高二 數(shù)學(xué) 選修2-2定積分與微積分基本定理

1、 定積分與微積分基本定理教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義求簡(jiǎn)單的定積分,微積分基本定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：定積分的概念、求曲邊圖形面積一定積分的概念回憶前面曲邊圖形面積，變速運(yùn)動(dòng)的路程等問題的解決方法，這幾個(gè)問題都有什么共同點(diǎn)呢？分割以直代曲求和取極限（逼近 一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，分割 用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），以直代曲 在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，每份小曲邊梯形的面積近似為求和：取極限 如果無限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為： 其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。思考 定積分是一個(gè)常數(shù)

2、還是個(gè)函數(shù)？即無限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是 常見定積分曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功 理解 本來 面積=底高 路程=速度時(shí)間 功=力位移因?yàn)槎际遣灰?guī)則的，所以都用先分割，再以直代曲，這樣就可以相乘了，再求和 ，再取極限。二定積分的幾何性質(zhì)定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，。思考：根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？求曲邊梯形的面積：（兩曲線所圍面積）； 典例題一、用定義計(jì)算定積分例1計(jì)算定積分 根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1；性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）；性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）；性質(zhì)4（定積分對(duì)積分區(qū)間

3、的可加性）； 試從運(yùn)算過程和幾何性質(zhì)兩方面給予解釋。說明：推廣： 推廣: 三、微積分基本定理思考 ：微積分與導(dǎo)數(shù)都應(yīng)用了無限接近，求極限的方法，這兩者之間有什么關(guān)系呢？設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），1、 任意一刻的速度v(t)就是S(t)的導(dǎo)函數(shù)2、物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為，另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達(dá)，那豈不是有 =？ 對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有？用的原函數(shù)的數(shù)值差來計(jì)算在上的定積分定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則為了方便起見，還常用表示，即 該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊

4、布尼茲公式。由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算典型題一、基本定積分的計(jì)算例1計(jì)算下列定積分：（1）； （2）A變式練習(xí)1：計(jì)算已知t0，若（2x2）dx=3，則t=（）A3B2C1D3或1分析：首先利用定積分求出關(guān)于t的方程，然后解一元二次方程求出t，注意t0解答：解：由（2x2）dx=（x22x）|=t22t=3，解得t=3后者t=1，因?yàn)閠0；所以t=3；故選AA變式2cosxdx=（）A0B1C2D3分析：直接利用定積分的運(yùn)算法則求法求解即可解答：解：cosxdx=sinx=10=1故選：B計(jì)算：=（）A2B4C8D12考點(diǎn)：定積分菁優(yōu)

5、網(wǎng)版權(quán)所有專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：求出被積函數(shù)的原函數(shù)，分別代入積分上限和積分下限后作差得答案解答：解：=4A. 變式3例6已知t0，若（2x-2）dx=8，則t=（）· 已知（sinx-acosx）dx=2，則實(shí)數(shù)a等于（）B變式1 sin2xdx=（）A0BCD1分析：根據(jù)微積分基本定理計(jì)算即可解答：解： sin2xdx=dx=（x sin2x）=（sin00）=，故選：CB變式2 cos2xdx=（）典型題二、 分段函數(shù)的定積分例題 已知函數(shù)，則的值為（）AB4C6D分析：原式分解為x2在區(qū)間2，0上的積分與x+1在區(qū)間0，2上的積分之和，再分別用積分公式求出它們的原函數(shù)，最

6、后利用定積分的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到原式的值解答：解：=（x2+x+C1）+（+C2），（其中為C1、C2常數(shù)）=（）（）+（）（）=4+=故選DA變式1設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A變式2 四、用定積分計(jì)算圍成圖形面積。例2計(jì)算下列定積分：。由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0: ( l ）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值

7、，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積 圖形在x軸下方時(shí)，定積分的值計(jì)算后加絕對(duì)值才等于曲邊梯形面積。函數(shù)值如果有正有負(fù)，則計(jì)算定積分時(shí)應(yīng)該分開算。【典型例題】用定積分計(jì)算圍成圖形面積例1（1）由拋物線和直線x=1所圍成的圖形的面積等于 （ ）利用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化運(yùn)算例題2 求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.在圖形的不同部分函數(shù)關(guān)系式不一樣。分幾段求。1.找出分界點(diǎn)2.寫出每一段的函數(shù)關(guān)系式例1（2）例題3

