第4講定積分的概念與微積分基本定理27580

1、(世u肓看字豈網(wǎng).j w w . c k x x .cofn第4講定積分的概念與微積分基本定理2013年高考會這樣考】1. 考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理.2. 利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用 微積分基木定理計算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物 理問題等.金 kaojizizhudaoxue 必考必記：敬學(xué)相長vi右昜曰土導(dǎo)字基礎(chǔ)梳理1. 定積分 (1)定積分的定義及相關(guān)概念如果函數(shù)/(x)在區(qū)間q, b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=xo<x1<

2、;-xi-<xj<-<xn = b,將區(qū) 間g切等分成刃個小區(qū)間，在每個小區(qū)間兀i，占上任取一點(diǎn) 魏=1,2, ,舁 ha對，作和式於切心=工 =-/(勺，當(dāng)乃一8吋，上述和式無限接近某個常數(shù)，這/=1h個常數(shù)叫做函數(shù)/在區(qū)間g,切上的定積分，記作。與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間叫做積分區(qū)間,幾力叫做被積函數(shù)，丄叫做積分變量，/u)dx叫做被積式.(2)定積分的性質(zhì) jw)dr仏為常數(shù)).3a f /i (x)±/2(x)dx=f/j/ndx土 j%(x)dx. f 心)&=心皿+u)dx(其屮a<c<b).33c2. 微積分基本定理dx=

3、f(b)f(a),如果7w是區(qū)間切上的連續(xù)函數(shù)，并且f (x)=/x),那么這個結(jié)論叫微積分基本定理，又叫牛頓一萊布尼茲公式.3. 定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形的面積定積分的概念是從曲邊梯形而積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的而(3)(4)積.這要結(jié)合具體圖形來定：設(shè)陰影部分面積為s.®s=附 dx；a®s= _ %)dx； s=|7(x)dr-f7(x)iv；j a丿c 戶 卩dxgdx= p/(x)-g(x)dx j aj aj a(2) 勻變速運(yùn)動的路程公式作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v = v(z)(v(/)20)在時間區(qū)間q,

4、b上的定積分，即s= bv(t)d/.ja種思想莖積分基本晝想矽核空是上以直代曲二丄用上 直限二一的步驟解決“無限二過程的- 回題?甚.方法懸上分割求近:似.，求和取扱限 d1用込社方法可推令睦的表魚積. 和俟積公式等恩檜斯置經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明亠籬析幾何的創(chuàng)始叢冬微積分的建玄并一稱為 17世紀(jì)數(shù)學(xué)一的二尢成就：三條性質(zhì)(1.)常;數(shù)可提到積分號處；(2)_和-羞的積分等一尢積-分的亜羞；(3) 一積金可分段逬彳元一個公式雙基自測理徽磁基困匱建引麵或塞藝迪l繪釀(求導(dǎo)函瞰的原函數(shù)?也此可走匚求星當(dāng)積.分昱互為逆運(yùn)一算：a . ib . e 1解析 ex + 2x)dx()c. e 雙基自測d. e+

5、 1=(q+/出=(e + 1) - 1 = e.答案 c7t2. (2011-湖南)由直線x=yx= 尸0與曲線尸cosx所圍成的封閉圖形的c.*面積為().1a，2b 1解析 s= j £ - fcosxdr = 2 j focos xck = 2sinx§0 =萌. 籟即山東)由曲線k,嚴(yán)朗成的封閉圖形面積為)1a*121b4c.*由丿解析答案a2v = x >_ 3 得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0), (1,1),因此所求圖形面 y x ?蠱壷字豈網(wǎng).ck x x. com4. 如圖，在一個長為兀，寬為2的矩形oabc內(nèi)，曲線p=sin x(0wxw7i)與x 軸圍成如

6、圖所示的陰影部分，向矩形oabc內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形oabc 內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是().解析陰影部分的面積5=bya"si1-1)=矩形的2兀d.371概率”怦譽(yù)22兀=匚.故應(yīng)選a.答案a5.(人教a版教材習(xí)題改編)汽車以v=(3/+2)m/s作變速直線運(yùn)動時，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是(3) 3(3)7解析 s = f(3/ + 2)d/ = 擴(kuò)+ 20 f px4 + 4_g + 2j= 10 p=y(m).答案6.5 m(1)(3)4» a i 芳冋珠究尋祈(2空)d_r；ro(2)7orisin2ydx;研

