數(shù)學(xué)歸納法講課用PPT課件

1、課前篇檢查與展示第1頁/共21頁問題問題 1 1: : 11,11,2,.1nnnnaaaana 對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)列列已已知知，猜猜想想其其通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式111a 212a 1nan 313a 問題問題2：某人看到樹上烏鴉是黑的，某人看到樹上烏鴉是黑的，深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。 問題情境一問題情境一.我是白的哦！第2頁/共21頁第3頁/共21頁思考：歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？思考：歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：可以幫助我們從一些具體事可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納僅根據(jù)有限的特殊事例歸

2、納 得到的結(jié)論有時(shí)是不正確的得到的結(jié)論有時(shí)是不正確的第4頁/共21頁思考思考1 1：與正整數(shù)與正整數(shù)n n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否通過通過一一驗(yàn)證一一驗(yàn)證的辦法來加以證明呢？的辦法來加以證明呢？思考思考2 2：如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)n n有有關(guān)關(guān), ,我們能否找到一種既簡單又有效的證我們能否找到一種既簡單又有效的證明方法呢？明方法呢？第5頁/共21頁數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法【命題成立的連命題成立的連續(xù)性續(xù)性】第6頁/共21頁第7頁/共21頁137951+3+5+(2n1)=n2 (nN*)證明：例1：觀察歸納猜想：你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。

3、nn（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1, 右邊=12=1，等式成立.（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立， 即即1+3+5+(2k1)=k2 ,則n=k+1時(shí)， 1+3+5+2(k+1)1= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1= k2+2k+1=(k+1)2.即n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)（1）,（2）知等式對(duì)一切nN*都成立.第8頁/共21頁135（2n1）用數(shù)學(xué)歸納法證明n2即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1 1）和（2 2）可知，等式對(duì)任何都成立。n N證明：135（2k1）+2(k+1)1那么當(dāng)n=k+1時(shí)（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立。135（2k1

4、）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假設(shè)）（假設(shè)）（利用假設(shè)）（利用假設(shè)）注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉。證明傳遞性證明傳遞性（湊結(jié)論）湊結(jié)論）第9頁/共21頁數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為： 驗(yàn)證驗(yàn)證n= =n0 0時(shí)時(shí)命題成立。命題成立。若若n = k ( k n0 0 ) 時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。 命題對(duì)從命題對(duì)從n0 0開始的所有開始的所有的正整數(shù)的正整數(shù)n都成立。都成立。歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推 注：兩個(gè)步驟注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論一個(gè)結(jié)論,缺一不可缺一不可第10頁/共21頁證明：（

5、1）當(dāng)n=1時(shí)，,1a 左邊左邊,011ada 右邊右邊等式是成立的（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是,) 1(1dkaak 那么daakk 1ddka )1(1這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立由（1）和（2），可知等式對(duì)任何 都成立Nndka1)1(1 dnaan)1(1 如果如果 是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為 公差為公差為 ，那么，那么na1ad對(duì)一切對(duì)一切 都成立都成立 Nn例例2 2試用數(shù)學(xué)歸納法證明試用數(shù)學(xué)歸納法證明第11頁/共21頁 因此數(shù)學(xué)歸納法是一種科學(xué)的遞推方法因此數(shù)學(xué)歸納法是一種科學(xué)的遞推方法 (1)(1)是是遞推的遞推的基礎(chǔ)基礎(chǔ) (2)(2)是是遞推的

6、遞推的依據(jù)依據(jù)都成立。何對(duì)任時(shí)等式都成立，即等式，知道推下去，就時(shí)等式也成立，這樣遞），時(shí)等式成立，再根據(jù)（也成立。由于時(shí)等式），時(shí)等式成立，再根據(jù)（），：根據(jù)（上述結(jié)論是容易理解的Nnnnnnn 6 5 431222211211 nn -1n1已 知 數(shù) 列 a 為 等為 q,求 證 : 通 項(xiàng)：公 式 為 a= a qn nn n - -1 1練練 習(xí)習(xí)比比 數(shù)數(shù) 列列 ，公公 比比（ 提提 示示 ： a a= = q qa a）第12頁/共21頁第13頁/共21頁例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 從n=kn=k到

7、n=k+1n=k+1有什么變化利 用 假利 用 假設(shè)設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明:2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)n=k+1時(shí)， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1時(shí)命題正確。 由(1)和(2)知，當(dāng) ，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=2,右邊= =2. 命題成立1 111223 33 3第14頁/共21頁練習(xí)練習(xí)2用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明6) 12)(1(3212222nnnn證明：證明：（1）當(dāng)）當(dāng)n=

8、1時(shí)，左邊時(shí)，左邊121，右邊，右邊等式成立。等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是時(shí)，等式成立，就是163216) 12)(1(3212222kkkk那么那么第15頁/共21頁 61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222 kkkkkkkkkkkkkkkkkkk這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。時(shí)等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可知等式對(duì)任何），可知等式對(duì)任何nN都成立。都成立。第16頁/共21頁思考思考1 1：試問等式試問等式2+4+6+2+4+6+2+

9、2n nn n2 2+n+1+n+1成立嗎？某成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問該同同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？解解: :設(shè)設(shè)n nk k時(shí)成立，即時(shí)成立，即這就是說，這就是說，n nk+1k+1時(shí)也成立時(shí)也成立2+4+6+2kk2+k+1則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí) 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式對(duì)任何所以等式對(duì)任何nNnN* *都成立都成立事實(shí)上，當(dāng)事實(shí)上，當(dāng)n n1 1時(shí)，左邊時(shí)，左邊2 2，右邊，右邊3 3左邊左邊右邊，等

10、式不成立右邊，等式不成立該同學(xué)在沒有證明當(dāng)該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1n=1時(shí)，等式是否成立的前提時(shí)，等式是否成立的前提下，就斷言等式對(duì)任何下，就斷言等式對(duì)任何nNnN* *都成立，為時(shí)尚早都成立，為時(shí)尚早第17頁/共21頁證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊,21右邊,212111 假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，,2112121212132kk 那么n=k+1時(shí) 1322121212121kk等式成立這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何nN都成立即211)21(1 211 k.2111 k第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸

11、納法的證明要求數(shù)學(xué)歸納法的證明要求思考思考2 2：下面是某同學(xué)下面是某同學(xué) 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立的過程成立的過程, ,它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么？（nN）nn2112121212132 第18頁/共21頁 因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一步是步是遞推的遞推的基礎(chǔ)基礎(chǔ)，第二步是，第二步是遞遞推的推的依依據(jù)據(jù)。缺了第一步遞推失。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。依據(jù)，因此無法遞推下去。第19頁/共21頁1.1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)的數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法學(xué)命題的重要方法. .主