初二數(shù)學春季講義 第10講.特殊根問題.尖子班.教師版

1、10特殊根問題方程11級解特殊復雜方程方程12級特殊根問題方程6級含參方程組方程13級根系關系及應用題春季班第十一講春季班第十講春季班第九講滿分晉級階梯 漫畫釋義 簡答題知識互聯(lián)網(wǎng) 題型切片題型切片（兩個）對應題目題型目標整數(shù)根問題例1，例2，例3，例4，練習1，練習2，練習3； 公共根問題例5，例6，練習4，練習5編寫思路本講主要匯總了一元二次方程的兩大?？碱}型：整數(shù)根問題和公共根問題，總結了每種題型的基本解題思路，并由淺入深地搭配了近年各城區(qū)考試中的一些真題進行有針對性的訓練其中整數(shù)根問題在2013年的各區(qū)縣模擬題中高頻次出現(xiàn)，并在2013年中考18題中進行了考查，是近年的熱門題型，請老師

2、在課上參照所附的探究題型進行重點講解本講最后一版塊為西城初三期末統(tǒng)考題，在本題中涉及多種代數(shù)式運算技巧，難度較大，學生們可借此復習各版塊內(nèi)容，不失為一道代數(shù)綜合經(jīng)典題目題型一：整數(shù)根問題思路導航 解決整數(shù)根問題的思路：1.先看方程二次項系數(shù)，確定二次項系數(shù)是否能為0；2.確定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值；3.不能因式分解的：判別式是完全平方數(shù)；是2a的整數(shù)倍以上兩個條件需同時滿足，缺一不可，如果只滿足，則只能保證方程有有理根例題精講 【引例】 已知為整數(shù)，求證關于的一元二次方程有根且都是整數(shù)【解析】 法1：將原方程直接因式分解求出兩根，即，故符合題意法2：不用因式分解，利用根的

3、判別式是完全平方數(shù)，且是2的倍數(shù)，故符合題意.典題精練 【例1】 已知關于的方程討論此方程根的情況；若方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值（2013西城南區(qū)期末）【解析】 當時，方程為一元一次方程，此方程有一個實數(shù)根； 當時，方程是一元二次方程，.，即，為除外的任意實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根綜上，無論取任意實數(shù)，方程總有實數(shù)根；可化為：，為正整數(shù)或4或【例2】 已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求的取值范圍；若為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求的值【解析】 方程有兩個不等的實根即為整數(shù)即或2，方程的根為整數(shù)，為完全平方數(shù)當時，時，【例3】 當為何整數(shù)時，關于的一元二次方程 與的根都是整

4、數(shù) （西城區(qū)抽樣試題）【解析】 由題意可知，方程的判別式方程的判別式為故，又為整數(shù)，故或當時，題干中的兩個方程分別為、，滿足題意；當時，題干中的兩個方程分別為、，不合題意故也可通過方程是否有整數(shù)根的條件來判斷出，此時兩個判別式都要是完全平方數(shù)【例4】 當整數(shù)取何值時，關于的方程有整數(shù)根【解析】 當時，（舍）當時，該方程為一元二次方程，設（n為正整數(shù)）則或【探究對象】含參的一元二次方程的整數(shù)根問題【探究目的】對一元二次方程的整數(shù)根求解策略進行了方法總結和梳理【探究方法】思路1：探究方程是否能直接求根？思路2：如果不能直接求根就思考判別式，那么判別式的形式都有幾種，對于每一種情況應該用什么樣的方法

5、處理？思路3：如何應用根與系數(shù)的關系解決整數(shù)根問題？整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則：   (1)兩個根都是整數(shù)；   (2)判別式是整數(shù)；   (3)判別式是整數(shù)的完全平方；   (4)兩根和是整數(shù)，兩根積是整數(shù).一、直接求根法：【探究1】已知關于的方程的根是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)的值為 分析：當時，符合條件當時，易知是方程一個整數(shù)根由根與系數(shù)關系知另一根為因為為整數(shù)，所以，即所以【探究2】已知方程有兩個不相等的正整數(shù)根，求整數(shù)的值.分析： 因為方程有兩個正整數(shù)根，即 所以二、判別式法【探究3】設為整數(shù)，且，又方

6、程有兩個整數(shù)根.求的值及方程的根. 分析：考察判別式4(2m1)，因是關于m的一次式，   由已知4m40，可知      92m181.      為使判別式為完全平方數(shù)，只有2m125或2m149.      當2m125時，m12，方程兩根分別為16，26；      當2m149時，m24，方程兩根分別為38，52.注：當判別式是一次式時，可結合已知條件通過討論得出參數(shù)

7、的范圍.【探究4】已知為自然數(shù)，關于的方程有兩個整數(shù)根，求出這個方程的正整數(shù)根和.分析：要得整數(shù)根，判別式必須為完全平方數(shù)或式原方程可化為則設則所以因為，為整數(shù)而考慮到，奇偶性相同且故有分別代入方程可得正整數(shù)根為或所以當時正整數(shù)根為，當時正整數(shù)根為1【探究5】設為整數(shù)，有整數(shù)根，則的值為 .分析：當時，原方程可化為不合題意；當時，令即；且，為整數(shù)故三、根與系數(shù)關系【探究6】若關于的二次方程的兩根都是整數(shù)，試求整數(shù) 的值.分析：因為所給的方程是二次方程，所以由根與系數(shù)關系，得因為為整數(shù)，所以必為整數(shù)因為為整數(shù)，所以當時，方程為，兩根均為整數(shù)當時，方程為，兩根均為整數(shù)當時，方程為方程無實根當時，方

