 或 k=±23 時，直線與雙曲線有一個公共點；3當 k23 ,1( 1,1)1,2 3時，直線與雙曲線有兩個公共點；33當 k,2323 ,時，直線與雙曲線無公共點 .33【總結(jié)升華】 本題通過方程組解的個數(shù)來判斷直線與雙曲線交點的個數(shù)，2學方法 分類討論，而且是“雙向討論 ”，既要討論首項系數(shù)1 k 是否為具體操作時， 運用了重要的數(shù)0，又要討論的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖 ”如圖：舉一反三：【變式 1】過原點的直線l 與雙曲線x 2y 2=1 交于

12、兩點，則直線l 的斜率取值范圍是( )43A.3 ,3B.,33 ,2222C.3 ,3D.,33 ,3222【答案】 B【變式 2】直線 y=x+3 與曲線 1x·|x|+1y2=1 的交點個數(shù)是()x9A.0B.1C.2【答案】 D例 3.過點 P(7,5) 與雙曲線 x2y21 有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。725【思路點撥】顯然采用過 P 點的直線方程與雙曲線方程x2y21聯(lián)立的方法，但要注意直線斜率不存在的情況要725先判斷?！窘馕觥咳糁本€的斜率不存在時，則x7，此時僅有一個交點(7,0)，滿足條件；若直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y5k ( x7)

13、 則 ykx5k 7 ，x2(kx5k7) 21， 25x27(kx5 k7) 27 25，725(257k 2 ) x272kx(5 k7)(5k7) 2725 0，5 7當 k時，方程無解，不滿足條件；75757 x1075 方程有一解，滿足條件；當 k時， 27當 k 225時，令14k (5k7) 24(257k 2 )(5 k7) 21650 ，化簡得： k 無解，所以不7滿足條件；所以滿足條件的直線有兩條x7 和 y57x 10 。7【總結(jié)升華】 直線與雙曲線有一個公共點時可能相切也可能相交，注意直線的特殊位置和所過的特殊點.舉一反三：【變式】雙曲線x2y21的右焦點到直線 x-y

14、-1=0 的距離為2,且 2a23c .a2b22(1) 求此雙曲線的方程；(2) 設(shè)直線 y=kx+m(m 0)與雙曲線交于不同兩點 C、 D ，若點 A 坐標為 (0， -b)，且 |AC|=|AD| ，求實數(shù) k取值范圍?！敬鸢浮浚?） x2y213（2）( ,51)(3,3)(51, )3333類型三：雙曲線的弦例 4.（ 1）求直線 yx 1被雙曲線 x2y21 截得的弦長；4（ 2）求過定點 (0,1)的直線被雙曲線 x2y21截得的弦中點軌跡方程 .4【思路點撥】（ 1）題為直線與雙曲線的弦長問題，可以考慮弦長公式，結(jié)合韋達定理進行求解。（ 2）題涉及到直線被雙曲線截得弦的中點問

15、題，可采用點差法或中點坐標公式，運算會更為簡便.解：由x2y212( x1)240 得 3x22 x 5 0 （ * ）4得 4xyx1設(shè)方程（ * ）的解為 x , x，則有x1x22, x1x25得，1233d2 | x1x2 |2 ( x1x2 ) 24x1x224208 2 .933（ 2）方法一： 若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為y kx 1 ，它被雙曲線截得的弦為AB 對應的中點為P(x, y) ，ykx122由y2得(4 k) x2kx5 0（*）x214設(shè)方程（ * ）的解為 x1 , x2，則4k 220(4k 2 )0 16k 280,| k |5，且

16、 x1x22k, x1 x25，4k 24k 2 x1( x1x2 )k1y2 )1x2 ) 142 ，24k2 , y( y1( x14 k22xk4k2y44k 2得 4x2y 2y 0( y4 或 y 0) .方法二： 設(shè)弦的兩個端點坐標為A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，弦中點為 P( x, y) ，則4 x12y124得： 4( x1x2 )( x1x2 ) ( y1y2 )( y1y2 ) ，4 x22y224 y1y24( x1x2 ) ，即 y4x ，x1x2y1y2x y 1即 4 x2y2y0 （圖象的一部分）【總結(jié)升華】（ 1）弦長公式21|AB |1

17、 k | x1x2 |1k2 | y1y2 | ；（ 2）注意上例中有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法.舉一反三：【變式1】垂直于直線 x2y30的直線 l被雙曲線 x2y21 截得的弦長為45 ，求直線 l 的方程2053【答案】 y2x10【變式2】雙曲線 x2y21 的一弦中點為（2， 1），則此弦所在的直線方程為（）A.y2x1B.y2x2C.y2 x3D.y2x3【答案】 C類型四：雙曲線的綜合問題例 5.已知點 M(2,0), N(2,0), 動點 P 滿足條件|PM | |PN|=22 .記動點 P 的軌跡為 W.()求 W 的方程 ;( )若 A,B 是 W 上的不同兩點 ,O 是坐

18、標原點 ,求 OA OB 的最小值 .【思路點撥】 ( )中，選好控制變量- 直線的斜率 k, 建立目標 OA OB 的函數(shù)是關(guān)鍵?！窘馕觥?()根據(jù)雙曲線的定義可得x2y 21,( x2) .W 的方程為22( )設(shè) A,B 的坐標分別為 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),當 AB 與 x 軸不垂直時 ,設(shè)直線 AB 的方程為 ykx m ,與 W 的方程聯(lián)立 ,消去 y 得 1k 2x22kmxm220,故 x1 x22km, x1x2m22,所以 1k2k 21OA OBx x2y y2x x2kxmkxm(1k2 ) x x2km( xx)m2111121121 k2m222222k mm22k224.k 2 11 k 2k 2 1k21又因為 x1 x20, 所以k210, 從而 OA OB2當 ABx 軸時 , x1x2 , y1y2 , 從而 OA OBx1 x2y1 y2x1 2y122綜上 ,當 ABx 軸時 ,OA OB 取得最小值 2.【總結(jié)升華】 雙曲線中的有關(guān)最值問題多考慮雙