數(shù)字信號(hào)處理的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

1、DSP課件中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及解釋(v1.0)陳明1- 1離散時(shí)間信號(hào)-序列第5頁(yè)：對(duì)正弦信號(hào)Xa(t) 2sin(t)采樣，T=1ms時(shí)，求序列x(n) xa( nT) 2si n(n T) 2si n(n *0.1) 2si n( n)第19頁(yè)：任何序列可以表示為單位沖激序列的移位加權(quán)和(即與(n)的卷積和)。解釋：這個(gè)過(guò)程可以理解把任意序列分解成很多只包含一個(gè)非0序列值的序列之和， 而每一個(gè)單獨(dú)的序列可表示為 x(k) (n k)，所以總的序列為多個(gè) x(k) (n k)之和。第26頁(yè)：數(shù)字角頻率的單位為弧度/樣本。解釋：復(fù)指數(shù)序列可以看成是由連續(xù)復(fù)指數(shù)信號(hào)采樣得來(lái)，因此： ej n ej t

2、 |t nT ej nT ej Tn，可以看到數(shù)字角頻率與模擬角頻率的關(guān)系是：T，的單位為弧度/s, T的單位為s,或理解為s/樣本，因此的單位為弧度/樣本。第28頁(yè)：復(fù)指數(shù)序列不一定是周期的。解釋：要想為周期序列，必須滿足：x(n) x(n N)，那么ej n ej (n N) ej nej N，因此,2必須 N 2 k, Nk，與連續(xù)情況不同，這里要求N為整數(shù)，這使得當(dāng)取某些值一 2時(shí)，可能取不到整數(shù)的N，只有當(dāng)為有理數(shù)(包括整數(shù))時(shí)，才會(huì)存在整數(shù)N，序列才是周期的。1- 2線性移不變系統(tǒng)第4頁(yè)：要理解T只是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)具體的公式。所以不能將y(n) Tx(n)中的變量n簡(jiǎn)單替換為n

3、-1,認(rèn)為等式依然成立。 實(shí)際上，Tx(n 1)的含義是輸入序列先移位，然后再經(jīng)過(guò)系統(tǒng)處理后的輸出，y(n 1)的含義是輸入序列先經(jīng)過(guò)系統(tǒng)輸出，然后再移位,兩者是不一樣的過(guò)程產(chǎn)生的輸出，不要想當(dāng)然認(rèn)為一定相等。第7頁(yè)：判斷下面系統(tǒng)是否是線性的y(n) x(n 2):Taxd n)bx2( n) ax1 (n 2) bx2(n 2) aT x, n)bTx2( n)ny(n) x(k):kTaxi( n) bx2(n)axi(k) bx2(k) aXi(k)nbX2(k)kaTx( n) bTK n)Taxdn)y(n) logiox(n): aTxi(n)Taxi(n)bx2(n)logi&#

4、176;axi(n) bx?(n)bTX2(n)alogioxi(n) blogio X2(n)bx2( n)aTxi( n)bTx2( n)第10頁(yè)：判斷下面系統(tǒng)是否是移不變的y(n)kx(k)Tx(nm)nx(k m)k令 k =k-mx(k)n mx(k)y(n m)kmx(k)y(n m) Tx (n m)注意上面的變量替換在后面的分析中經(jīng)常遇到y(tǒng)(n)x(Mn):令 xi(n)x(n m)，那么 Tx(n m) Tx1(n)xMn)x(Mnm)y(n m)x(M (n m) x(Mn Mm)y(n m)Tx(n m),除非 M=1第13頁(yè)：用BIBO穩(wěn)定性定義分析累加器系統(tǒng)是否是穩(wěn)定

5、的n累加器系統(tǒng)：y(n) x(k)，令輸入序列為x(n) u(n)，顯然x(n) 1k是有界的,n而 y(n) x(k)nu(k)二n+1，當(dāng) ny(n)是無(wú)界的。所以累加器系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。目前已經(jīng)證明了累加器系統(tǒng)是線性移不變因果不穩(wěn)定系統(tǒng)。第15頁(yè)：求累加器系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)根據(jù)單位沖激響應(yīng)的定義,nh(n) T (n)(k)k0, n1, nu(n)第16頁(yè)：證明LTI系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系x(k)T (n k)y(n) Tx(n) T x(k) (n k)kkx(k)h(n k)k第二個(gè)等號(hào)利用了任意序列可用單位沖激序列來(lái)表示，第三個(gè)等號(hào)利用了系統(tǒng)的線性，第四個(gè)等號(hào)利用了單位沖激響應(yīng)的定義