8、 如圖，陰影部分的面積是（）兩條曲線圍成圖形，一條在另一條上方，函數(shù)即為（上方函數(shù)-下方函數(shù)）A變式1曲線y=x3與直線y=x所圍成圖形的面積為（）分析：先求出曲線y=x3與y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到積分的上下限，然后利用定積分求出第一象限所圍成的圖形的面積，根據(jù)圖象的對(duì)稱性可求出第三象限的面積，從而求出所求解答：解：曲線y=x3與y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（1，1），（1，1）曲線y=x3與直線y=x在第一象限所圍成的圖形的面積是=根據(jù)y=x3與y=x都是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在第三象限的面積與第一象限的面積相等曲線y=x3與y=x所圍成的圖形的面積為故選BA變式2圖中y=3x2與y=2x陰

9、影部分的面積是（）AB9CD分析：求陰影部分的面積，先要對(duì)陰影部分進(jìn)行分割到三個(gè)象限內(nèi)，分別對(duì)三部分進(jìn)行積分求和即可解答：解：直線y=2x與拋物線y=3x2解得交點(diǎn)為（3，6）和（1，2）拋物線y=3x2與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)（，0）設(shè)陰影部分面積為s，則 =所以陰影部分的面積為 ，故選CA變式3 求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積。A變式 4求圍成的圖形面積A變式4如圖陰影部分是由曲線y，y2x與直線x2，y0圍成，則其面積為_B變式 1 例7求由與直線所圍成圖形的面積B變式2圖中，陰影部分的面積是（）A16B18C20D22分析：從圖象中知拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，2），（8，4）過（2

10、，2）作x軸的垂線把陰影部分分為S1，S2兩部分，利用定積分的方法分別求出它們的面積并相加即可得到陰影部分的面積解答：解：從圖象中知拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，2），（8，4）過（2，2）作x軸的垂線把陰影部分分為S1，S2兩部分，分別求出它們的面積A1，A2：A1=02dx=2 dx=，A2=28dx=所以陰影部分的面積A=A1+A2=18故選BB變式3. 已知拋物線y=x2-2x及直線x=0,x=a,y=0圍成的平面圖形的面積為，求a的值yxo122-1-1ABCD例2圖B.變式4 如圖，求由兩條曲線，及直線y= -1所圍成圖形的面積典型題 用幾何法求定積分例題 定積分dx的值為（）

11、ABC1D1分析：根據(jù)定積分的幾何意義，求定積分解答：解：由定積分的幾何意義，dx為圖中陰影部分的面積，dx=；故選CA變式1計(jì)算（1+）dx的結(jié)果為（）A1BC1+D1+分析：由定積分的公式和定積分的幾何意義計(jì)算可得解答：解：（1+）dx=1dx+dx=1+dx由定積分的幾何意義可知dx表示圓x2+y2=1在第一象限的面積，即單位圓的四分之一，dx=××12=，（1+）dx=1+，故選：CA變式2計(jì)算：（x2+）dx=A變式3計(jì)算：=分析：根據(jù)y=表示x軸上方的半圓，可得 dx=，利用 =2 dxsinxdx，即可求得結(jié)論解答：解：y=表示x軸上方的半圓，dx=2 dxs

12、inxdx=2×（cosx）=0=故答案為：分析：首先利用定積分的運(yùn)算法則將所求轉(zhuǎn)化為和的積分，然后分別求原函數(shù)代入求值解答：解：（x2+）dx=|+=；故答案為：典型題 定積分的實(shí)際應(yīng)用例題 一物體沿直線以v=t2+3（t的單位：s，v的單位：m/s）的速度運(yùn)動(dòng)，則該物體在14s間行進(jìn)的路程是A變式1 一個(gè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，速度和時(shí)間關(guān)系為v（t）=4-t2 m/s，則該物體從0秒到4秒運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為A變式2 若1 N的力能使彈簧伸長(zhǎng)1 cm，現(xiàn)在要使彈簧伸長(zhǎng)10 cm，則需要花費(fèi)的功為（）（提示：，f為力，x為伸長(zhǎng)長(zhǎng)度）A變式3.如果1N能拉長(zhǎng)

13、彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，需做功（ ）B變式1 汽車以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？B變式2 列車以72km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度，問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長(zhǎng)時(shí)間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動(dòng)？B.變式3 物體A以速度在一直線上運(yùn)動(dòng)，在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方5m處以的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，問兩物體何時(shí)相遇？相遇時(shí)物體A的走過的路程是多少？（時(shí)間單位為：s，速度單位為：m/s）小結(jié) 1 其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。2定積分的幾何性質(zhì) 曲邊梯形(如圖中的陰影部