數(shù)學必修3精品學案：2.4用樣本的頻率分布估計總體的分布

1、學案4用樣本的頻率分布估計總體的分布【課標導航】(1) 通過實例體會分布的意義和作用.(2) 在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉 圖.(3) 通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當?shù)剡x擇上述 方法分析樣本的分布，準確地做出總體估計.重點：會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.難點：能通過樣本的頻率分布估計總體的分布.自主預習,械理卿識【知識導引】在NEA的2021賽季中，甲、乙兩名籃球運發(fā)動每場比賽得分的原始記錄如下：甲運發(fā)動得分：12, 15, 20, 25, 31, 31, 36, 36, 37, 39,

2、 44, 49, 50乙運發(fā)動得分：8, 13, 14, 16, 23, 26, 28, 38, 39, 51, 31, 29, 33請問從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲，乙兩名運發(fā)動哪一位發(fā)揮比擬穩(wěn)定？如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？【自學導撥】1. 頻率分布表當總體很大或不便獲得時，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，我們把反映的表格稱為頻率分布表.2. 繪制頻率分布直方圖的一般步驟為：(1) 計算 ，即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；(2) 決定； 組距與組數(shù)確實定沒有確切的標準，將數(shù)據(jù)分組時組數(shù)應力求適宜，以使數(shù)據(jù)的發(fā)布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來. 組數(shù)與樣本容量有關，一般樣本容量越大，分的

3、組數(shù)也越多，當樣本容量為100時，常分812 組. 組距的選擇組距=，組距的選擇力求取整，如果極差不利于分組(不能被組數(shù)整 除)可適當增大極差，如在左右兩端各增加適當?shù)姆秶?盡量使兩端增加的量相同)(3) 決定;(4) 列; 一般為四列：分組、個數(shù)累計、頻數(shù)、頻率最后一行是合計，其中頻數(shù)合計應是 ，頻率合計是 (5) 繪制頻率分布直方圖.為將頻率分布直方圖中的結(jié)果直觀形象的表示出來，畫圖時，應以橫軸表示分組，縱軸表示 ，其相應組距上的頻率等于該組上的長方形的面積，即每個小長方形的面積 組距頻率 ，且各小長方形的面積的總和等于 組距3頻率分布折線圖連接頻率分布直方圖中 的中點，就得到頻率分布折線

4、圖.4 總體密度曲線隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)也在增加，組距減小，相應的圖會越來越接近于一條 ，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比.5. 莖葉圖當樣本數(shù)據(jù) 時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)效果較好，它不但可以便于記錄，而且統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)的損失，所有的數(shù)據(jù)都可以從莖葉圖中得到.畫莖葉圖的步驟：(1)將數(shù)據(jù)分為“莖(高位)和 “葉(低位)兩局部.(2) 將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列.高考資源網(wǎng)W。w-w*k&s%5 ¥ U(3) 將數(shù)據(jù)的“葉按大小次序?qū)懺谄淝o右(左)側(cè).6. 幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點與缺乏：(1) 頻率分布表在數(shù)

5、量表示上比擬確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方 便.(2) 頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地說明分布的形狀，使我們能夠看 到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式.但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把 數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.(3) 頻率分布折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距 不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線.(4) 用莖葉圖的優(yōu)點是原有信息不會被抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當樣本數(shù)據(jù)較多或 數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了.啟發(fā)恩考,釋刪感【教材導學】【例1】：從某校高

6、一年級的1002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為100的身高的樣本，數(shù)據(jù)如下(單位：cm).試作出該樣本的頻率分布表.1681651711671701651701521751741651701681691711661641551641581701551661581551601601641561621601701681641741711651791631721801741731591631721671601641691511681581681761551651651691621771581751651691511631661631671781651581701691591551631531

7、55167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166【點撥】：確定組距與組數(shù)是解決“樣本中的個體取不同值較多這類問題的出發(fā)點.此題需根據(jù)繪制頻率分布直方圖的步驟完成.【解析】：最大值=180,最小值=151，極差=29，決定分為10組；那么需將全距調(diào)整為 30,組距為3,既每個小區(qū)間的長度為3,組距=全距/組數(shù).可取區(qū)間150. 5,180. 5分組頻數(shù)頻率150 . 5, 153. 5)40 . 04153 . 5, 156. 5)80 . 08156 . 5, 159. 5)80 . 08159 . 5, 162 .

