河海大學(xué)彈性力學(xué)徐芝綸版張量分析ppt(本科)

1、第一節(jié)第一節(jié) 問題的提出問題的提出第二節(jié)第二節(jié) 矢量的基本運(yùn)算矢量的基本運(yùn)算第三節(jié)第三節(jié) 坐標(biāo)變換及張量的定義坐標(biāo)變換及張量的定義自然法則與坐標(biāo)無關(guān)，坐標(biāo)系的引入方便自然法則與坐標(biāo)無關(guān)，坐標(biāo)系的引入方便分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)；分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)； 坐標(biāo)系引入后的相關(guān)表達(dá)式冗長坐標(biāo)系引入后的相關(guān)表達(dá)式冗長 引入張量方法引入張量方法 A A1 指標(biāo)符號(hào)指標(biāo)符號(hào)),(n21ixi下標(biāo)符號(hào)下標(biāo)符號(hào) i 稱為指標(biāo)；稱為指標(biāo)；n 為維數(shù)為維數(shù)指標(biāo)指標(biāo) i 可以是下標(biāo)，如可以是下標(biāo)，如 xi 也可以是上標(biāo)，如也可以是上標(biāo)，如 xi nxx ,x21記作記作指標(biāo)的取值范圍如不作說明，均表示從指標(biāo)的取值

2、范圍如不作說明，均表示從13定義這類符號(hào)系統(tǒng)為指標(biāo)符號(hào)，一般采用下標(biāo)定義這類符號(hào)系統(tǒng)為指標(biāo)符號(hào)，一般采用下標(biāo) xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(一若干約定一若干約定 啞標(biāo)和自由標(biāo)啞標(biāo)和自由標(biāo) 1. Einstein求和約定求和約定 凡在某一項(xiàng)內(nèi)，凡在某一項(xiàng)內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的的指標(biāo)，表示對(duì)該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，指標(biāo)，表示對(duì)該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標(biāo)為并稱這樣的指標(biāo)為啞指標(biāo)啞指標(biāo)。

3、如：。如： n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa ),(又如：又如： zyx332211jjii重復(fù)不止一次的指標(biāo)，求和約定失敗重復(fù)不止一次的指標(biāo)，求和約定失敗 求和約定僅對(duì)字母指標(biāo)有效，如求和約定僅對(duì)字母指標(biāo)有效，如 同一項(xiàng)內(nèi)二對(duì)啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如同一項(xiàng)內(nèi)二對(duì)啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如 3311ijijijijija x xa x x z331234啞標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)啞標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)2.2.求導(dǎo)記號(hào)的縮寫約定求導(dǎo)記號(hào)的縮寫約定 jijijjxuux, ) () (22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k3.3.自由標(biāo)自由標(biāo) 定義：凡在同

4、一項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如定義：凡在同一項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如 jijibxaj 為自由標(biāo)為自由標(biāo) j=1 1313212111bxaxaxa同一個(gè)方程中各項(xiàng)自由標(biāo)必須相同同一個(gè)方程中各項(xiàng)自由標(biāo)必須相同 不能改變某一項(xiàng)的自由標(biāo)，但所有項(xiàng)的不能改變某一項(xiàng)的自由標(biāo)，但所有項(xiàng)的自由標(biāo)可以改變自由標(biāo)可以改變 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：二二克羅內(nèi)克（克羅內(nèi)克（Kronecker-）符號(hào)）符號(hào) 定義定義： jijiij當(dāng)當(dāng)01由定義由定義 111213212223313233100010001ijIjiijii2222j3213j32j21j1iijdx

5、dxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性質(zhì)：性質(zhì)： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3, A A2 張量的定義和張量的定義和 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算 ia分量矢量 a標(biāo)方向的單位矢量） ( 個(gè)坐基矢量3 e e e321 33221iiaaaaeeeea1說明說明任意矢量可以表示為基矢量的線性組合任意矢量可以表示為基矢量的線性組合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1. 矢量的基本運(yùn)算矢量的基本運(yùn)算 基矢量點(diǎn)積基矢量點(diǎn)積 ijjiee 任意兩矢量的點(diǎn)積任意兩矢量的點(diǎn)積