6、以及系統(tǒng)的移不變性。第18頁(yè)：如何求序列卷積和一定要去練習(xí)(一般用第二種方式，書上有例題)第19,20頁(yè)的證明不要求掌握，但要求記住。第22頁(yè)：判斷LTI系統(tǒng)h(n) 0.3nu(n)的因果穩(wěn)定性由于h(n)0,n0，是因果的。h(n)n0.3nu( n)_ _ n0.3n 0110，是絕對(duì)可和的，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。n1 0.37第28頁(yè)：證明x(n)(nnd) x(n nd)x( n) (nnd)(n nd)*x( n)二m(mnd)x( nm)=x( n-n d)最后一個(gè)等號(hào)利用(m - nd)只能在m二nd取值累加器系統(tǒng)和后向差分系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)等價(jià)于一個(gè)直通系統(tǒng) 已經(jīng)證明累加器系統(tǒng)的單位沖激響

7、應(yīng)為h1( n) u(n)而后向差分系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h2( n)(n) (n 1)因此，級(jí)聯(lián)后系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：g(n)* h2(n) u(n)* (n) (n 1) u(n) u(n 1)(n)，這是全通系統(tǒng)1-3常系數(shù)線性差分方程第11頁(yè)：證明：LTI系統(tǒng)滿足初始松弛條件，那么一定是因果系統(tǒng)LTI系統(tǒng)的輸入輸出為 y(n)mx(m)h(nm)當(dāng)x(n) 0,n0時(shí)，上式可寫為y(n)mx(m)h(n0m)，初始松弛條件要求此時(shí)的y(n) 0, n 0 ,即mx(m)h( n0m) 0, when(n 0)那么必然要求h(n m)0, whe n(n0, m 0)，此時(shí) nm 0，所

8、以有h(n) 0,n0，即系統(tǒng)為因果系統(tǒng)(其實(shí)，滿足初始松弛條件的差分方程所代表的系統(tǒng)一定是LTI因果系統(tǒng)。這個(gè)結(jié)論可以用歸納法來(lái)證明)第12頁(yè)：求y(n)3 / ；y(n41)響應(yīng)h(n) 3h(n 1)41h(n82)2 (n由于系統(tǒng)是因果的，所以h(n)0,n211h(0)0，h(1)2 2*13 ，h(2)1)0，2) 2x(n 1)，從n=0開(kāi)始在初始松弛條件下系統(tǒng)的單位沖激2n 1可得h(n) 歹飛小大家可以嘗試用后面講的z變換法求。第 23 頁(yè)：ZT ROC根據(jù)ZT定義,22 122*2 32-1 2-2 z變換的定義與收斂域的性質(zhì)一和二的證明不要求，性質(zhì)三是顯然的，下面證明性質(zhì)

9、四n212x(n)z . x( 2)z x( 1)z x(0)x(1)zx(2) z要使0 ROC，必然要求x(1),x(2),都為0,即x(n) 0,n0這是反因果序列第24-27頁(yè)：每種序列 ZT ROC形式證明不要求，但要求記住。第29頁(yè)：利用ZT定義求下面序列的 ZT，并獲取(2-)nu( n):ZT ROCX(z)n1護(hù)(n)zn0(2z)n令 n'n 0n(2z)n(2z)n0z 2。由于該序列為左邊序列，所以ROC 為 z(n1): X(z)(n1)z，是因果有限長(zhǎng)序列,x(n)na 1,0X(z)nainz n有兩個(gè)極點(diǎn)：右邊局部的極點(diǎn)這是雙邊序列，因此 roc為a第3

10、0頁(yè)：求下面序列的1x(n) g)nu (n)J_ _X(z)21z11 3azaz1az1 a2(1 az1)(1 az)左邊局部的極點(diǎn)ZT ROCzt，并獲取1(嚴(yán)n)111，有兩個(gè)極點(diǎn): z所以可保證-，由于是右邊序列,3所以ROC1 1(?nu(n) (gnu( n 1)1 1 亠X (z)1111，有兩個(gè)極點(diǎn)：右邊局部的極點(diǎn)為1 31z 11 2 1z 11為z，這是雙邊序列，所以2x(n)13，左邊局部的極點(diǎn)ROC 為-32-3 z反變換N A 因?yàn)椋篨(z)= 丁亠令 z=dk，那么:(16z-1)X(z)|z=dkA1 01-d-i z1M=Ak1-dNz第11頁(yè)：求X(z)-

