110函數(shù)的連續(xù)性

1、1.10 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.10.1 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義1.10.1設變量設變量 t 從初值從初值 t0 變到終值變到終值 t1,則則 t1- -t0稱為變量稱為變量 t 的的改變量改變量（增量增量），記作記作：t即即t10tt注注：該變量：該變量(增量增量)可正、可負、可零可正、可負、可零.1. 改變量（增量）改變量（增量）函數(shù)相應增量為函數(shù)相應增量為:00()()yf xxf x 設函數(shù)設函數(shù)在點在點0 x的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義,( )yf x給自變量給自變量一增量一增量x, xxyo0 x0 xx x( )yf xy定義定義1.10.22. 函數(shù)在一點連

2、續(xù)函數(shù)在一點連續(xù)設函數(shù)設函數(shù)在點在點某鄰域內有定義某鄰域內有定義,( )yf x0 x若若0lim0 xy 即即(1)000lim ()()0 xf xxf x 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在點在點處連續(xù)處連續(xù).( )yf x0 x并稱并稱為函數(shù)為函數(shù)的連續(xù)點的連續(xù)點.( )f x0 x如圖：如圖：在點在點處連續(xù)處連續(xù).( )yf x0 x在點在點處不連續(xù)處不連續(xù).( )yf x1x0,x y0在點在點處不連續(xù)處不連續(xù).( )yf x2x因因 f(x)在在x2點無定義點無定義.0000limlim ()()0 xxyf xxf x 例例1 證明：函數(shù)證明：函數(shù) y = x2 在點在點x0處連續(xù)處連續(xù).0(

3、,)x 證：證： 00()()yf xxf x 2200()xxx 202()xxx 2000limlim2() xxyxxx 0所以，所以， y = x2 在點在點x0處連續(xù)處連續(xù).0,xx0( )()yf xf x 00lim ( )( )xxf xf x定義定義1.10.3 若記若記0 xxx則則0 x 00lim ( )()0 xxf xf x0lim0 xy 若若(2)00lim ( )( )xxf xf x則稱函數(shù)則稱函數(shù)在點在點處連續(xù)處連續(xù).( )yf x0 x000lim ()()0(1)xf xxf x 定義定義1.10.2設函數(shù)設函數(shù)在點在點某鄰域內有定義某鄰域內有定義,(

4、 )yf x0 x0220lim,xxxx2yx在在x0連續(xù)連續(xù).定義定義1.10.4 設函數(shù)設函數(shù)在點在點左左(右右)鄰域內有定義鄰域內有定義,( )yf x0 x若若0000lim ( )( ) (lim ( )( )xxxxf xf xf xf x則稱則稱在點在點處左處左(右右)連續(xù)連續(xù).( )yf x0 x在點在點處連續(xù)處連續(xù)( )yf x0 x( )yf x在點在點0 x處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù).由定義由定義1.10.3知：知：0000(1)() ; (2) lim( ) ; (3)lim( )().xxxxf xf xf xf x在點在點處連續(xù)處連續(xù)( )yf x0 x

5、存在存在.0lim ( )xxf x在點在點處連續(xù)處連續(xù)( )yf x0 x反之不然反之不然. .定義定義1.10.2側重于證明函數(shù)在一點連續(xù)，而定義側重于證明函數(shù)在一點連續(xù)，而定義1.10.3側重于判斷側重于判斷.例例2 判斷函數(shù)判斷函數(shù)210( )001 sin0 xxf xxxx在在x=0處是否連續(xù)處是否連續(xù).解：解： (1) f(0) = 0；200(2)lim( )lim(1)1,xxf xx00lim( )lim(1sin )1;xxf xx0lim( )1xf x0(3)lim( )(0)xf xf所以，所以，f(x)在在x = 0處不連續(xù)處不連續(xù).能否改動一處使之連續(xù)？能否改動

