變量微分學課件

1、變量微分學PPT課件1第六章 單變量微分學郇中丹2006-2007學年第一學期變量微分學PPT課件2基本內(nèi)容 0 微積分的創(chuàng)立 1 導數(shù)和微分的定義 2 求導規(guī)則 3 函數(shù)一點行為的導數(shù)刻劃 4 區(qū)間上的可導函數(shù)(中值定理) 5 不定式 6 Taylor公式 7 用導數(shù)研究函數(shù) 8 割線法和切線法(Newton方法)變量微分學PPT課件30 微積分的創(chuàng)立 Isaac Newton (1642-1727) Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)變量微分學PPT課件4Isaac Newton (1642-1727) 1661.6 (順治18年)入劍橋三一學院(半公費

2、(做仆人掙錢繳交學費的)學生), 數(shù)學指導教師Isaac Barrow (1630-1677),1664.1(康熙3年)獲學士學位. 1664-1666英國流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛頓回家鄉(xiāng)呆了18個月,其間發(fā)明了流數(shù)(Fluxion)法(變量為流,變化率為流數(shù))、發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律、用實驗證明了白光為各種顏色光合成. 1665年11月發(fā)明“正流數(shù)法”(微分法)，1666年5月發(fā)明“反流數(shù)法”(積分法)，1666年10月總結文稿“流數(shù)簡論”，建立了微積分基本定理。變量微分學PPT課件5Isaac Newton (II) 1669接替Barrow的教授職位; 1687(康熙26年

3、)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy. Newton有關流數(shù)的著作到他身后才發(fā)表(1736).變量微分學PPT課件6Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) 1661入Leipzig大學學法律,1663獲學士,1666具備獲法學博士的資格(出于嫉妒,該校教師拒絕授予),被另一所大學授予博士和請其為教授(他拒絕了后者). 作為律師, 他被雇主們支得在四處透風的馬車中四處奔波,使得他具有在任何時間、任何地點和任何條件下工作的能力，他不停地讀著、寫著和思考著，他的手稿至今還成捆地放在圖書館里而沒有被人們整理過。

4、有趣地是他的頭顱比一般人的都小。變量微分學PPT課件7Leibniz (II) 1666其稱作“中學生隨筆”的組合藝術中立志要創(chuàng)造出“一般方法和普適語言，其中所有推理都簡化為計算，除了可能的事實錯誤外，只會有計算錯誤”，為此他創(chuàng)立了符號邏輯但未能完成, 發(fā)明了能做四則運算和開方的計算機。由于其才能而被種種瑣事困擾。 1672-1673請求Huygens教授了他現(xiàn)代數(shù)學; 在英國了解到了無窮級數(shù)方法。 1675年發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理，1677年7月11日將其發(fā)表，其方法主要經(jīng)過James和John Bernoulli兄弟的發(fā)展而成為一種強有力而又容易運用的工具。變量微分學PPT課件8Leibni

5、z (III) Leibniz建立微積分的基本記號和術語,包括微積分(Calculus,原意是鵝卵石,用于計數(shù)), 微分(原意是差的, Differential),微分,求導和積分的符號. 建立了四則運算的求導規(guī)則. 1673年引入函數(shù)的術語。 提出：不能像衛(wèi)道士那樣：只有知識而沒有判斷。變量微分學PPT課件91.導數(shù)和微分的定義 微分和導數(shù)概念的意義 函數(shù)增量與微分和導數(shù) 連續(xù)與導數(shù)和導數(shù)的解釋變量微分學PPT課件10微分和導數(shù)概念的意義 (I) 微分的概念源自試圖刻劃在一個“小”時間間隔或空間上的變化量。 導數(shù)的概念源自刻劃某種現(xiàn)象在一個時刻或位置的變化率，典型的例子有：在一個時刻的速度、

6、曲線在一點的斜率、物質(zhì)在一點的密度等等。如何理解導數(shù)始終是個有挑戰(zhàn)性的問題。 微分與導數(shù)的概念是密切聯(lián)系著的，所涉及的范圍和對其意義的理解是不斷演化的。由時間到空間，由一維到高維，由有限維到無窮維。由近似到線性映射。變量微分學PPT課件11微分和導數(shù)概念的意義 (II) 導數(shù)的物理背景: 隨時間或空間的變化率(rates of change), 包括各種瞬時速度、 各種密度、濃度或強度等等。 導數(shù)的幾何背景：切線的斜率、曲線的曲率、曲面切平面的確定和曲面的曲率等等。 引入導數(shù)的簡單模型：由路程函數(shù)確定速度函數(shù)和由函數(shù)圖像確定圖像切線。 由方向導數(shù)到梯度再到一般意義上的導數(shù)。變量微分學PPT課件

7、12函數(shù)增量與微分和導數(shù) 設在a的一個鄰域上有定義. 增量定義: 稱Dx=x-a為自變量x在a處的增量, D(x)=(x)-(a)為在a處的增量. 微分定義: 若cR使得D(x)cDx (Dx0),就稱線性函數(shù)g(Dx)=cDx為D(x)(也叫在a處)的微分,記做d(x)或d. Dx也記做dx.此時稱在a處可微. 導數(shù)定義: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 稱c為在a處的導數(shù),記做c=(a)或d/dx(a)=D(a). 小結: 若在a處可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函數(shù)增量D(x)的線性部分.變量微分學PPT課件