8、程為方程無實根所以當時，方程為兩根均為整數(shù)【探究7】試確定一切有理數(shù)，使得關于的方程有根且只有整數(shù)根.分析：若，則方程為，不合題意若，設方程的兩個整數(shù)根為，則，于是因為，為整數(shù)，且，所以，；所以解得注意：探究5和探究7為提高尖子班選講內(nèi)容，教師也可根據(jù)具體班級情況進行講解.以上建議僅供教師參考.【總結】1、對含參的一元二次方程，要立刻對其因式分解，這是解決整數(shù)根問題的策略習慣.2、判別式有很多種形式，最容易的就是完全平方式，但這種不怎么?？迹粚τ谂袆e式有以下幾種?？夹问?，對這幾種形式進行總結：（1）判別式是一次式且參數(shù)所在范圍已知，利用判別式為完全平方數(shù)求參數(shù)值；（探究3）（2）判別式是二次式

9、且不為平方式，可采用配方法變形；（探究4）（3）判別式是一次式但參數(shù)未知，可設其為平方數(shù),并來表示值；（探究5選講）3、兩個整數(shù)的和與積都是整數(shù)，充分利用整數(shù)運算的結構特征，把韋達定理和求解一元二次方程的整數(shù)解有機的結合起來，在思考過程中需要認真分析題干條件，整數(shù)解、正整數(shù)解都對代數(shù)式的討論起著重要的作用。（選講）題型二：公共根問題思路導航 若已知若干個一元二次方程有公共根，求方程系數(shù)的問題，叫一元二次方程的公共根問題兩個一元二次方程只有一個公共根的解題步驟：設公共根為a，則a同時滿足這兩個一元二次方程；用加減法消去a2的項，求出公共根或公共根的有關表達式；把公共根代入原方程中的任何一個方程，

10、就可以求出字母系數(shù)的值或字母系數(shù)之間的關系式例題精講 【引例】 已知兩方程，有且僅有一個公共根，求，關系【解析】 設為兩方程公共根，則得有且只有一個公共根，則即將代入，且典題精練 【例5】 已知，試判斷關于的方程與有沒有公共根，請說明理由【解析】 不妨設關于的方程與有公共根，設為，則有  整理，可得，把代入得，這是不可能的所以，關于的兩個方程沒有公共根真題賞析【例6】 已知關于的一元二次方程 若方程有一個正實根，且求的取值范圍； 當時，方程與關于的方程有一個相同的非零實根，求的值 （西城初三期末統(tǒng)考）【解析】 為方程的一個正實根， ，即 ，解得 又（由，）解得 當時，此時方

11、程為設方程與方程的相同實根為m，得 整理，得 解得把代入方程得 ，即 當時，（此題第二問可以用含的式子表示，直接代入）思維拓展訓練(選講)訓練1. 已知：關于的一元二次方程若求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；若的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值 （東城一模）【解析】 證明： 方程有兩個不相等的實數(shù)根 方程有兩個整數(shù)根，必須使為整數(shù)且為整數(shù)又，訓練2. 方程有兩個有理數(shù)根，求整數(shù)的值【解析】 ，設（是正整數(shù)），當時，原方程有有理根訓練3. 關于的方程至少有一個整數(shù)解，且是整數(shù)，求的值（密云一模）【解析】 當時，原方程為，解得， 即原方程無整數(shù)解 當時，方程為一元二次方程，它至少有一個整數(shù)根，說明判

12、別式為完全平方數(shù)，從而為完全平方數(shù)，設，則為正奇數(shù)，且，否則（），所以， 由求根公式得 所以要使為整數(shù)，而為正奇數(shù)，只能，從而；要使為整數(shù)，可取1，5，7，從而綜上所述，的值為復習鞏固題型一 整數(shù)根問題 鞏固練習【練習1】 已知關于的方程的根是整數(shù)，求符合條件的的整數(shù)值.【解析】 當時，；當時，為整數(shù)，0，2，3，綜上，的整數(shù)值為，0，1，2，3.【練習2】 當為何正整數(shù)時，關于的一元二次方程有兩個非零整數(shù)根（中考改編）【解析】 由題意得， 為正整數(shù)， ，2，3 當時，但方程有一根為零； 當時，不是完全平方數(shù)，故無整數(shù)根； 當時，方程有兩個非零的整數(shù)根 綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意【練

13、習3】 設為整數(shù)，且，方程有兩個整數(shù)根，求的值及方程的根【解析】 為完全平方數(shù)，又為的整數(shù)，則或24當時，；當時，題型二 公共根問題 鞏固練習【練習4】 已知為非負實數(shù)，當取什么值時，關于的方程與僅有一個相同的實根？【解析】 設相同的根為，則由題意我們有所以即當時，代入原方程求得；時，代入原方程，兩方程均為，解得，即它們的兩根都相同，不合題意，舍去，故只有當時，兩方程僅有一個相同的實根【練習5】 設關于的方程只有個不相等的實數(shù)根，求的值和相應的個根.【解析】 方程等價于如下兩個方程：，若為的公共根，則，所以，故沒有公共根.兩方程無相同的根，由于原方程只有個不相等的實根，故或必有重根.，故只可能，即.當時，解得，；當時，解得，.毛澤東對母親感情深毛澤東對母親文七妹感情很深。1918年夏，他從長沙赴北京前夕，十分掛念在外婆家養(yǎng)病的母親，特地請人開了一個藥方寄給舅父。次年春返回長沙，便把母親接來就醫(yī)。10月5日，文七妹患瘰疬（俗稱疝子頸）病逝，終年五十二歲。毛澤東日夜兼程從長沙趕回韶山守靈，并和淚寫下一篇情義深長的祭母文。他這么追念母親：“吾母高風，首推博愛。遠近親疏。一皆覆載。愷惻慈祥，感動庶匯。