6、一處使之連續(xù)？三條缺一不可三條缺一不可解解:例例3 討論函數(shù)討論函數(shù)在在處的連續(xù)性處的連續(xù)性.1sin,0( )0,0 xxf xxx0 x (0)0,f0lim( )xf x01lim sinxxx= 0= f (0).所以所以在在處連續(xù)處連續(xù).( )f x0 x 練習練習:討論函數(shù)討論函數(shù)在在處的連續(xù)性處的連續(xù)性.22(21) ,0( )sin1,0 xxf xxx0 x 在在 (a, b) 內連續(xù)內連續(xù).定義定義1.10.53.3.函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)若若在區(qū)間在區(qū)間 (a,b) 內每一點處都連續(xù)，則稱內每一點處都連續(xù)，則稱( )f x( )f x在在 (a, b) 內連續(xù)，

7、內連續(xù)，若若且在左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù)，且在左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù)，( )f x則稱則稱在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù).( )f x0limxy 00lim 2sincos22xxxx 0 00limsinsinxxxx00lim coscosxxxx證：證：0(,),x 任取任取當當x取得改變量取得改變量, x則則00sin()sinyxxx 02sincos22xxx所以所以在點在點處連續(xù)處連續(xù).( )sinf xx0 x例例4 證明函數(shù)證明函數(shù)在定義區(qū)間在定義區(qū)間內連續(xù)內連續(xù).( )sinf xx(,) 由由的任意性知的任意性知,在在 內連續(xù)內連續(xù).0 x( )sinf

8、 xx(,) 在定義域內為連續(xù)函數(shù)在定義域內為連續(xù)函數(shù).( )sinf xx類似有類似有在定義域內為連續(xù)函數(shù)在定義域內為連續(xù)函數(shù).cosyx有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)在定義域內為連續(xù)函數(shù)在定義域內為連續(xù)函數(shù).( )( )( )p xf xq x1.10.2 函數(shù)的間斷點及其分類函數(shù)的間斷點及其分類并稱并稱x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的間斷點間斷點.2.間斷點的分類間斷點的分類第一類間斷點第一類間斷點左、右極限都存在左、右極限都存在. 0000(0)(0)(0)(0)f xf xf xf x可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點第二類間斷點第二類間斷點 左、右極限至少有一個不存在左、右極限至少有一

9、個不存在.在點在點x0處連續(xù)處連續(xù)( )yf x0000(1) () (2)lim( ) (3)lim( )()xxxxf xf xf xf x以上三個條件只要有一條不滿足以上三個條件只要有一條不滿足,在點在點x0處不連續(xù)處不連續(xù).函數(shù)函數(shù)( )f x即即在點在點x0處間斷，處間斷，( )f x1.間斷點定義間斷點定義00lim( )lim( )xxxxf xf x 或無窮型間斷點無窮型間斷點0lim( )xxf x震蕩震蕩型間斷點震蕩型間斷點第一類間斷點第一類間斷點oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳躍型跳躍型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 x無窮型無窮型oyx振蕩型振蕩型 x = 0為

10、函數(shù)的為函數(shù)的無窮間斷點無窮間斷點.例例1 函數(shù)函數(shù) 在在x = 0處無定義處無定義,從而間斷從而間斷.1( )f xx因因01limxx，(第二類間斷點第二類間斷點)例例2 x = 0是否是間斷點？是哪類間斷點？是否是間斷點？是哪類間斷點？1sin,0( ),0,0 xf xxx 且且 x = 0為函數(shù)的為函數(shù)的震蕩間斷點震蕩間斷點.因因01limsinxx(第二類間斷點第二類間斷點)解：解：不存在，故不存在，故 x=0是函數(shù)的間斷點是函數(shù)的間斷點.故故x =1為為可去間斷點可去間斷點.例例3 函數(shù)函數(shù) x = 1是否是間斷點？其類型？是否是間斷點？其類型？21( ),1xf xx又又211