8、5)110 . 11162. 5, 165 . 5)220 . 22165 . 5, 168 . 5)190 . 19168 . 5, 171 . 5)140 . 14171 . 5, 174 . 5)70 . 07174 . 5, 177 . 5)40 . 04177 . 5, 180 . 5)30 . 03合計1001頻率分布直方圖為:150.51515 1563 159.5 1625 1 65.5 168.5 171J174.517751803 身離/cm【反思】：在列頻率分布表時，先求極差再分組，注意分組不能太多也不能太少，往往把第1小組的起點稍微減小一點，同時要牢固掌握列頻率分布表及

9、繪制頻率分布直方圖是步驟與方法.【變式練習一】：下表給出了某校 500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高(單位cm )區(qū)間界限122,126)126,130)130,134)134,138)138,142)142,146)人數(shù)5810223320 區(qū)間界限146,150)150,154)154,158)人數(shù)1165列出樣本頻率分布表；高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5 ¥ u(2)畫出頻率分布直方圖；估計身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.【例2】：從全校參加科技知識競賽的學生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖(如圖

10、)，圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是13 : 6 : 4 : 2,最后邊一組的頻數(shù)是 6請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答以下問題：(1) 樣本的容量是多少？(2) 列出頻率分布表；(3) 成績落在哪個范圍內(nèi)的人數(shù)最多？并求該小組的頻數(shù)、頻率；(4) 估計這次競賽中，成績不低于60分的學生占總?cè)藬?shù)的百分比.【點撥】：此題主要考察頻率分布直方圖的應用，考察識圖、用圖的能力，運用頻率分布直方 圖的知識解答.【解析】：(1)由于各組的組距相等，所以各組的頻率與各小長方形的高成正比且各組頻率的和 等于1,那么各組的頻率分別為 末，君，166,盒 盒.設該樣本容量為 n那么n =鬼，所以樣 本容

11、量為n= 48 .(2)由以上得頻率分布表如下：成績頻數(shù)頻率50 . 5, 60. 5)31660 . 5, 70. 5)9A1670 . 5, 80. 5)1861680 . 5, 90. 5)1247690. 5, 100. 5)62石合計481成績落在70. 5, 80. 5)之間的人數(shù)最多，該組的頻數(shù)和頻率分別是18和£不低于60分的學生占總?cè)藬?shù)的百分比約為11 16 X 100% 94%【反思】(1)頻率分布直方圖中，小長方形的面積 組距 頻率 頻率，所以各小長方形的組距面積表示相應各組的頻率，各小長方形的面積的總和等于(2)樣本容量頻數(shù)相應的頻率【變式練習二】：某校為了了

12、解高一年級學生的體能情況，抽調(diào)了一局部學生進行一分鐘跳 繩測試，將測試成績整理后作出如下統(tǒng)計圖，甲同學計算出前兩組的頻率和是0. 12，乙同學計算出跳繩次數(shù)不少于100次的同學占96%，丙同學計算出從左至右第二、三、四組的頻數(shù)比為4: 17 : 15，結(jié)合統(tǒng)計圖答復以下問題：(1 )這次共抽調(diào)了多少人？高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5 ¥ u(2)假設跳繩次數(shù)不少于130次為優(yōu)秀，那么這次測試成績的優(yōu)秀率是多少？【例3】：某中學高一1班甲、乙兩名同學自高中以來每場數(shù)學考試成績?nèi)缦拢杭椎牡梅郑?5，81，75，91，86, 89, 71，65，76, 88，94, 110，1

13、07 ；乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101.畫出兩人數(shù)學成績莖葉圖，請根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進行比擬.【點撥】：用中間的數(shù)字表示兩位同學得分的十位數(shù)和百位數(shù)，兩邊的數(shù)字分別表示兩人每場數(shù)學考試成績的個位數(shù).【解析】：甲、乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如下圖：556189 6141 570678996383988103111 4從這個莖葉圖可以看出，乙同學的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是99;甲同學的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是89.因此乙同學發(fā)揮比擬穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學好.【反思】：莖葉圖由“莖和“葉兩局部構(gòu)成，繪制莖葉圖的關鍵是設