11、(1令:Anr411 1、“匚 z )(14A21,z 1的Z反變換 11、 22z )那么可求得待定系數(shù):所以根據(jù)1(1 4z(12zX(z)1)X(z)|)X(z)|z1彳1 11 z4ROC的形式，序列為右邊序列,1 1所以可得x(n) ( )nu(n) 2(3)nu(n)1 2z 1 z第 13頁(yè)：求 X(z) 2A 311 z22,z 1的Z反變換1 2z2由于M=N，所以會(huì)有一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)B。，先用長(zhǎng)除法確定該常數(shù)項(xiàng)1+1 z222z 1+1al_t+ +Ak 1 + +AN 1_l -1k=i 1-dkz 1-dTz 1-dkz 1-dNz兩邊乘以(1-dkz-1)， 那么：(1-d

12、kz-1)X(z) = Aya：)+.+人+入3叮)1-d1z1-dNz所以:X(z)5zd 311 z2A彳1 11 z2z1)X(z)|z1 2z 1 z 21zA2(1 z1)X(z) |z12z11z2|z所以：X(z) 29彳1 11 z281 z1根據(jù)ROC的形式,可知序列為右邊序列，因此:1x(n) 2 (n) 9g)nu(n) 8u(n)2-4 z變換的根本性質(zhì)和定理第3頁(yè)：線性組合序列的 ZT ROC可能比交集大 有時(shí)候兩個(gè)序列的組合，會(huì)使得它們的 個(gè)極點(diǎn)抵消，ZT函數(shù)組合后產(chǎn)生一個(gè)新的零點(diǎn)，正好與函數(shù)的某 由于少了極點(diǎn)，使得ROC擴(kuò)大。第4頁(yè)：求x(n) u(n) u(n

13、3)的 ZTZu( n)Zu(n3)u(n 3)z nn3Z:-z1 z1X(z) rrz31 z 11 z31 z 1z 2注意：由于新產(chǎn)生了一個(gè)零點(diǎn)z 1，與極點(diǎn)抵消了，所以ROC不是兩個(gè)序列ROC的交集z 1，而是0 (實(shí)際該序列已經(jīng)變成了一個(gè)有限長(zhǎng)序列)第5頁(yè):證明ZT的時(shí)移性Zx(nnb)nx( n n°)zn n°x(n')z (n n0)zn0X(z)n0第6頁(yè):求 X(z)z1飛4由于Z 1111z14(n)，1那么Z1丄z14(2)n 1u(n4第7頁(yè)：證明乘以指數(shù)序列特性Zz0x(n)z；x(n)z nnx(n)(zo)X(f)第8頁(yè)：證明Z域求

14、導(dǎo)Z 1 zdX(z)dzz#dz nx(n)z nz x(n)( n)zn1nnx(n)znnx( n)第9頁(yè)：求X(z)log(1 az 1), za的z反變換可得：dXBdz2az1 az 1，那么zdz1dX(z) az1 az 1所以：Z 1zdX(z) dzn 1 n1) a u(n1),這里利用了時(shí)移性而根據(jù)求zdX(z)dznx(n)，那么 nx( n) ( 1)n1anu( n 1)n 1 nx(n)第10頁(yè)：證明共軛性Zx*( n)x (n)zn第11頁(yè)：證明翻褶性Zx( n)n第13頁(yè)：證明Zx(n)* y(n)1)x(n) (z*)n* X(z )x( n)z令n

15、9;nZT的時(shí)域卷積定理:Z x(m)y(nmx(m)z mY(z) X(z)Y(z)x(n ')znx( n)*m)my(n)x(n')(z1) n X(z1)X(z)Y(z)x(m)Zy(n m)第18頁(yè)：分析系統(tǒng)h(n)anu(n), a1的因果穩(wěn)定性，當(dāng)輸入為x(n) Au(n)時(shí)的輸出1，H(z)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的 ROC: za，且a1，可知ROC包含單位圓之外的所有區(qū)域，所以系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)Y(z) X(z)H(z)A zA利用局部分式展開(kāi)法可得：Y(z) A1a(c根據(jù)ROC，反變換序列為右邊序列，那么y(n)r)1 azu(n) an 1u(n)1 a第21頁(yè)：