7、析考向例突破(cos j：+e*t )c1t;n(4)v x +2j：c1 x;(5)ri(jccos x5sin x2) dx -1c2解（1）2a：2)c!h=(尋弋-in 工)2=-ln2.1 j(2)sin2 -|-dp y21一 cos 072 血 ( x sin 久) coj 0kp tt 2o(3)(cos t+er)dar= (sin 工+e )|l打=1 k ek(4) 3- v-?+2= vl-(-l)2/ qo 1 (al)2$0 oi y = 1 (h1嚴(yán)vo v=l-(a_l)2，vo(rr-l)2 +v =1由圖形可知:v/+2攵=7£4(5) 由=xco

8、sx5sin兀為奇函數(shù)1 (xcos %5sin x+2)dx=卩一 12dx=2x 1=4. 丿-1方法總結(jié)利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍍是求出被 積函數(shù)的原函數(shù)，求一個函數(shù)的原函數(shù)與求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 互逆運(yùn)算，因此應(yīng)注意掌握一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).根據(jù)積分的幾何意義可利用面積求積分.若丁=/（兀）為奇函數(shù)，則=0.2r2l9【訓(xùn)練11j 071?djt：=tr2l2josin2cos 丁2da:jo1 sm1j -1可利用面積求得07147t因此原式=匹乂考向二利用定積分求面積【例2 求下圖中陰影部分的面積.-6=18.方法總結(jié)求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟(1)畫出圖形，確定圖

9、形的范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)、的橫坐標(biāo).定出積分的 上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出 平面圖形面積的定積分的表達(dá)式；(4)運(yùn)用微積分基本定理計算定積分，求出平 面圖形的面積.【訓(xùn)練2】求曲線y=心,y=2xf y=x所圍成圖形的面積.解 由”一得交點(diǎn)/(i,i)； ly=2x,y=2x由 1 得交點(diǎn)b(3, -1). 尸4_b3=_6-考向三定積分的應(yīng)用【例3】一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時刻z=o(s)開始以速度4/+3(m/s)運(yùn)動.求:(1) 在f=4s的位置;(2) 在t=4 s內(nèi)運(yùn)動的路程.審題視點(diǎn)理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義，確定被積函數(shù).解(1)在時

10、刻/=4時該點(diǎn)的位置為3'(“一4f+3)d/= (j/32/2+3/ | o=3(m),4即在t=4 s時刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)§ m.（2）因為唄）=”一4/+3=（ll）（l3）,所以在區(qū)間0,1及3,4上的呦20, 在區(qū)間1,3上，瑋）w0,所以尸4 s時的路程為=少_2”+3曲+| ($2孑 + 3寸”| +言3_2,+3曲=扌+扌+扌=4(m), 即質(zhì)點(diǎn)在4s內(nèi)運(yùn)動的路程為4 m.方法總結(jié)由$ =如+通過求導(dǎo)可推出v = vq + at,反之根據(jù)積分的幾何意義,由v =可求出/ q,可時間段內(nèi)所經(jīng)過的路程.【訓(xùn)練3已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直

11、線） 行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為。甲和。乙（如圖所示）.那么對于圖中給定的 zo和d下列判斷中一定正確的是（）.a.在"時刻,b. “時刻后，甲車在乙車后面c. 在時刻，兩乍的位置相同d. %時刻后，乙車在甲車前而 解析 可觀察出曲線e甲，直線/ = /）與z軸圍成的面積大于曲線d乙，直線 與/軸圍成的面積，故選a.答案akaotizhuanx|anqtupo ” 考題專項突筱考a展示i名師解讀 * *難點(diǎn)突破8積分的綜合應(yīng)用定積分的考查在試卷中不是必然出現(xiàn)的，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試 題難度不大，在近兩年的高考屮，考查的一般:是定積分的計算和定積分在求曲邊 圖形面積

12、中的應(yīng)用等，如2011年福建卷，陜西卷考查的是定積分的計算，新課 標(biāo)全國卷、湖南卷、山東卷考查的是定積分求曲邊形的面積.一、積分的幾何意義【示例】已知q0,則n/r1pdx=(52)-找原函數(shù)克接計算較難尋求其他方法irti積分的幾何意義知該式又轉(zhuǎn)化為求半圓的面 妙積被積函數(shù)v= v/ - ?<=>汀 v>0h / + v圓則y n 0v .? > 0 <=>2 2 2y = » .1：2由此可知曲線i些定積分的iintl接使用微積分基本定理和閑堆.這時又以轉(zhuǎn)化為根據(jù)h兒何意義進(jìn)行.函 反，咳)f數(shù)v = !()在區(qū)間uif i .的定積分是函數(shù).v ；=f(:r)的圖象與t線:r. = a ：r.=：r:軸所|間成的illi邊圖羽而積的代數(shù)和.二、積分與概率【示