14、計好樹莖，通常是以 該組數(shù)據(jù)的高位數(shù)值作為樹莖，樹莖一經(jīng)確定，樹葉就自然地長在相應的樹莖上了.【變式練習三】：在某電腦雜志的一篇文章中，每個句子的字數(shù)如下：10， 28， 31， 17， 23， 27， 18， 15， 26， 24， 20， 19， 36， 27， 14， 25， 15， 22， 11， 24,27， 17.在某報紙的一篇文章中，每個句子的字數(shù)如下：27, 39, 33, 24, 28, 19, 32, 41, 33, 27, 36, 23, 36, 41, 27, 13, 22, 23, 18, 46,32, 22.1將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示.將這兩組數(shù)據(jù)進行比擬分析，得到

15、什么結(jié)論？高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5 ¥ u【思悟小結(jié)】由學生完成當堂學習.當堂達標【根底導測】1 將一個容量為n的樣本分成假設干組，某組的頻數(shù)和頻率分別為 值為A 640 B320 C 240 D 1602.下面給出4個莖葉圖 高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5 ¥ u40 和 0. 125，貝U n 的0601231232357 834151162 33 7S 7 8(A>(H)1J(J23, 12, 13, 27, 35, 37, 38, 51 可以由圖 表示0. 0625,那么該組樣本的頻數(shù)為那么數(shù)據(jù)6,3.一個容量為32的樣本，某組樣

16、本的頻率為A 2B. 4C. 6D. 84.為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17. 5歲18歲的男生體重kg,得到頻率分布直方圖，如圖，據(jù)圖可得這100名學生中體重在56. 5, 64. 5kg的學生人數(shù)是5. 2021福建文 將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成 6組，繪制頻率分布直方圖.假設第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2: 3 : 4: 6: 4: 1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,那么n等6. 2021江蘇卷某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從 中隨機抽取了 100根棉花纖維的長度棉花纖維的長度是棉 花質(zhì)量的重要指標，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5 , 40中，其頻率 分布

17、直方圖如下圖， 那么其抽樣的100根中，有根在棉花纖維的長度小于 20mm7. 2021 福州高一檢測甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測試成績?nèi)缦聠挝唬悍郑杭捉M：76908486818786828583乙組：82848589798091897974用莖葉圖表示兩個小組的成績，并判斷哪個小組的成績更整齊一些.高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5 ¥ u& 觀察下面表格：1完成表中的頻率分布表；2根據(jù)表格，畫出頻率分布直方圖；3估計數(shù)據(jù)落在10. 95, 11. 35范圍內(nèi)的概率約為多少?分組頻數(shù)頻率:10. 75, 10. 85)3:10. 85, 10. 95)9:

18、10. 95, 11. 05)13:11. 05, 11 . 15)16:11. 15, 11. 25)26:11. 25, 11. 35)20:11. 35, 11. 45)7:11. 45, 11. 55)4:11. 55, 11. 65)2合計100【知能提升】1. 對于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關系，以下說法正確的選項是A. 頻率分布折線圖與總體密度曲線無關B. 頻率分布折線圖就是總體密度曲線C. 樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線D如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，那么頻率分布折線圖就會無限接近于總體密 度曲線2. 為了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機測量了其中

19、100株樹木的底部周長單位：cm.根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如右圖，那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)是A. 30B. 60C. 70 D. 803 .某班50名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒;第二組，成績大于等于14秒且小于15秒;；第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖設成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為 y,那么從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為 高考資源網(wǎng) w。w

20、-w*k&s%5 ¥ u(A) 0 9, 35(B) 0. 9, 45(C) 0. 1, 35(D) 0. 1 , 454某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖1所示，9時至10時的銷售額為2 .5萬元，那么11時至12時的銷售額為A.6萬元B.8萬元C.10萬元D.12萬元5甲、乙兩個班級各隨機選出15名同學進行測驗，成績的莖葉圖如下圖那么甲、乙兩班的最高成績分別是從圖中看 班的平均成績較高.甲乙648579 4 162S 7 64 2 !72 5 77 4 4S1 4 46928 8 97 9 9高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5 ¥ u內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，那么從身高在140 , 150內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為7從高一學生中抽取50名同學參加數(shù)學競賽，成績的分組及各組的頻數(shù)如下(單位：分):40 , 50), 2; 50,