8、13連續(xù)與導數(shù)和導數(shù)的解釋 可微與連續(xù): 若在a處可微,則在a處連續(xù). 左導數(shù)和右導數(shù): 右導數(shù)(a+),左導數(shù)(a-). 導數(shù)與左右導數(shù): 在a處有導數(shù)當且僅當在a處左右導數(shù)存在且相等. 切線定義: 曲線y=(x)在(a,(a)的切線定義為直線: y=(a)+(a)(x-a). 導數(shù)(a)的幾何解釋: 曲線y=(x)在(a,(a)的切線的斜率. 導數(shù)(a)的物理解釋: 若(x)為物體在時間間隔t0,a內(nèi)運動的路程, (a)為在時刻a的瞬時速度. 變量微分學PPT課件14習題十八 (I) 1. 用定義計算下列函數(shù)在x=0點的導數(shù): (1) (0)=0, 若x0, (x)=x2 sin 1/x;

9、 (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函數(shù)D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x). 2. 證明: 若(0)存在, 則n(1/n)- (0)(0) (n). 反過來成立嗎？ 3. 設(0)=0且(0)存在.計算數(shù)列: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的極限.計算數(shù)列極限: (1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2); (2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).變量微分學PPT課件15習題十八 (II) 4. 設函數(shù)在x=0的一個鄰域上有定義并且滿足: x

10、I, (x)(0). 證明: 如果 (0)存在, 則(0)=0. 若 變量微分學PPT課件162 求導規(guī)則 復合函數(shù)求導的鏈式法則 反函數(shù)求導公式 一階微分形式的不變性 求導運算的算術性質(zhì) 初等函數(shù)求導公式 雙曲函數(shù)及其求導公式變量微分學PPT課件17復合函數(shù)求導的鏈式法則 定理定理: 設在a點可微,g在(a)點可微,則h=g在a點可微, 并且h(a)= g(a)(a). 證明證明: 記a=(a), b= g(a). 則 (1) D(x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0), (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=0). 因此, Dh(x)= b

11、D(x)+b1(D(x)D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx) Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)滿足g(0)=0. 所以, h(a)= ba = g(a)(a). #變量微分學PPT課件18反函數(shù)求導公式 定理定理: 設C(I), g是在(I)上的反函數(shù),這里I是區(qū)間. 若在a點可微且(a)0, 則g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b). 證明證明: 由在(I)上有反函數(shù),在I上嚴格單調(diào),因此, gC(I). 只

12、要證明g(b)存在就夠了.而這由(g(y)-g(b)/(y-b)= (g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和復合函數(shù)的極限性質(zhì)就得到結論.#變量微分學PPT課件19一階微分形式的不變性 這是復合函數(shù)求導的鏈式法則的另外一種說法: 設的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 則d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x). 這看似空洞的公式,許多時候有意想不到作用,同類的公式在高階導數(shù)時不再成立.變量微分學PPT課件20求導運算的算術性質(zhì) 設何g在a點可微, cR. 則+g, c, g在a點可微, 若g(a)0, /g在a點也可微. 并且 (+g)(a)= (

13、a)+g(a); (c)(a)= c (a); (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a); (/g)(a)= (a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2. 證明: 極限性質(zhì)和導數(shù)定義的應用.#變量微分學PPT課件21初等函數(shù)求導公式 基本初等函數(shù)求導公式: (c)=0; (x)=1; 由歸納法： (xn)=nxn-1; (exp x)=exp x;由鏈式法則,(ax)= ax ln a;反函數(shù)求導規(guī)則:(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv (vln u +vu/u). (sin x)=cos x; 由求導運算的算術性質(zhì)得到:

14、(cos x)= -sin x; (tan x)=sec2 x; (cot x)=-csc2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函數(shù)求導規(guī)則: (arcsin x)=1/sqrt1- x2; (arccos x)=-1/sqrt1- x2; (arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x) =1/(|x|sqrtx2-1); (arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).變量微分學PPT課件22雙曲函數(shù)及其求導公式 雙曲函數(shù)定義: sinh x,cosh x,tanh

15、x,coth x,sech x, csch x. 雙曲函數(shù)求導公式: (sinh x)=cosh x; (cosh x)= sinh x; (tanh x)=sech2 x; (coth x)=-csch2 x; (sec x)=-tanh x sech x; (csch x)=-coth x csch x. 反雙曲函數(shù)求導公式: (arcsinh x)=1/sqrt1+x2; (arccosh x)=1/sqrtx2-1; (arctanh x)=1/(1-x2); (arccoth x)=1/(1-x2); (arcsech x) =1/(xsqrt1-x2); (arccsch x)= -1/(|x|sqrtx2+1).變量微分學PPT課件23 若 變量微分學PPT課件24 若 變量微分學PPT課件253 函數(shù)一點行為的導數(shù)刻劃變量微分學PPT課件26 若 變量微分學PPT課件27 若 變量微分學PPT課件284 區(qū)間上的可導函數(shù)(中值定理)變量微分學PPT課件29 若 變量微分學PPT課件30 若 變量微分學PPT課件315 不定式變量微分學PPT課件32 若 變量微分學P