1、二次函數(shù)(最全的中考二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié))

1、happy happy o(_)op!第一部分 二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)相關(guān)概念及定義b， c是常數(shù)，a 0）二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2bxc（a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)c可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)系數(shù)a 0，而b，二次函數(shù)y ax2bxc的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2b， c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)a，二次函數(shù)各種形式之間的變換2二次函數(shù)y ax2bxc用配方法可化成：y ax h k的形式，其b4ac b2中h ，k .2a4a二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

2、y ax2；y ax2 k； y ax h； y ax h k； y ax2bxc.二次函數(shù)解析式的表示方法一般式：y ax2bx c（a，b，c為常數(shù)，a 0） ；頂點(diǎn)式：y a(x h)2 k（a，h，k為常數(shù)，a 0） ；兩根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意： 任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式， 但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示 二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)y ax2bx c圖象的畫法五 點(diǎn) 繪 圖 法： 利 用配 方

3、法 將 二次 函 數(shù)y ax2bx c化 為 頂 點(diǎn) 式y(tǒng) a(x h)2 k，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)c、以及0， c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h， c、與x軸的交點(diǎn)x1， 0，0，22x2， 0（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).二次函數(shù)y ax2的性質(zhì)a的符號(hào)開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)00，對(duì)稱軸y軸性質(zhì)x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，a 0y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y有最小a 0向下00，y軸值0 x 0時(shí)，y

4、隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0二次函數(shù)y ax2c的性質(zhì)1happy happy o(_)op!a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，a 0向上c0，y軸y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值cx 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，a 0向下c0，y軸y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c二次函數(shù)y axh的性質(zhì)：2a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，a 0向上0h，x=hy隨x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值0 x h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，a 0向下0h，x

5、=hy隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0二次函數(shù)y axhk的性質(zhì)2a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，a 0向上h， kx=hy隨x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值kx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，a 0向下h， kx=hy隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k拋物線y ax2bxc的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)a 0時(shí)，開口向上；當(dāng)a 0時(shí)，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.2happy happy o(_)op!對(duì)稱軸：平行于y軸（或重合）的直線記作x 直線x 0.b.特別地，y軸記作

6、2ab4ac b2（，）頂點(diǎn)坐標(biāo)：2a4a頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.拋物線y ax2bxc中，a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a 0 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大； 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸 在a 0的前提下，

7、b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；2ab當(dāng)b 0時(shí)，0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab當(dāng)b 0時(shí)，0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)2a當(dāng)b 0時(shí)， 在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；2ab當(dāng)b 0時(shí)，0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab當(dāng)b 0時(shí)，0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置當(dāng)b 0時(shí)，總結(jié)：常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即

8、拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置b， c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的總之，只要a，求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法3happy happy o(_)op!b 4ac b2公 式 法 ：y ax bx c ax ， 頂 點(diǎn) 是2a4abb4ac b2（，），對(duì)稱軸是直線x .2a2a4a2配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y ax h k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線x h.運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸， 對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)， 再用公

9、式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證， 才能做到萬無一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：y ax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.2頂點(diǎn)式：y ax h k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：y ax x1x x2.直線與拋物線的交點(diǎn)y軸與拋物線y ax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).與y軸平行的直線x h與拋物線y ax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2bh c).拋物線與x軸的交點(diǎn):二次函數(shù)y ax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的

10、交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn) 0拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上） 0拋物線與x軸相切；沒有交點(diǎn) 0拋物線與x軸相離.平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.一次函數(shù)y kxnk 0的圖像l與二次函數(shù)y ax2bx ca 0的y kxn圖像g的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程2y ax bxc組有兩組不同的解時(shí)l與g有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)l與g只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)l與g沒有交點(diǎn).拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距