6、babababajjiiijjijijieeba123矢量的基本運(yùn)算還有叉積矢量的基本運(yùn)算還有叉積 、混合積等、混合積等 點(diǎn)積點(diǎn)積 并矢（并乘）并矢（并乘） 定義：定義： jijieeeeabjijibaba展開共展開共9項(xiàng)，項(xiàng)， 可視為并矢的基可視為并矢的基 ije ejiba為并矢的分解系數(shù)或分量為并矢的分解系數(shù)或分量 2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e2. 平面笛卡兒坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換平面笛卡兒坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換1ee22x2x1x1x2x1x1x2x),j ,i ()cosji21 (jie ,e令：cossinsincosji)cos()cos()cos()cos(22122111e

7、,ee ,ee ,ee ,e則：1e2ee21e)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同樣：21121 xxxxji）式得由（1 :jiTji比較ji為正交矩陣為正交矩陣引用指標(biāo)符號(hào)：引用指標(biāo)符號(hào)：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 討論討論: :上式的幾何意義上式的幾何意義說明說明 1基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律jijieeeeijji2矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律規(guī)律jijijjiivvvv

8、3. 三維情況三維情況jiijjijieeee 考慮一位置矢量考慮一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理同理jijixx同二維問題，可得同二維問題，可得ikkjij（正交性）（正交性）可試證：可試證：kijkji4. 張量定義張量定義 定義：在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足如下變換關(guān)系定義：在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量的量稱為張量lkjillkkjjiiijklijklkkjji ilkji自由標(biāo)數(shù)目自由標(biāo)數(shù)目n張量的階數(shù)；對(duì)于三維空間，張量的階數(shù)；對(duì)于三維空間，張量分量的個(gè)數(shù)為張量分量的個(gè)數(shù)為3n個(gè)，變換式也有個(gè)，變換式也

9、有3n個(gè)。個(gè)。采用并矢記號(hào)（不變性記法或抽象記法）采用并矢記號(hào)（不變性記法或抽象記法） ()ijklijkle e e e可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）討論討論 ijk lTTijklTe ee e12上述表達(dá)式具有不變性特征；上述表達(dá)式具有不變性特征；張量分量張量分量 與坐標(biāo)系有關(guān)；與坐標(biāo)系有關(guān)；ijT3 在坐標(biāo)變換時(shí)遵循相同的變換規(guī)律在坐標(biāo)變換時(shí)遵循相同的變換規(guī)律ijT5.矢量與張量的點(diǎn)積矢量與張量的點(diǎn)積 ijiTaijiTe eae12左點(diǎn)乘：左點(diǎn)乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右點(diǎn)乘右點(diǎn)乘 :kiikj

10、ieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i時(shí)相等只有一般jiijTT, aTTaA A3 張量分析張量分析一一 .梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度力學(xué)中：力學(xué)中：幾何方程與位移場的梯度有關(guān)幾何方程與位移場的梯度有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)量與位移場的旋度有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)量與位移場的旋度有關(guān)平衡方程與應(yīng)力場的散度有關(guān)平衡方程與應(yīng)力場的散度有關(guān)1、哈密頓、哈密頓(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表可以表示為示為:iixiiee 可以證明可以證明, Hamilton算子具有張量的屬性算子具有張量的屬性,相

11、當(dāng)相當(dāng)于一階張量。于一階張量。2、梯度、梯度 1標(biāo)量場標(biāo)量場 iei321gradxxx,),( 為一階張量矢量為一階張量矢量 2張量場張量場 jieeijA A（1）左梯度）左梯度kjiijkkjjkiiAAeeeeee,A （2）右梯度）右梯度高一階的張量場 ikjijkikjjkiAAeeeeee,A AA 一般3、散度、散度 1矢量場矢量場 ueeji jijjuu,divu為一標(biāo)量為一標(biāo)量2張量場張量場 （1）左散度）左散度kkkjieeeeejjkijijkjkiAAA,A （2）右散度）右散度kjjikjeeeeeejkjkjkkiijkjkiAAAA,A 4、旋度、旋度 1矢量

12、場矢量場 ueeeeeeeeujijik321 jijijikji321uuueuuuzyxcurjiee 2張量場張量場 （1）左旋度）左旋度jikrkrkjieeeeeeeeej,rkikrk,ijrjir jik,ijkjiAeAeeAA A（2）右旋度）右旋度jiijrjikjeeeeeeeeek,rijrkk,rji rkk,ijr ikkjiAeAeAeA AAA 一般二二. 高斯高斯Gauss公式公式SipjkVipjkdsnTdvT.,.式中，式中，S S是空間體積的封閉邊界面，是空間體積的封閉邊界面，n ni i為邊為邊界面界面S S的外法向方向余弦。的外法向方向余弦。 ,SijVijdsnAdvA ,