11、1lim( )lim1xxxf xx1lim(1)2xx補充：補充：f(1)=2即可連續(xù)即可連續(xù).211( )121xxf xxx即：即： (第一類間斷點第一類間斷點)解：解： 因因 f(x)在在x=0處無定義，故處無定義，故x=1是是 f(x)的間斷點的間斷點.x = 0為為f(x)第一類可去間斷點第一類可去間斷點.練習：練習：xyo1yx1yxsin,0( )0,0 xxf xxx例例4 函數(shù)函數(shù)在在 x = 1處是否間斷？間斷點的類型？處是否間斷？間斷點的類型？1,0( )0,01,0 xxf xxxx(0)0,f00lim( )lim(1)xxf xx00lim( )lim(1)xxf

12、 xx= 10lim( )xf x0lim( )xf x 1-1解：解：x = 0是函數(shù)的間斷點，是函數(shù)的間斷點， 跳躍間斷點跳躍間斷點 (第一類間斷點第一類間斷點).= -1例例5 函數(shù)函數(shù)在在x = 1處的連續(xù)性，若間斷，處的連續(xù)性，若間斷，判斷其類型判斷其類型.解解: 先求函數(shù)先求函數(shù). 在在1x 處間斷，是第一類間斷點（跳躍間斷點）處間斷，是第一類間斷點（跳躍間斷點）.1( )lim(0)1nnf xxx1( )lim1nnf xx01x1，x = 11,2x 10，1lim( )1,xf x1lim( )0,xf x11lim( )lim( )xxf xf x注注：此類題，函數(shù)是以極

13、限形式給出，故需先求函數(shù)關系式：此類題，函數(shù)是以極限形式給出，故需先求函數(shù)關系式.1.9.3 1.9.3 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)函數(shù)的四則運算連續(xù)函數(shù)的四則運算定理定理1.10.1(四則運算法則四則運算法則) 0( )( )( ); ( )( ); ( ( )0).( )f xf xg xf x g xg xg x即連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)即連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù).多項式函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù)多項式函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù).有理函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù)有理函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù)

14、.三角函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù)三角函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù).若若均在均在x0處連續(xù)，則處連續(xù)，則( ), ( )f x g x在在x0處連續(xù)處連續(xù).結論：結論：思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？ 思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx故故| )(|

15、xf、)(2xf在在0 x都連續(xù)都連續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù) 但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)00()xu函數(shù)符號與極限符號可以交換順序函數(shù)符號與極限符號可以交換順序.則則000lim ( )lim ( ) ()xxxxfxfxfx定理定理1.10.2 (復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性)設函數(shù)設函數(shù)( )ux在點在點0 xx 處連續(xù)處連續(xù),函數(shù)函數(shù) ( )yfx在點在點0 xx 處連續(xù)處連續(xù).函數(shù)函數(shù)在點在點0uu處連續(xù)處連續(xù),( )yf u定理定理1.10.3 (反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性)則其反函數(shù)則其反

16、函數(shù)1( )yfx在對應區(qū)間上在對應區(qū)間上單增單增(或減或減)連續(xù)連續(xù).反三角函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù)反三角函數(shù)在其定義域內為連續(xù)函數(shù).上上單調單調增加（或減少）且增加（或減少）且連續(xù)連續(xù)，若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間( )yf xxi即即思考題思考題 設設xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復復合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.2.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內連續(xù)基本初等函數(shù)在其定義域內連續(xù);初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).例例1 設設2,0( )1,01,1axxf xxxbxx問問a, b為何值時，為何值時

17、，f(x)在其定在其定義域內連續(xù)？義域內連續(xù)？解：因為解：因為f(x)在每一段內都是初等函數(shù)，故連續(xù)在每一段內都是初等函數(shù)，故連續(xù).要使要使f(x)在其定義域內連續(xù)在其定義域內連續(xù),只需在只需在x=0, x=1連續(xù)連續(xù).00lim ( )lim(),xxf xaxa200lim( )lim(1)1,xxf xx1.a211lim ( )lim(1)2,xxf xx11lim ( )lim,xxbf xbx2.b 解解: 因為函數(shù)因為函數(shù)f(x)在定義域內連續(xù)在定義域內連續(xù),所以所以 f(x)在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù).例例2設設2sin2,0( )() ,0 xxf xxxkx在其定義域內