11、離： 若拋物線y ax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為ax1， 0，bx2， 0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的兩個(gè)根，故bcx1 x2 ,x1 x2aa22b24acb4cab x1 x2x1 x2x1 x24x1x2 aaaa二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況， 可以用一般式或2224happy happy o(_)op!頂點(diǎn)式表達(dá)關(guān)于x軸對(duì)稱y a2x b x 關(guān)于cx軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax2bxc；y axhk關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y axhk；22關(guān)于y軸對(duì)稱y a2x b x 關(guān)于cy軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax2bxc；22y axhk關(guān)于

12、y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y axhk；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y a2x b x 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是cy ax2bxc；y axh 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是ky axhk；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱b2y a x b x 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是cy ax bxc；2a22y axhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y axhk2222關(guān)于點(diǎn)m， n對(duì)稱y axhk22關(guān) 于 點(diǎn)m， n對(duì) 稱 后 ， 得 到 的 解 析 式 是y axh2m2nk總結(jié)：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則

13、，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式二次函數(shù)圖象的平移平移步驟：2k； 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k處， 保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，具體平移方法如下：y=ax2向上(k0)【或向下 (k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2+khappy happy o(_)op!1，已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 a（3，0） ，b（2 3，0） ，c（0

14、，-3）三點(diǎn)，求拋物線的解析式。2，已知拋物線 y=a(x-1)+4 ， 經(jīng)過點(diǎn) a（2，3） ，求拋物線的解析式。頂點(diǎn)式。頂點(diǎn)式。1，已知拋物線 y=x2-2ax+a2+b 頂點(diǎn)為 a（2，1） ，求拋物線的解析式。2，已知拋物線 y=4(x+a)2-2a的頂點(diǎn)為（3，1） ，求拋物線的解析式。交點(diǎn)式。交點(diǎn)式。1，已知拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0）,(5,0),求拋物線 y=(x-a)(x-b)的解析式。12，已知拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)（4，0） ， （1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)2的解析式。定點(diǎn)式。定點(diǎn)式。15 ax 2a 2經(jīng)過 x 軸1， 在直角坐標(biāo)系中，

15、 不論 a 取何值， 拋物線y x222上一定點(diǎn) q，直線y (a 2)x 2經(jīng)過點(diǎn) q,求拋物線的解析式。2，拋物線 y= x2 +(2m-1)x-2m 與 x 軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過直線 y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線 y=ax2+ax-2 過直線 y=mx-2m+2 上的定點(diǎn) a，求拋物線的解析式。平移式。平移式。1，把拋物線 y= -2x2向左平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線 y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。2，拋物線y x2 x 3向上平移,使拋物線經(jīng)過點(diǎn) c(0,2),求拋物線的解析式.距離式。距離式。1，拋物線y=ax2+4ax

16、+1(a0)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2，求拋物線的解析式。2，已知拋物線 y=m x2+3mx-4m(m0)與 x 軸交于 a、b 兩點(diǎn)，與 軸交于 c 點(diǎn)，且 ab=bc,求此拋物線的解析式。對(duì)稱軸式。對(duì)稱軸式。1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到 y 軸距離的 2 倍，求拋物線的解析式。2、已知拋物線 y=-x2+ax+4, 交 x 軸于 a,b（點(diǎn) a 在點(diǎn) b 左邊）兩點(diǎn)，交 y 軸于3點(diǎn) c,且 ob-oa=oc，求此拋物線的解析式。4對(duì)稱式。對(duì)稱式。1，平行四邊形 abcd 對(duì)角線 ac 在 x 軸上，且 a（-10，0） ，ac=16，d（2，6） 。ad 交 y 軸于 e，將三角形abc 沿 x 軸折疊，點(diǎn)b 到 b1的位置，求經(jīng)過a,b,e三點(diǎn)的拋物線的解析式。2，求與拋物線 y=x2+4x+3 關(guān)于 y 軸（或 x 軸）對(duì)稱的拋物線的解析式。切點(diǎn)式。切點(diǎn)式。1，已知直線 y=ax-a2(a0) 與拋物線 y=mx2