16、因果 LTI系統(tǒng)差分方程y(n) ay(n 1) x(n)，求系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng)；分析系統(tǒng)為穩(wěn)定的條件1 1解：對(duì)差分方程兩邊求 ZT,得Y(z) aY(z)z X(z)，可得系統(tǒng)函數(shù)為 H彳az由于是因果系統(tǒng)，所以roc為z a，求反變換得單位沖激響應(yīng)h(n) anu(n)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)的條件是系統(tǒng)函數(shù)的roc必須包含單位圓，那么要求 a 12- 6序列的DTFT第4頁(yè)：證明序列DTFT的周期性X(ej( 2)nx(n)e2 )nx(n)e j n X(ej )第9頁(yè)：求Rs(n)的DTFT4X(ej ) en 0(e jn 0)n1 e jw.5(e 2.1. 1e.5j2.5j2.1

17、j2j2.5 sin2.1 sin注意：為什么相位譜圖形在一些頻率點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)？因?yàn)樵谀切╊l率點(diǎn),.5sin2.1sin2.5sin 一的跳變。而在這個(gè)頻率點(diǎn)左右附近，匚發(fā)生正負(fù)號(hào)的改變，導(dǎo)致相位有一個(gè).1sin2第11頁(yè)：推導(dǎo)DTFT的反變換x(n)右 iiz1X(z)zn1dz占 XdjdX(ej )ej(n1)d(ej2 j1丄X(ej )ej nd2第17頁(yè)：求理想低通濾波器的IDTFT，即單位沖激響應(yīng)Hip(ej )0，0, chip(n) IDTFT Hip(ej)Hej)ej ndejcnd1 2j sin cnsin2 jncn第19頁(yè)：求復(fù)指數(shù)序列的DTFT表示X(ej

18、)2(ro 2 r)1IDTFT X(ej )亍X(ej )ej ndr)ej nd(o)ej ndej on第三個(gè)等號(hào)利用了積分范圍,，只需取一個(gè)沖激。(周期序列的傅里葉表示更常用的是后面講的DFS)2 r)第20頁(yè)：x(n) 1 ej0n，根據(jù)上面結(jié)論，可知X(ej )2- 7 DTFT的主要性質(zhì)x(m)DTFTy( n m)mDTFT的時(shí)移性。第16頁(yè)：由頻域卷積定理推導(dǎo)帕塞瓦定理2*由于 x(n)y (n)X(ej ) Y*(e-j )，所以x(n)y (n)eX(ej )Y*(e-j()d，令0,那么:x(n)y (n)X(ej )Y*(ej )dX(ej* j)Y (ej )d*大

19、局部的證明與 ZT的性質(zhì)類似，這里就只列出局部 第9頁(yè)：證明DTFT的時(shí)域卷積定理DTFTx(n)* y(n) DTFT x(m)y(n m)mx(m)e j mY(ej ) X(ej )Y(ej )第二個(gè)等號(hào)利用了 DTFT的線性，第三個(gè)等號(hào)利用了17頁(yè)：利用帕塞瓦定理證明能量守恒定理帕塞瓦定理:x(n )y*( n)X(ej)Y*(ej )d令 y(n) x(n)，那么:x(n)x (n)nnx(n)X(ej )X*(ej )dX(ej )2d第19頁(yè)：求自相關(guān)函數(shù)的 DTFT自相關(guān)函數(shù)Rx(n)x(n) ox(n)x(k n )x*(k)由帕塞瓦定理可知:Rx(n)x(kkn)x (k)

20、ej nX(ej )X*(ej )dX(ej 廠 ej ndIDTFT X(ejDTFT所以Rx( n)X(ej )2-8 DTFT的一些對(duì)稱性質(zhì)第5頁(yè)：證明DTFT的對(duì)稱性*j* jDTFTRex(n) DTFTX(n) x (n) 土 ) X-(e ) Xe(ej )2 2*j* jDTFTjImx(n) DTFTX(n)x (叫 X(e ) X (e ) 乂。©) 2 2j*jDTFTXe(n) DTFTx(n)x(叫 X(e ) X (e )2 2j* jx(n) X ( n)X(ej ) X (ej )jDTFTx°(n) DTFT jImX(ej )2 2第6頁(yè)