18、連續(xù)，求在其定義域內連續(xù)，求k的值的值.00sin2lim( )lim2,xxxf xx2200lim( )lim()xxf xxkk2 .k 22,k解解: 因因00lim( )().xxf xf x例例3 求求220ln4lim.sin(1)xxx利用函數(shù)的連續(xù)性可以求某些函數(shù)的極限利用函數(shù)的連續(xù)性可以求某些函數(shù)的極限.若函數(shù)若函數(shù) f(x)在在x=x0處連續(xù)，則處連續(xù)，則22220ln4ln04limsin(1)sin(10 )xxx22ln4( )sin(1)xf xx在在x=0處連續(xù)，處連續(xù)，ln2sin1例例5 求求3sin0lim(1 2 )xxx解解: 令令1232sin0li

19、m(12 )xxxxx06lim1sin20lim(12 )xxxxxx6e 當當 存在時，存在時，lim( ),lim ( )f xg xlim ( )( )lim( )lim( )g xg xf xf x例例4 求求0ln(1)lim.xxx1(1) ,xux10limln(1)xxx( )ln ,f uu0, ( )lnxue f uu在在u=e連續(xù)，連續(xù)，100ln(1)limlimln(1)xxxxxxlimln1ueu或或10lnlim(1) xxxln1e解解: 原式原式=閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十

20、分優(yōu)良的性質，這些性質在函數(shù)的理論分析、研究中有著重這些性質在函數(shù)的理論分析、研究中有著重大的價值，起著十分重要的作用。下面我們大的價值，起著十分重要的作用。下面我們就不加證明地給出這些結論，好在這些結論就不加證明地給出這些結論，好在這些結論在幾何意義是比較明顯的。在幾何意義是比較明顯的。1.10.4 1.10.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質即即有有則則 f (x)在在a, b上必能取得最大值和最小值上必能取得最大值和最小值.定理定理1.10.4 (有界性有界性)若若 f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，上連續(xù)，注：兩個條件注：兩個條件: (1) 閉閉區(qū)間區(qū)間; (2)

21、連續(xù)連續(xù).例：例：在開區(qū)間在開區(qū)間(0,1)內連續(xù)內連續(xù), 但無界、沒有最大值和最小值但無界、沒有最大值和最小值.即即,m0 , ,xa b 有有( ).f xm12, , ,x xa b , ,xa b m12()( )()f xf xf xm1yx定理定理1.10.5(最值性最值性)則則f (x)在在a, b上有界上有界.若若 f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，上連續(xù)， 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間任何值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間任何值.設設f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù), 且且m, m分別是分別是f(x)在在a, b上的上的則

22、對介于則對介于 m , m 之間的任一數(shù)之間的任一數(shù)c(mcm),開區(qū)間開區(qū)間(a, b) 內至少有一點內至少有一點最小值和最大值最小值和最大值, .fc使得使得定理定理1.10.6 (介值性介值性)推論推論 (零點存在定理零點存在定理or根的存在定理根的存在定理) 設在閉區(qū)間設在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù),且且 f(a) f(b)0，零點零點: :o使使的點的點x0,稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的的零點零點. 0fx f(x)則在開區(qū)間則在開區(qū)間(a, b) 內至少存在一點內至少存在一點 ，使得，使得( )0f即即 是方程是方程f(x)=0 的根，或的根，或 是是f(x)的零點的零點.ab例例1

23、 證明方程證明方程在在(0, 1)內至少有一個根內至少有一個根.32xex證：設證：設3( )2,xf xex顯然，顯然，f(x)在在0, 1上連續(xù)上連續(xù).(0)10,f 3(1)30,fe由零點定理知由零點定理知,在在(0,1)內至少有一點內至少有一點使得使得( )0.f320.e即即即是方程是方程 的根的根.32xex例例2證明證明至少有一個不超過至少有一個不超過a+b的正根的正根.sin(0,0)xaxb ab證：設證：設( )sin,f xxaxb( )0,f xcab(0)0,fb ()1sin()0,f abaab(1)()0,ab當 時fxab 即為根.(2)()0,f ab當 時由零點定