21、：證明實(shí)序列的 DTFT為共軛對(duì)稱的因?yàn)?x(n) x*(n)，因此 X(ej ) X*(e j )1-4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣第10頁(yè)：推導(dǎo)連續(xù)周期信號(hào)的兩種FT形式(這是信號(hào)與系統(tǒng)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)一下)2設(shè)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的周期為T ,它的基波角頻率為0，可以把該信號(hào)分解為諧波復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合：x(t)nanejn 0t達(dá)式為：an1T2 x(t)e jn0tdtT2 T T1 -7 2Tx(t)ejn 0tdtakejk 0te jnT 2T 2 k下面關(guān)鍵是利用諧波復(fù)指數(shù)信號(hào)的正交性，如下:TT當(dāng)k n時(shí)，n) 0tdt*1dt T22Tj(kn) °tT當(dāng)k n時(shí)，n) 0td

22、t-e|2t2j(kn) 0 22j sin(kn)2si n(kn)分母不為j(k n)0(k n)00第三個(gè)等號(hào)利用了20 T，an稱為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，下面推導(dǎo)它的表0tdt1Tak Tej(kn) 0tdt(1)T k2j(kn) 0T2j(k n) Tj(k n)j(k n)ee2eej(kn) 0j(kn) 00,分子為0,所以T因此，ej(k n) 0tdt T (k n)2代入(1)式：1T：x(t)e jn otdt1Tak lrej(k n) otdt1aj (k n)、3k (k n) an2T k2T kk連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的第二種傅里葉表示是：傅里葉變換，如下:X(j

23、) 2an ( n 0)n第11頁(yè)：求周期沖激串 s(t)n(t nT)的傅里葉變換證明如下：1 1FT 1(X(j )2X(j )ej td122an (nn o) ej tdan(nno)ej tdnjn otanex(t)第4個(gè)等號(hào)利用了(n o)f()df(n o)好了，有了連續(xù)周期信號(hào)的兩種FT表示:x(t)nanejn 0tan1 T-2rx(t)e jn 0tdtT ?X(j ) 2an ( n o)n對(duì)于周期沖激串s(t)(tnT)，可得傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為:an - IT 2 n(tnT)e jnotdt1 T1-2 (t)ejnotdt丄2T第二個(gè)等號(hào)是因?yàn)榉e分范圍為1，所以

24、只取一個(gè)沖激，第三個(gè)等號(hào)利用了:(t)f(t)dt f (0)因此，周期沖激串的 FT為：S( j )2(n o)S(j2)T(ns)1 n第12頁(yè)：求沖激串信號(hào)Xs(t)的FTXs(j1)-xjj )* S(j )12Xc(j1Xc(j )牛(n s) d21 n1¥ Xc(j)(ns)d21 n1Xc(j(n s)T n第16-17頁(yè)：分析沖激串Xs(t) FT與序列x(n)Xs(t)xjt)s(t)xJnT)n(t nT)直接用FT的定義，可得沖激串的FT為：Xs(j)xJnT) (tnnT) e j tdtn人(nT)e j nT而序列的DTFT為：X(eJ )nx(n)e

25、j n由于x(n) xc(nT)，比擬后，可知 X (ej )第21頁(yè)：獲取幾個(gè)模擬角頻率所對(duì)應(yīng)的數(shù)字角頻率NnTsN2NTssT22s2nXs(j的DTFT關(guān)系)S(j()dxc(nT)(t nT)e j 'dt第35頁(yè)：推導(dǎo)由序列重建連續(xù)時(shí)間信號(hào)的公式T, 先推導(dǎo)理想重建濾波器H r j T的單位沖激響應(yīng)hr t°Thr(t)12Hr(j)ej td12T Tej tdTT Tej2tdT eJ 12 jt|TTejT* ejTtT 2 j sint Tsin t T2jt2jt-tT因此重建后的連續(xù)時(shí)間信號(hào)為：Xr (t)Xs(t)* hr (t)Xs( )hr (t)

26、dnx(n)(nT)hr(t)dx(n)(nT)hr (t)dx(n )hr (tnnT)nx(n)sin( (tTnT)n(tnT)3- 3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)第13頁(yè)：證明周期序列 DFS的系數(shù)為 XkN 1.2jkn %n)e Nn 0%n)e L 1n 01.2j mnX%m)e N01NX%m)01 j (m k)n e N0(1)F面證明諧波復(fù)指數(shù)序列的正交性:當(dāng) m=k時(shí)，"ej(m k)n "n 011=N，0注意由于1 式只考慮m 0, N1，所以這里不需考慮m-k=rN的情況N 1：2當(dāng)m k時(shí)， en 0k)nN 1(en 0.2 / j-N(mk

27、)j (m k)N)n=1-eN1-e2Fm k)1-12j2 (m k)1-e N=0 分母不會(huì)是0N所以：k)n=N(m- k)代入1 式可得:1%n)en 0j2 knNNX%m)0n1 .2 / ejN(m e0k)n 1 N1X%m)N (m-k)=X(k)0第21頁(yè)：求R5(n)的10點(diǎn)周期序列的 DFSN 1X(k)二 n)en 04= 4 en 02j k5j_ kn 1-e 10 10-2 kj k1-e 101-e-j k j k -j k1-e j e 2 (e 2 -e 2 ) jk10-j k j k - j ke 10 (e 10 -e 10 )=e2=e-jksi

28、n k22jsin 護(hù)sin k103-4 DFS的性質(zhì)第3頁(yè)：證明DFS的時(shí)移性N 1DFS % n m) %nn 0j2 kmN 1' j- kn'e N %n )e N en' 0第四個(gè)等號(hào)利用了序列的周期性。m)e.2j km fN焰k)%n )em 02 'j-Nk(nm)j2 km NNm%n )em2j-Nkn第4頁(yè)：證明DFS的對(duì)偶性N -1- 2 knDFSX%n)=Xn)e Nn=0N-1 -j2 (m k) ne Nn=0iN-1%m)m=0或者:1 N 1%n)N k 0N-1n=0N-1%m)em=0j? mn-j? knN e NN-

29、1%m)N (m k) N% k)m=0Q/jdnX(k)e N，把符號(hào)k,n交換后k)X%n)e0，那么% k)j2 knN1DFSXn) , DFS焰n)NN% k)第5頁(yè)：證明周期序列DFS翻摺性和共軛性DFS% n)j- kn 令n n N 1' j2 ( k)nn)e N%n)e N1%n')e j_N" k)n第三個(gè)等號(hào)利用了序列的周期性DFS%(n)%(n)e 中" n)e"n 0n 0X*( k)對(duì)稱性證明與 DTFT的對(duì)稱性證明相同第7頁(yè)：證明周期卷積定理N 1DFSXKm)%(n m)m 0N 1N 1X1(m)%(n m)em

30、 0n 0第二個(gè)等號(hào)利用了 DFS的線性,N 1 N 1X1(m)X2(n n 0 m 0.2 L j knNm)ejLknNN 1j2 mkX1(m)e Nm 0第三個(gè)等號(hào)利用了DFS的時(shí)移性。X%(k) X1(k)X%(k)3-5 DFT第26頁(yè):求 X(ej )| 2 kkNj- knx(n)e N 的 idfsIDFSnjkn1x(n)e N -N kN 1 j (n m) k x(m) e Nk 0.2 . j kmx(m)e Nmjine N(1)rN 時(shí)，1ejN(nk 0m) kN (注意這里由于m可取范圍為()，不能只考慮n=m)NrN時(shí)，k1 ：2e0jV(nm)kN 1:

31、 2(ek 0j (n m) N)k2j(n m)N1 e N.2 / j (n m) e N12 j(n m)1 e N(分母不為0)N1 j j 所以： e Nk 0m) k(nrN )代入(1)IDFSn式，可得：.2 j x(n )eknN x(m)m)kL x(m)N (n m rN)r第30頁(yè):x(m)(n mrN)由序列的N點(diǎn)DFT，即x(n rN)N個(gè)離散頻譜X(k)重建出連續(xù)頻譜X(ej )NX(ej )ix(n)e1N1X(k)ej>N k o1X(k)o2j(下k)nX(k)j(edk)N1 n 1 sin(NkoX(k)-丄k sin(亍)第五個(gè)等號(hào)省略了幾步，前面都有類似的步驟，比方本文檔3-3第21頁(yè)。第30頁(yè):DFT的變量k與其所對(duì)應(yīng)的連續(xù)角頻率之間的關(guān)系NSk3- 6 DFT的性質(zhì)第6頁(yè)：證明DFT的圓周移位性由 DFT 的定義可知：DFTx(n) X(k)隱含著 DFSx(n)N X(k)N，所以有:DFTx(n e)nRn( n)DFSx( (n m)NRN(k)jLmkNX(k)NRN(k)jLmkNX(k)第二個(gè)